精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高一下学期数学学科阶段性练习

江西省上高二中2025-2026学年高一下学期数学学科阶段性练习 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 可得， 解得， 所以； 又因为， 所以. 故选：D. 2. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数以及指数函数的单调性，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】因为，即， ，即， ，即， 所以. 故选：B 3. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 4. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简，再应用二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则. 6. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 7. 在中，,且，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】推导出，根据向量夹角余弦公式求出，得到答案. 【详解】因为表示两向量各自方向上的单位向量， 又，所以的角平分线与垂直，所以， 因为，， 所以，则 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知化简求得，利用二倍角公式进行弦化切求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 显然， ， 于是. 二、多选题 9. 在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】CD 【解析】 【详解】在中，过点作于点，则为中边上的高，记为. . 根据三角形解的个数判断法则，当时或者时，恰有一个解，即或，故选项C和选项D符合题意. 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，由， 得， 即，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项， ，故D错误. 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 三、填空题 12. 已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 13. 已知，，，若、、三点共线，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线可得，即可根据正切的二倍角公式求解. 【详解】,由于、、三点共线，故共线， 因此，故， 则 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由题意，设，选取为基底，将和用基底表示，然后根据向量数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】解：因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点， 所以设， 则,， 所以， 因为，所以， 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 16. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知，， （ⅰ）求的周长； （ⅱ）点在上，满足，连接，作于，求线段的长度. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和公式化简即可求角； （2） （ⅰ）用余弦定理求边，即可求出周长，（ⅱ）再利用正弦定理求角，即可解直角三角形求边. 【小问1详解】 根据正弦定理，将边化角可得： ， 又因为， 又因为在中，，所以， 即，又因为，， ，即 ； 【小问2详解】 因为，  ，整理得，解得或（舍去）， 因此周长为； 已知，，故， 由正弦定理 ， 因为，为直角三角形，故， 可得. 17. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求t的值，并用向量方法证明． 【答案】（1） （2） （3），证明如下： ， 因为三点共线， 所以，又， 所以， 所以，解得. 【解析】 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）根据中线的性质及三点共线求证即可. 【小问1详解】 因为为BC的中点，， ， . 【小问2详解】 因为， , ， . 【小问3详解】 略 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． （1）求A； （2）若，求面积的最大值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算以及正余弦定理即可求出； （2）用表示，再根据得出，再结合基本不等式即面积公式即可； （3）利用正弦定理得出，，进而化简得出，再结合锐角三角形的信息即可求出. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由题意得， 则，得， 即， 得，等号成立时， 的面积为，则的面积取得最大值. 【小问3详解】 由正弦定理，得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则，，所以， 故周长的取值范围为. 19. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）最小值为，；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 （i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上高二中2025-2026学年高一下学期数学学科阶段性练习 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 4. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，,且，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，内角所对的边分别为，，，且恰有一个解，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 三、填空题 12. 已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 13. 已知，，，若、、三点共线，则______. 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______． 四、解答题 15. 已知向量，且． （1）求向量与的夹角； （2）求的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 16. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知，， （ⅰ）求的周长； （ⅱ）点在上，满足，连接，作于，求线段的长度. 17. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求t的值，并用向量方法证明． 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． （1）求A； （2）若，求面积的最大值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 19. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $