第20讲 三角函数的概念 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第20讲 三角函数的概念 . 学 考 要 求 理解任意三角函数的定义，掌握同角三角函数的基本关系式. . 知 识 必 备 1．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的______________叫做的正弦函数，记作，即______ 余弦 点的__________________叫做的余弦函数，记作，即_______ 三角函数 正弦函数 余弦函数 【答案】 纵坐标 横坐标 2．正弦函数、余弦函数、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 ____ ____ ____ 【答案】 R R 3．三角函数的定义：设是终边上异于原点的任意一点，则___________．____________．    __________． 【答案】 4．对于表中的角，计算，，的值，并填写下表． 0 0 1 0 不存在 0 不存在 【答案】；；0；；；1；；；0；；；－1；；；0；；；1；0；；；；；；；；；0. 5．同角三角函数的基本关系 平方关系：________； 商数关系：________（，）． 这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切． 【答案】 1 6．同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） 【答案】；； . 典 例 探 究 题型一：由终边或终边上的点求三角函数值 例题1：已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设点，所以，所以. 故选：B 题型二：由三角函数值求终边上的点或参数 例题2：已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【解析】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 题型三：特殊角的三角函数值 例题3：（   ） A． B． C． D． 【解析】， 又因为，所以， 故选：A. 题型四：各象限角三角函数值的符号 例题4：“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由可得：且， 所以是第三或第四象限角， 所以“角θ是第四象限角”能推出“”， “”不能推出“角θ是第四象限角”， 所以“角θ是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 题型五：已知三角函数值求角 例题5：“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】由，得；而当时，也成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 题型六：正切值求齐次式的值互求 例题6：（1）已知，则______ 【解析】已知，因此．对所求分式的分子分母同除以得， 代入得到． （2）已知，则________． 【解析】由，得， 即，所以. 方法二：由，得，解得. （3）已知，则________． 【解析】. （4）已知，则_____. 【解析】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 题型七：利用同角三角函数的基本关系求值 例题7：（1）已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且为第二象限角， ． （2）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【解析】因为为第三象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：B. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知角的终边过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，点到原点的距离， 所以． 故选：A 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为终边过点，故，所以， 故选：B. 3．若，则（　　） A． B． C． D． 【解析】因为，所以. 故选：B 4．已知为角终边上一点，则（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由为角终边上一点，得， 故. 故选：A 2、 填空题 5．_______． 【解析】解： 故答案为： 3、 解答题 6．已知． (1)求的值； (2)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点为角终边上一点，且，求点的坐标． 【解析】（1）因为，且， 所以，解得． （2）设点，则． 解得或． 所以，点的坐标为或． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．（   ） A． B． C． D． 【解析】依题意，. 故选：B 2．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 故选：D 3．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项. 【解析】原式 ． 故选：C. 2、 填空题 4．已知，且角是第四象限角，则___________． 【解析】因为角是第四象限角，所以， 由及解得， 故答案为：. 5．已知，则__________． 【解析】由两边平方得： . 故答案为： 3、 解答题 6．已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 【解析】（1）、是关于的方程的两个根， ，， ，解得或， 由，得或， ； （2）， 又由（1）可得，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 三角函数的概念 . 学 考 要 求 理解任意三角函数的定义，掌握同角三角函数的基本关系式. . 知 识 必 备 1．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的______________叫做的正弦函数，记作，即______ 余弦 点的__________________叫做的余弦函数，记作，即_______ 三角函数 正弦函数 余弦函数 2．正弦函数、余弦函数、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 ____ ____ ____ 3．三角函数的定义：设是终边上异于原点的任意一点，则___________．____________．    __________． 4．对于表中的角，计算，，的值，并填写下表． 0 0 1 0 不存在 0 不存在 5．同角三角函数的基本关系 平方关系：________； 商数关系：________（，）． 这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切． 6．同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） . 典 例 探 究 题型一：由终边或终边上的点求三角函数值 例题1：已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：由三角函数值求终边上的点或参数 例题2：已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 题型三：特殊角的三角函数值 例题3：（   ） A． B． C． D． 题型四：各象限角三角函数值的符号 例题4：“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：已知三角函数值求角 例题5：“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 题型六：正切值求齐次式的值互求 例题6：（1）已知，则______ （2）已知，则________． （3）已知，则________． （4）已知，则_____. 题型七：利用同角三角函数的基本关系求值 例题7：（1）已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． （2）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知角的终边过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（　　） A． B． C． D． 4．已知为角终边上一点，则（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 5．_______． 3、 解答题 6．已知． (1)求的值； (2)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点为角终边上一点，且，求点的坐标． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．化简（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．已知，且角是第四象限角，则___________． 5．已知，则__________． 3、 解答题 6．已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $