精品解析：天津市双菱中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科期中阶段质量监测

天津市双菱中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科期中阶段质量监测 时间：100分钟 总分：100分 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，若，则（ ） A. 或 B. 或0 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】函数的导数为：， 由条件得：， 解得：， 即或. 2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A. 3. 从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（ ）种． A. 30 B. 36 C. 56 D. 66 【答案】B 【解析】 【详解】从名学生中选出3名，共有种； 从6名男生中选出3名，共有种； 则至少有1名女生的选法共有. 4. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由导数与单调性的关系判断即可． 【分析】由函数的图象可知： 当时，，，此时单调递增； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递增． 5. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件， 则 ， ， 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为. 6. 将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定容积关于的函数表达式，求导，确定单调性即可求解. 【详解】因为铁片的四角截去四个边长均为的小正方形， 所以无盖方盒的底面积为，高为. 设方盒的容积为，则， 令， 得或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，方盒容积最大. 7. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（ ） A. 由“第行所有数之和为”猜想： B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C. D. 第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，D错误. 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性定义，将问题转化为在上单调递增，由此可知在恒成立，采用分离变量的方法可求得结果. 【详解】当时，由得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即，实数的取值范围为. 9. 已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图象，由数形结合求解即可． 【详解】设与相切于点， 则，解得，此时. 由得， 由，可得，此时切点为， 作出函数与的图象如图， 由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数，则， 所以. 11. 若二项式的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】用二项式系数和公式可求二项式系数之和；用赋值法，令变量为1，可求得系数之和，再求． 【详解】解：二项式的展开式中的二项式系数和， 令得，各项系数和， ． 12. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而可得的可能取值，求出对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】记取出的两个球都是红球为事件，则， ，即 解得或（舍）， 故的可能取值为， 则， ， 故答案为：1. 13. 已知随机变量的分布列如图： -1 0 1 设，则的方差__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 因此， ， 因为，所以. 14. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件， 依题意，，，， 由全概率公式得， 所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是. 15. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数 （1）若在处有极小值，求； （2）若，求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【小问1详解】 由，得， 因为为的极小值点所以，解得或， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极小值点； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极大值点； 经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以； 【小问2详解】 当时，，令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以为在区间的极大值，也是最大值. 由于，，，所以最小值为. 综上所述，在区间上的最小值为，最大值为. 17. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中项为：，所以. 【小问3详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 18. 2024年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）可应用二项分布求解3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，分别求出，进而可得不同取值时的概率，列出分布列，求出期望即可． 【小问1详解】 记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件， 则． 【小问2详解】 记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， 由相互独立可知， ， ， 所以的分布列是： 0 1 2 3 则的数学期望是． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）将变形为关于的一元二次方程，令，将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合导数与单调性及最值的关系求解即可， 【小问1详解】 ，定义域为. 则，所以， 又， 则曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 令，得， 即. 设函数，则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则. 当时，，当时，，且当时，，当时，， 作出的大致图象，如图所示. 令，则. 显然不是方程的根， 所以函数有两个零点，因为， 所以且， 所以且， 得，即的取值范围为. 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【小问1详解】 的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. 【小问3详解】 ，. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市双菱中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科期中阶段质量监测 时间：100分钟 总分：100分 一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，若，则（ ） A. 或 B. 或0 C. D. 0 2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 3. 从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（ ）种． A. 30 B. 36 C. 56 D. 66 4. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A. B. C. D. 5. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（ ） A. 由“第行所有数之和为”猜想： B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C. D. 第29行中从左到右第14与第15个数相等 8. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知函数，则__________. 11. 若二项式的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________. 12. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 13. 已知随机变量的分布列如图： -1 0 1 设，则的方差__________． 14. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 15. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数 （1）若在处有极小值，求； （2）若，求在区间上的最值. 17. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 18. 2024年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有3个零点，求的取值范围. 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $