第16讲 对数 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第16讲 对数 . 学 考 要 求 理解对数和对数的运算，能进行简单的对数运算. . 知 识 必 备 1．对数的基本性质 （1）对数的性质 性质1 ______和______没有对数 性质2 1的对数是______，即_______ 性质3 底数的对数是______即______ （2）性质的拓展 对数恒等式______ . 【答案】 负数 零 0 2．对数的定义：如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作________，这里，a叫作对数的________，N叫作对数的________． 【答案】 底数 真数 3．特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为________，通常记为________； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为________，通常记为________． 【答案】 常用对数 自然对数 4．对数的运算性质 如果且，，，那么： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 5．换底公式 （1）对数的换底公式:______ 且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:. 【答案】 1 . 典 例 探 究 题型一：运用对数运算性质化简、求值 例题1：（1）__________． 【详解】原式. 故答案为： （2）计算下列各式： (1)； (2)． 【详解】（1）原式 ． 故答案为：0 （2）原式 ． 故答案为：-7 题型二：解对数方程 例题2：（1）若，则__________. 【详解】由，得.故答案为：9 （2）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由可得，故. 故选：C. 题型三：运用换底公式化简计算 例题3：（1）设，用表示为________ ． 【详解】由， 得. 故答案为：. （2）计算：______． 【详解】，故答案为：1 题型四：运用换底公式证明恒等式 例题4：求证:. 【详解】左边右边,得证. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】易知.故选：A 2．设，则（   ） A． B． C． D． 【详解】.故选：D. 3．（    ） A． B． C． D．2 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 2、 填空题 4．若，则__________. 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 故答案为： 5．若，则_______． 【详解】由题意得，则，解得．故答案为：15. 3、 解答题 6．（1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）3；（2）7 【分析】（1）根据对数运算性质先求出，再由指数运算法则，即可求出结果； （2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果. 【详解】（1）， . （2）原式 . . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．（   ） A． B． C．0 D．1 【详解】. 故答案为：C 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】由可得 ,C不正确,故选：C 3．在中，要使式子有意义，的取值范围为 A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4） 【详解】由函数的解析式可得，解得3<x<4，或x>4．故选B． 4．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意可得该气泡水的值， 为 故选：A． 2、 填空题 5．若正实数、满足，则的最小值为________． 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 3、 解答题 6．（1）已知，，求的值； （2）已知， ，用a和b表示的值； （3）计算． 【详解】（1）. （2）. （3）原式 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 对数 . 学 考 要 求 理解对数和对数的运算，能进行简单的对数运算. . 知 识 必 备 1．对数的基本性质 （1）对数的性质 性质1 ______和______没有对数 性质2 1的对数是______，即_______ 性质3 底数的对数是______即______ （2）性质的拓展 对数恒等式____________、____________ . 2．对数的定义：如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作________，这里，a叫作对数的________，N叫作对数的________． 3．特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为________，通常记为________； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为________，通常记为________． 4．对数的运算性质 如果且，，，那么： （1）________；（2）________；（3）________． 5．换底公式 （1）对数的换底公式:______ 且且. （2）换底公式的三个常用推论 ① 推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. ② 推论二:. ③ 推论三:. . 典 例 探 究 题型一：运用对数运算性质化简、求值 例题1：（1）__________． （2）计算下列各式： (1)； (2)． 题型二：解对数方程 例题2：（1）若，则__________. （2）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型三：运用换底公式化简计算 例题3：（1）设，用表示为________ ． （2）计算：______． 题型四：运用换底公式证明恒等式 例题4：求证:. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，则（   ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D．2 2、 填空题 4．若，则__________. 5．若，则_______． 3、 解答题 6．（1）若，求的值； （2）计算：. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．（   ） A． B． C．0 D．1 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．在中，要使式子有意义，的取值范围为（    ） A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4） 4．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．若正实数、满足，则的最小值为________． 3、 解答题 6．（1）已知，，求的值； （2）已知， ，用a和b表示的值； （3）计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $