精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

天津市第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设曲线在点处切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知，则等于（ ） A. 1094 B. 1093 C. D. 4. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 5. 若，则值为（ ） A 14 B. 84 C. 34 D. 204 6. 已知，函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 把5件不同产品随机摆成一排，则产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 在《哪吒之魔童闹海》中，哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠，土拨鼠小队眼神清澈， 手拿破碗， 穿着破烂， 吃着南瓜粥， 过着自给自足， 与世无争的生活.若在某天清晨， 土拨鼠小队长 带领另外5只土拨鼠排队出门巡逻，小队长 只能在排头或结尾；甲土拨鼠是新手，不能离队长超过 1 只土拨鼠距离；乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻，请问这支土拨鼠小队总共有（ ）种排队巡逻方式. A. 72 B. 48 C. 64 D. 56 10. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 在的展开式中，项的系数为_________. 12. 过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______. 13. 已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 14. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是_________. 15. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择 （1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有______种. （2）若定义事件A为丙和丁恰好有一人选择是“九章算术”，则______. 16. 设实数，若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）求曲线在上的最大值和最小值； 19. 已知函数（，）． （1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （2）若，且， ①求的值； ②求的最大值． 20. 已知函数f(x)= xlnx. （1）求f(x)的单调区间； （2）若 恒成立，求实数m的取值范围； （3）若正实数a，b满足证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：D 2. 设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，计算出切点处的导数值及切线的斜率，在根据直线方程求出直线斜率，两直线平行斜率相等即可求出的值. 【详解】由，得， 又因为点在曲线上， 所以曲线在点处的切线的斜率， 易知直线的斜率为， 又因为两直线平行，所以即. 故选：C 3. 已知，则等于（ ） A. 1094 B. 1093 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法即可得所求系数之和. 【详解】令，得， 再令，所以， 两式相加再除以得：， 故选：D. 4. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD. 【详解】对于A，，不满足取极值的必要条件，故A错误； 对于B，当时，，这表明在上单调递增，故B错误； 对于C，，不满足取极值的必要条件，故C错误； 对于D，当时，，当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数，故D正确. 故选：D. 5. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 84 C. 34 D. 204 【答案】C 【解析】 【分析】先由得或，由题意符合题意，再结合组合数的计算可得. 【详解】因为，所以或，解得或， 因为，所以，可得， 所以. 故选：C 6. 已知，函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，通过即可求解. 【详解】因为，所以，令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的单调递增区间为， 故选：C． 7. 把5件不同产品随机摆成一排，则产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型公式，结合排列问题，即可求解. 【详解】因为5件不同的产品随机摆成一排总共有种排法，当、相邻时，有种摆法，当、相邻又满足、相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种，所以所求概率为. 故选：B. 8. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求定义域，令得有两个根，构造，求导得到其单调性，得到最值，结合函数图象特征得到实数a的取值范围. 【详解】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒成立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 故选：A 9. 在《哪吒之魔童闹海》中，哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠，土拨鼠小队眼神清澈， 手拿破碗， 穿着破烂， 吃着南瓜粥， 过着自给自足， 与世无争的生活.若在某天清晨， 土拨鼠小队长 带领另外5只土拨鼠排队出门巡逻，小队长 只能在排头或结尾；甲土拨鼠是新手，不能离队长超过 1 只土拨鼠距离；乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻，请问这支土拨鼠小队总共有（ ）种排队巡逻方式. A 72 B. 48 C. 64 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】利用不相邻问题插空法，特殊元素优先安排的方法可求答案. 【详解】小队长A只能在排头或结尾，分两种情况讨论: ①小队长A在排头，甲土拨鼠是新手，不能离队长超过1只土拨鼠距离，甲土拨鼠只能在第二位或第三位; 若甲土拨鼠在第二位，先排其余2只土拨鼠，乙丙插空排列即可，共种; 若甲土拨鼠在第三位，乙丙之一在第二位，其余土拨鼠全排列，或者乙丙在第四位和第六位，共种; ②小队长A在结尾，同理可得，共种; 综上所述，这支土拨鼠小队总共有56种排队巡逻方式. 故选：D 10. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性和最值，由题意得，即，求出答案. 【详解】，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 故， 由题意得，即， 解得. 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 在的展开式中，项的系数为_________. 【答案】55 【解析】 【分析】结合乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】 的通项公式为， 其含有项和常数项分别，， 则的展开式中含有的项的系数为. 故答案为：. 12. 过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出和的切点，求出切线方程为，再利用导数的几何意义得到，进而得到和的切点为，再代入中，求解即可. 【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为， 且设和的切点为， 因为，所以，由导数的几何意义得， 则切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则切线方程为， 设和的切点为，且， 由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得. 故答案为：. 13. 已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为______（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为展开式各项系数的和为，二项式系数的和为， 所以，解得 因为的展开式的通项为， 由，得4， 所以，即含项的系数为15． 故答案为：15 14. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数在定义域上单调递增，由恒成立求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 15. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择 （1）若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有______种. （2）若定义事件A为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则______. 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】（1）把4人分成3组，再分配课程，减去甲乙选择同一课程的情况即可；（2）在丙丁恰有1人选择“九章算术”时，按只有1人、有2人选择“九章算术”分类求出事件含有的基本事件数即可. 【详解】（1）四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； （2）“九章算术”只有1人选择，共有种方案； “九章算术”有2人选择，共有，因此事件发生的方案种数为， 所以. 故答案为：30； 16. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 详解】由，不等式， 又，令，求导得，在上单调递增， 不等式， 依题意，，恒成立，令，求导得， 当时，；当时，，在是递增，在上递减， 因此当，函数取得最大值，则，即， 所以实数m的最小值为． 故答案为： 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明可得平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求两平面夹角的余弦值. （3）利用空间向量可计算点到平面的距离. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，由是的中点得，且， 由是的中点得，且， ∴，即四边形是平行四边形，故， ∵平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，得，故， 设平面的法向量为，则， 令，得，故， ∴，故平面与平面的夹角余弦值为. 【小问3详解】 由（2）得，， ∴点到平面的距离为. 18. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）求曲线在上的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据极值与导数的关系可得出，求出、的值，再结合导数与函数极值的关系检验即可； （2）分析函数在区间上的单调性，并求出其极大值、极小值以及端点函数值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 因为，则， 因为函数在处取得极值，则， 解得或， 当，时，则恒成立， 此时，函数在上为增函数，不合乎题意； 当，时，， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 此时，函数在处取得极小值，合乎题意. 综上所述， 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，函数的极大值为，极小值为， 又因为，， 故当时，函数的最大值为，最小值为. 19. 已知函数（，）． （1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （2）若，且， ①求的值； ②求的最大值． 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由得二项式系数最大的项为第四项或第五项，求出即可得解； （2）对①，先求通项， 由求得，求，再赋值即可得解； ②若求最大项，根据求解即可； 【小问1详解】 当时，的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以或； 【小问2详解】 ①的通项公式为，且，所以，解得， 所以， ，令，得 ②的通项公式为，所以， 设为()中的最大值，则， 解得，，，所以， 所以. 20. 已知函数f(x)= xlnx. （1）求f(x)的单调区间； （2）若 恒成立，求实数m的取值范围； （3）若正实数a，b满足证明： 【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）解不等式和即可； （2）构造函数，再研究方程的根即可分类得出的单调性； （3）先用三角换元设出，再构造函数，再研究其单调性，求其最小值即可. 【小问1详解】 依题意，的定义域为，， 得；得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 由，即对恒成立， 设，，则， ， 当时， ，则在上单调递增， 故，符合题意； 当时，令，则，因，则该一元二方程存在两个根，又，则， 则得；得， 则在区间上单调递增，在区间上单调递增减， 则当时，不符合题意， 综上可知，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 令，， 令， 则 ， 设，，则，则在上单调递增， 当时，，则，； 当时，，则，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由（2）可知，当时，，则 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$