第17讲 对数函数 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第17讲 对数函数 . 学 考 要 求 理解对数和对数的运算，能进行简单的对数运算. . 知 识 必 备 1．对数函数概念：一般地，函数____________称为对数函数，其中a是常数，_______且_________. 【答案】 2．对数函数的图象和性质 （，且） 底数 图象 定义域 ______ 值域 单调性 在上是________函数 在上是________函数 最值 ______ 奇偶性 ________函数 共点性 图象过定点________，即时， 函数值特点 时，_______； 时，________ 时，________； 时，________ 对称性 函数与的图象关于________对称 【答案】 增 减 无最大、最小值 非奇非偶 轴 3．指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为______，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线_____对称. 【答案】 反函数 y=x . 典 例 探 究 题型一：求对数函数的解析式 例题1：（1）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【解析】函数是对数函数， 且， 解可得或，， 故选：C． （2）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 【解析】设函数解析式为 ，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： （3）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 【解析】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 题型二：求对数函数的定义域 例题2：函数的定义域为__________. 【解析】要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 题型三：求对数函数在区间上的值域 例题3：（1）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A （2）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 题型四：对数型函数图象过定点问题 例题4：函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 题型五：对数型复合函数的单调性 例题5：函数的减区间是______. 【解析】要使函数有意义，则，即或， 设，则当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减． ∵函数在定义域上为单调递增函数， ∴根据复合函数的单调性之间的关系可知， 函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数的递减区间为. 故答案为:. 题型六：求反函数 例题6：已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 【解析】因为对数函数且的图象经过点， 所以，所以，所以对数函数的解析式为， 所以其反函数为. 故答案为： 题型七：比较对数式的大小 例题7：已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 题型八：由对数（型）的单调性求参数 例题8：（1）若 (且)在区间上是增函数，则a的取值范围． 【答案】． 【解析】先利用判断是增函数，进而得到是增函数，列关系计算即得结果. 【解析】因为，(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知在区间(－1，＋∞)上是增函数，且，故是增函数， 所以，解得.故a的取值范围是． 故答案为：． （2）若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用对数函数单调性列出不等式求解即得. 【解析】由对数函数在区间上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型九：由对数函数的单调性解不等式 例题9：函数的定义域为___________． 【解析】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，函数，所以，解得． 故选：C. 2．函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【解析】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 3．若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【解析】由题意得，，则，解得． 故选：C 2、 填空题 4．若函数是以为自变量的对数函数，则实数________． 【解析】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 3、 解答题 6．已知函数（且）的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)解不等式． 【解析】（1）因为函数的图象过点， 所以 ，解得 ； （2）因为，所以是定义域上的增函数， 由可得，解得， 即不等式的解集为. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】，对数函数是增函数，且，因此：，即； ，对数函数是减函数，且，因此：，即； ，指数函数是增函数，因此：，即； 综上，大小关系为. 故选：D 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解析】由已知得， 解得. 故选：D. 3．已知函数，其中，则（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．不等式的解集是 D．零点是 【解析】由已知，函数的定义域是，故A错误； 因为，所以，，故B错误； 由，得，解得， 又，所以，所以不等式的解集是，故C错误； 令，得，所以 ， 所以的零点为，故D正确. 故选：D 2、 填空题 4．若函数是函数的反函数，则_______ 【解析】函数是函数的反函数， 则，所以. 故答案为：1 3、 解答题 5．已知函数． (1)定义域 (2)判断的奇偶性；并且证明 (3)解不等式 【解析】（1）要使函数有意义，则， 解得， 所以函数的定义域为； （2）函数是奇函数，证明如下： 由（1）可知，函数定义域关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数； （3）不等式，则，即， 有，解得， 所以不等式的解集为. 6．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出最值求解即可. （2）求解，，令求解即可. 【解析】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 由题意可得：， 此时区间为；当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2）， 令，因为，所以， 所以， 所以，， ，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 对数函数 . 学 考 要 求 理解对数和对数的运算，能进行简单的对数运算. . 知 识 必 备 1．对数函数概念：一般地，函数____________称为对数函数，其中a是常数，_______且_________. 2．对数函数的图象和性质 （，且） 底数 图象 定义域 ______ 值域 单调性 在上是________函数 在上是________函数 最值 ______ 奇偶性 ________函数 共点性 图象过定点________，即时， 函数值特点 时，_______； 时，________ 时，________； 时，________ 对称性 函数与的图象关于________对称 3．指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为______，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线_____对称. . 典 例 探 究 题型一：求对数函数的解析式 例题1：（1）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 （2）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． （3）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 题型二：求对数函数的定义域 例题2：函数的定义域为__________. 题型三：求对数函数在区间上的值域 例题3：（1）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． （2）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 题型四：对数型函数图象过定点问题 例题4：函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五：对数型复合函数的单调性 例题5：函数的减区间是______. 题型六：求反函数 例题6：已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 题型七：比较对数式的大小 例题7：已知，则（    ） A． B． C． D． 题型八：由对数（型）的单调性求参数 例题8：（1）若 (且)在区间上是增函数，求a的取值范围． （2）若对数函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 题型九：由对数函数的单调性解不等式 例题9：函数的定义域为___________． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象为（） A． B． C． D． 3．若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 2、 填空题 4．若函数是以为自变量的对数函数，则实数________． 3、 解答题 6．已知函数（且）的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)解不等式． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，其中，则（    ） A．函数的定义域是 B．函数的值域是 C．不等式的解集是 D．零点是 2、 填空题 4．若函数是函数的反函数，则_______ 3、 解答题 5．已知函数． (1)定义域 (2)判断的奇偶性；并且证明 (3)解不等式 6．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $