数学（北京卷01）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 3．如果，那么下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 4．已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是 A．31 B．243 C．211 D．275 6.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．在智能驾驶快速发展的今天，AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 8．命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．直线与圆：交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 10．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在中，若，则__________. 12．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 13．已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______． 14．已知函数（）， （1）若，则函数的零点是____； （2）若存在实数，使函数有两个不同的零点，则的取值范围是____. 15．数学中有很多优美的图形，如图2所示的叶子形状的曲线，是由函数与的部分图象组合而成的封闭曲线，则下列说法正确的是 ①．是轴对称图形 ②．的弦长的最大值为 ③．直线被截得弦长的最大值为 ④．的面积为 四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间． 17．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望． 18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 19．已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 20．设函数,已知和为的极值点. (Ⅰ)求和的值; (Ⅱ)讨论函数的单调性; (Ⅲ)设,比较与的大小. 21．有穷数列中，令． (1)已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A A C D D D B B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 14. 0 15.①③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【解析】⑴ ． 因为为偶函数，所以对，恒成立， 因此． 即， 整理得．因为，且，所以． 又因为，故．所以． 由题意得，所以．故．因此．（7分） ⑵将的图象向右平移个单位后，得到的图象， 所以． 当（）， 即（）时，单调递减， 因此的单调递减区间为（）．（13分） 17．（13分） 【解析】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”． 由已知，，，． （Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 （4分） （Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则 （9分） （Ⅲ）X的可能取值为1,2,3,4． ；；； ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P ∴．（13分） 18．（14分） 【解析】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，选①②无法证明平面； 故只能选择①③，理由如下： 因为平面平面，平面平面，四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面， 又因为平面，所以，，所以， 又因为，所以，平面，， 所以平面；（6分） （2）由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，则，故，，设平面的方向量为，则，即，令，得，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在设点，使得平面，则，因为平面，所以，，所以，，解得，故，， 所以存在点，为中点，使得平面，此时.（14分） 19．（15分） 【解析】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为.（4分） （2）如图，设的方程为，设，， 联立方程组，可得， 解得，，则， 因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切， 得到，解得， 由题意得，，则的斜率是， 而过点与直线平行的直线交x轴于点， 则该直线方程为，令，解得，得到， 设线段的中点为，由中点坐标公式得， 因为在直线上，所以， 化简得，而，，故解得， 代入中，得到，解得， 则的方程为或.（15分） 20．（15分） 【解析】(Ⅰ)因为, 又和为的极值点,所以, 因此，解得,. 经检验，,，合题意 所以,.（4分） （Ⅱ）因为,,所以, 令,解得,,． 因为当时，； 当时,． 所以在和上是单调递增；在和上是单调递减.（9分） （Ⅲ）由（Ⅰ）可知, 所以， 令，则. 令,得,因为 当时，； 当时，； 所以在上单调递减，在上单调递减. 所以当时，取得极小值，即为最小值. ; 所以对任意,恒有,又，因此, 故对任意，恒有.（16分） 21．（15分） 【解析】（1）为时，， 为时，， 为时，， 为时，， 故，且使得的有序数对有；（5分） （2）由题意可得， 又为整数，故， 则， 同理可得， 即有，            同理可得，当时，有， 即当时，有， 当时，，           故 ；（10分） （3）对于数列，，不妨设， ①首先考虑的情况， 由于，，故，同理，，， 故. ②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况， 此时, 因为，， 故这说明此连续的项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负， 再由①中结论，可得. ③若在①②中，由于， 此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有. ④若，则， 所以此时有， 综上，结论成立.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．_________ ____________ 13．________ ____________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A]B][C[D] 5[A][B][CD] 9[A][B][CD] 2[AB][C[D] 6[A][B][CD] 10A][B][C][D] 艾， 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CD] 二、 填空题（每小题5分，共25分） 11 12 14 箭 15. 妇 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) M 2A--- B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 3．如果，那么下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 4．已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是 A．31 B．243 C．211 D．275 6.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．在智能驾驶快速发展的今天，AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 8．命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．直线与圆：交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 10．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在中，若，则__________. 12．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 13．已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______． 14．已知函数（）， （1）若，则函数的零点是____； （2）若存在实数，使函数有两个不同的零点，则的取值范围是____. 15．数学中有很多优美的图形，如图2所示的叶子形状的曲线，是由函数与的部分图象组合而成的封闭曲线，则下列说法正确的是 ①．是轴对称图形 ②．的弦长的最大值为 ③．直线被截得弦长的最大值为 ④．的面积为 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间． 17．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望． 18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 19．已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 20．设函数,已知和为的极值点. (Ⅰ)求和的值; (Ⅱ)讨论函数的单调性; (Ⅲ)设,比较与的大小. 21．有穷数列中，令． (1)已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，所以. 2．若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，则，， 故， 故选：C． 3．如果，那么下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，选A. 4．已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线方程标准化，由，得（）. ，所以，即，解得. 5．已知，则的值是 A．31 B．243 C．211 D．275 【答案】C 【解析】，故， 令，则， ，故选C 6.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】时，，又的值域为， 则时，的值域包含， 又函数在上单调递增，所以，解得. 故选：D 7．在智能驾驶快速发展的今天，AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 【答案】D 【解析】由题意得，每秒至少执行的运算次数， ， 即. 8．命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：由，且， 设，，，，后续项由依次计算得到： ，，，， 此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立； 必要性：由为等比数列，显然可得， 且，故必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 9．直线与圆：交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 设，则， 由余弦的二倍角公式得：. 10．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为等边三角形的边长是， 所以， 所以，又， 故， 即. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在中，若，则__________. 【答案】 【解析】由余弦定理可得，而，故， 故答案为：. 12．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 【答案】 【解析】由体积相等得： 13．已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程；设，利用抛物线定义求出，运算得解. 【解析】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为. 设，    则， 故，所以， 所以，解得. 故答案为：；. 14．已知函数（）， （1）若，则函数的零点是____； （2）若存在实数，使函数有两个不同的零点，则的取值范围是____. 【答案】 0 【解析】(1)当时， ，分类讨论： 当时， ，不合题意，舍去； 当时， ，符合题意， 综上可得，函数的零点是. (2)原问题等价于函数在上单调，在同一个平面直角坐标系中绘制函数和的图象，观察可得： 当时，二次函数部分不单调，满足题意， 当时，函数在定义域内单调递增，不合题意， 当时， ，这使得函数不单调，满足题意， 综上可得： 的取值范围是. 15．数学中有很多优美的图形，如图2所示的叶子形状的曲线，是由函数与的部分图象组合而成的封闭曲线，则下列说法正确的是 ①．是轴对称图形 ②．的弦长的最大值为 ③．直线被截得弦长的最大值为 ④．的面积为 【答案】①③ 【解析】由得， 的反函数为，两者关于对称，故①正确. 由得， 令， 当时，；当时，； 在上单调递减；上单调递增， 注意到，， 在和有一个零点，另一个零点为， ，故①错误. 与曲线对称轴垂直， 如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可， 找出过与曲线相切且与平行的点即可， 令，令， 此时到的距离， 直线被截得弦长最大值为，故③正确. ，故④不正确. 故选：①③. 四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间． 【解析】⑴ ． 因为为偶函数，所以对，恒成立， 因此． 即， 整理得．因为，且，所以． 又因为，故．所以． 由题意得，所以．故．因此．（7分） ⑵将的图象向右平移个单位后，得到的图象， 所以． 当（）， 即（）时，单调递减， 因此的单调递减区间为（）．（13分） 17．（13分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望． 【解析】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”． 由已知，，，． （Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 （4分） （Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则 （9分） （Ⅲ）X的可能取值为1,2,3,4． ；；； ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P ∴．（13分） 18．（14分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 【解析】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，选①②无法证明平面； 故只能选择①③，理由如下： 因为平面平面，平面平面，四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面， 又因为平面，所以，，所以， 又因为，所以，平面，， 所以平面；（6分） （2）由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，则，故，，设平面的方向量为，则，即，令，得，故，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在设点，使得平面，则，因为平面，所以，，所以，，解得，故，， 所以存在点，为中点，使得平面，此时.（14分） 19．（15分）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 【解析】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为.（4分） （2）如图，设的方程为，设，， 联立方程组，可得， 解得，，则， 因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切， 得到，解得， 由题意得，，则的斜率是， 而过点与直线平行的直线交x轴于点， 则该直线方程为，令，解得，得到， 设线段的中点为，由中点坐标公式得， 因为在直线上，所以， 化简得，而，，故解得， 代入中，得到，解得， 则的方程为或.（15分） 20．（15分）设函数,已知和为的极值点. (Ⅰ)求和的值; (Ⅱ)讨论函数的单调性; (Ⅲ)设,比较与的大小. 【解析】(Ⅰ)因为, 又和为的极值点,所以, 因此，解得,. 经检验，,，合题意 所以,.（4分） （Ⅱ）因为,,所以, 令,解得,,． 因为当时，； 当时,． 所以在和上是单调递增；在和上是单调递减.（9分） （Ⅲ）由（Ⅰ）可知, 所以， 令，则. 令,得,因为 当时，； 当时，； 所以在上单调递减，在上单调递减. 所以当时，取得极小值，即为最小值. ; 所以对任意,恒有,又，因此, 故对任意，恒有.（16分） 21．（15分）有穷数列中，令． (1)已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：． 【解析】（1）为时，， 为时，， 为时，， 为时，， 故，且使得的有序数对有；（5分） （2）由题意可得， 又为整数，故， 则， 同理可得， 即有，            同理可得，当时，有， 即当时，有， 当时，，           故 ；（10分） （3）对于数列，，不妨设， ①首先考虑的情况， 由于，，故，同理，，， 故. ②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况， 此时, 因为，， 故这说明此连续的项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负， 再由①中结论，可得. ③若在①②中，由于， 此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有. ④若，则， 所以此时有， 综上，结论成立.（15分） / 学科网（北京）股份有限公司 $