2026年九年级中考数学专题复习：3.5二次函数基础知识 课件

中考数学一轮复习 专题3.5 二次函数基础知识 同学，二次函数基础知识我们复习几个重点：二次函数的相关概念、图象性质、几何变换等，让我们一起梳理下重点知识和典型例题吧． 整式及其运算 考点剖析 4 二次函数的图象与性质 5 3 1 二次函数与方程、不等式 二次函数的相关概念 求二次函数的解析式 二次函数图象与系数关系 2 6 二次函数的几何变换 二次函数基础知识 二次函数的概念 1．定义：一般地，形如(其中、、是常数，)的函数叫做二次函数.其中，是自变量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项. 2．结构特征： 　①等号右边是关于自变量x的二次式； ②x的最高次数是2； ③二次项系数 a ≠ 0. 知识点一：二次函数的有关概念 二次函数解析式的确定 知识点一：二次函数的有关概念 名称 解析式 适用范围 一般式 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 （为常数，） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 已知抛物线与x轴两交点坐标 注意：抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的解 相互联系 ①以上三种表达式是二次函数的常见表达式，可以互相转化. ②一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 1．二次函数常见表达式： 二次函数解析式的确定 知识点一：二次函数的有关概念 2．对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的表达方式：(1)顶点在原点，可设为； (2)对称轴是轴(或顶点在轴上)，可设为； (3)顶点在轴上，可设为； (4)抛物线过原点，可设为. 二次函数的图象与性质 知识点二：二次函数的图象与性质 图象 特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 图象的画法 (1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象； (2)利用配方法找出函数图象顶点；利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点；利用一般式中的c值找出图象与y轴的交点，画出简易的函数图象. 二次函数的图象与性质 知识点二：二次函数的图象与性质 基本 形式 图象 ＞0 ＜0 二次函数的图象与性质 知识点二：二次函数的图象与性质 基本 形式 对称轴 轴 轴 顶点 坐标 最值 𝑎＞0 开口向上，顶点是最低点，当 有最小值 𝑎＜0 开口向下，顶点是最高点，当 有最大值 二次函数的图象与性质 知识点二：二次函数的图象与性质 基本 形式 增减性 ＜0 在对称轴的左边随的增大而减小，在对称轴的右边随的增大而增大 ＜0 在对称轴的左边随的增大而增大，在对称轴的右边随的增大而减小 二次函数的图象变换 1．二次函数的平移变换：左加右减自变量，上加下减常数项. 方法一: (1)将抛物线解析式转化成顶点式，其顶点坐标为； (2)保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处. 知识点二：二次函数的图象与性质 二次函数的图象变换 1．二次函数的平移变换：左加右减自变量，上加下减常数项 方法二: (1)将抛物线沿轴向上(或向下)平移个单位，得抛物线(或)； (2)将抛物线沿轴向左(或向右)平移个单位，得抛物线(或). 知识点二：二次函数的图象与性质 二次函数的图象变换 2．二次函数的图象的翻折与旋转 知识点二：二次函数的图象与性质 变换前 变换方式 变换后 口诀   绕顶点旋转180° 变号，、均不变 绕原点旋转180° 均变号 沿轴翻折 变号，不变 沿轴翻折 不变，变号 二次函数的图象变换 3．二次函数的对称性应用，主要体现在： （1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； （2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标与的差的绝对值相等； 2.若二次函数与轴有两个交点，则这两个交点关于直线对称； 3.二次函数与的图象关于轴对称；二次函数与的图象关于轴对称. 知识点二：二次函数的图象与性质 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解就是二次函数图象与轴交点的横坐标. 知识点三：二次函数与方程、不等式 与的 关系 二次函数与轴交点个数 一元二次方程根的情况 2个交点 有两个不相等的实数根 1个交点 有一个不相等的实数根 0个交点 没有实数根 二次函数与不等式的关系（以大于为例） 知识点三：二次函数与方程、不等式 图象 观察方法 解集 的解集情况 函数的图象位于轴上方时对应的自变量的取值范围 或  的解集情况 函数的图象位于轴下方时对应的自变量的取值范围 知识梳理 知识点1 二次函数的相关概念 一般地，形如 (，其中是常数)的函数叫做二次函数. 其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时, 常用一般式求其表达式. （1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. （2） 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 其中 且是常数 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标 , 时，常用交点式求其表达式. 2.三种表达式 1.定义 典型例题 二次函数的相关概念 考点1 例1 解析 (1)下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中二次函数有 __________． (2)若是二次函数，则的值是__________． 解题通法 ①关键是x的最高次数为2，必须保证二次项系数不为0 ②若二次项为字母，需加不为0的限定条件 ③若不是最简形式，注意二次项不可通过化简消去 解：(1)①为一次函数； ②为二次函数；③自变量的最高次数为3，不是二次函数； ④是一次函数，⑤不是二次函数⑥为二次函数，故答案为：②⑥． (2)由题意得：，且，解得：， 故答案为：2． ②⑥ 2 知识梳理 知识点2 求二次函数的解析式 2.代 1.设 3.求 4.写 对于二次函数 ,若系数中有一个未知,则代人任意一点的坐标;若有两个未知,则代入任意两点的坐标;若三个都未知，则根据下表选择合适的表达式 已知 选用表达形式 顶点+别的点 与轴的两个交点+别的点 与轴的两个交点+对称轴+别的点 任意三点 求解方程，得系数或常数项 将所得系数或常数项代回表达式 将点的坐标代入设的解析式中，得到一次方程(组) ①二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； ②任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线才可以用交点式表示. 典型例题 二次函数的相关概念 考点1 例2 解析 (1)已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ． （2）∵一个二次函数的图象与抛物线的形状相同， ∴可设该二次函数的解析式为， ∵该二次函数的顶点为， ∴该二次函数的解析式为， ∴该二次函数的解析式为 或． 故答案为：或． 解：（1）∵二次函数的图象 经过点、 ∴抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴函数的解析式为， 即， ∴当时，， 故答案为：3． (2)一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，且顶点为，那么这个函数的关系式是 . 3 或 特别提醒 知识梳理 知识点3 二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线， 该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 + + +b+c 图象 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 (，) 知识梳理 知识点3 二次函数的图象与性质 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说， y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 典型例题 二次函数的图象与性质 考点3 例3 解析 解：， 该抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而增大； 当时，随 的增大而减小. 点，，都在抛物线 上，点A在点B左侧， 若，则；若，则 . 故选D. 比较函数值大小的方法 方法1：直接代入（适用于具体函数）； 方法2：借助图象； 方法3：利用对称性转化（当<m></m>时，离对称轴越远，函数值越大） 解题通法 已知点，，都在抛物线上，点A在点B 左侧，下列选项正确的是( ) A.若c<0，则a<c<b B.若c<0，则a<b<c C.若c>0，则a<c<b D.若c>0，则a<b<c 解：∵由一次函数与反比例函数图象可得： ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 与 y轴交于正半轴，故答案为：D . 典型例题 例4 解析 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示， 则函数的图象大致为（    ） ①若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； ②由a的符号与对称轴的位置共同确定b的符号； ③通过给赋值，结合图象即可判断特殊函数值的正负. 解题通法 A. B. C. D 二次函数的图象与性质 考点3 知识梳理 知识点4 二次函数图象与系数的关系 字母 字母的符号 图象特征 备注 开口向上 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小(越大，开口越小) 开口向下   对称轴是y轴，即 =0  左同右异中间0 同号 对称轴在y轴左侧，即 异号 对称轴在y轴右侧，即   图象过原点  决定了抛物线与y轴交点的位置 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交   与x轴有两个交点  的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 图象与的关系 典型例题 例6 解析 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，对称轴为直线 ，对于该二次函数，下列结论正确的是_________ ___（填序号）. ⑤点 一定在该抛物线上；⑥方程 有两个不相等的实数根； ⑦当时， ;⑧ . 解：由题图知该抛物线的对称轴为直线， ， ,.故正确，②不正确，④正确； 当，，故③正确； ∵当时，,点一定在抛物线上，故⑤正确； 当，对应两个值，有两个不相等的实数根,故⑥正确; . 二次函数图象与系数的关系 考点4 由图象对称性可当与对应的值相同，可知当时，，故⑦正确； 当x=1时函数有最小值为, ∴m为任意实数时，,即，故⑧正确， 所以答案为：. 典型例题 例7 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线， 且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点在，之间（不含端点）， 则下列结论正确的有多少个（    ） ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 解：由图可知，∵抛物线的对称轴为 直线，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)， ∴，，则， ∵抛物线与y轴的交点B在(0,-2)，(0,-3)之间， ∴-3＜c＜-2，则abc＜0，故①错误； 设抛物线与x轴另一个交点(x,0)， ∵对称轴为直线x=-1 ，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)， ∴，解得， 则，故②错误； ∵-，， ∴，解得 ， 故③正确； 根据抛物线与x轴交于点 和，直线过点和， 如图，方程两根为满足 ， 故④正确； 二次函数图象与系数的关系 考点4 知识梳理 知识点5 二次函数与方程、不等式 求二次函数的图象与轴的交点坐标，就是令，求中的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与轴的交点的个数 1. 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 知识梳理 知识点5 二次函数与方程、不等式 判别式 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 与x轴交点个数 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 ＞0 a＞0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴交于 （x1，0），（x2,0）（x1＜x2） 两点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 有两个不相等的实数根     2个交点 a＜0 ＝0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴交于（- ，0） 一点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 有两个相等的实数根     1个交点 ＜0 抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0) 与x轴无交点 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 在实数范围内无解 （或称无实数根）     0个交点 a＞0 a＞0 a＜0 a＜0 知识梳理 知识点5 二次函数与方程、不等式 a＞0 a＜0 图象 x1＜x2 有两个交点 有1个交点 无交点 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 ＞0 ＝0 ＜0 ＞0 ＝0 ＜0 ax²+bx+c＞0 x＜x1或x＞x2 x≠x1 的全体实数 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 ax²+bx+c=0 x=x1或x=x2 x=x1=x2 无实根 x=x1或x=x2 x=x1=x2 无实根 ax²+bx+c＜0 x1＜x＜x2 无解 无解 x＜x1或x＞x2 x≠x1 的全体实数 全体实数 ( 典型例题 例8 解析 二次函数与方程、不等式 考点5 如图，已知二次函数图象经过点 (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． （1）解：∵二次函数图象经过点A(1,−2)，B(0,−5) ∴ ∴顶点坐标为：； （2）当时，，∴，解得：，， 如图，当时，∴. y= 典型例题 例9 解析 二次函数与方程、不等式 考点5 解：（1） 令，则. ∵ ∴ 该函数的图象与x轴总有公共点. （2） 令， 解得 . ∴ 易得AB＝ . ∵ ，∴ 易得＜AB＜1. （3） 对于， 当时，； 当时，. ∴ 该函数图象一定过点（1，0），（0，－1）. ∵ 当时，， ∴ 当函数图象的开口向上时，满足题意，则； 当函数图象的开口向下时，且， 解得. 综上所述，的取值范围是或. 已知函数y＝ax2＋（1－a）x－1（a为常数，且a≠0）. （1） 求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2） 当a＜－2时，该函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长的取值范围 （3） 若当0≤x≤1时，y≤0，请直接写出a的取值范围. 知识梳理 知识点6 二次函数的几何变换 二次函数的平移变换 平移方式 一般式 顶点式 平移口诀 向左平移个单位 左加 向右平移个单位 右减 向上平移个单位 上加 向下平移个单位 下减 知识梳理 知识点6 二次函数的几何变换 ① 二次函数图象平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)²+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图象上某点平移后的坐标口诀与图象平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 知识梳理 知识点6 二次函数的几何变换 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于轴对称 不变，变- 关于轴对称 不变，变- 关于原点对称 变-，变- 原表达式 及顶点 变化形式 变化后 的值 变化后的 顶点坐标 变化后的表达式 ， 顶点坐标 为 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点 O中心对称 典型例题 例10 解析 二次函数的几何变换 考点6 解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵，∴ 掌握二次函数图象的平移以及二次函数的性质，熟练应用平移的规律确定抛物线解析式. 解题通法 已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点 在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 已知抛物线的解析式是 . 该抛物线关于轴对称的抛物线 的解析式为__________________； 该抛物线关于轴对称的抛物线 的解析式为_________________； 该抛物线关于原点对称的抛物线 的解析式为_________________； 典型例题 例11 解析 二次函数的几何变换 考点6 解：，其顶点坐标为 . 抛物线关于轴对称后，抛物线开口向下，顶点坐标为 ，所以抛物线的解析式为 . 抛物线关于轴对称后，抛物线开口向上，顶点坐标为 ，所以抛物线的解析式为 . 抛物线关于原点对称后，抛物线开口向下，顶点坐标为 ， 所以抛物线的解析式为 . 已知抛物线的解析式是 . 该抛物线关于轴对称的抛物线 的解析式为__________________； 该抛物线关于轴对称的抛物线 的解析式为_________________； 该抛物线关于原点对称的抛物线 的解析式为_________________； 典型例题 例11 解析 二次函数的几何变换 考点6 方法二：抛物线与抛物线关于 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即，因此抛物线的解析式是 . 抛物线与抛物线关于 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变， 即，因此抛物线 的解析式是 . 抛物线与抛物线 关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，即 ， 因此抛物线 的解析式是 . 对</m>先配方， 找到顶点坐标 ❶ ❷ ❸ 解题通法 再见 $