题号猜押10 广东深圳中考数学20题（5大考点，几何新定义题）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押10 广东深圳中考数学20题（几何压轴题） 考点1 三角形和圆综合探究题 1．（2026年广东深圳市福永中学中考数学二模）综合与探究 【课本回顾】如图1，在中，中线，，于点，点叫做的重心． 【知识探究】 （1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取中点，连接，证明； 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系 图形表达                                   在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种） 【问题解决】 （2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）． ①如图Ⅱ，若点是弦的中点，交于点，则的值为 　　； ②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值； ③如图，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，直接写出与的函数关系式． 【答案】（1），见解析；（2）①；②；③ 【来源】2026年广东深圳市福永中学中考数学二模模拟卷 【分析】（1）根据提供的思路证明即可； （2）①证明为的重心即可得解； ②由前述结论可得，根据这一关系设参数，利用勾股定理将、和表示出来即可得解； ③作，将和用含的式子表示出来，再用建立关于和的等式即可． 【详解】解：（1）线段与存在固定的数量关系为，理由： 思路一：取中点，连接，如图， ，， 为的中位线， ，． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 思路二：作交延长线于点，如图， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． ，， ， ， ； （2）①连接，如图， ，， 为的重心， ， ， ． 故答案为：； ②连接、， 由（1）知：， 设，则， ，， ， ． ， 由（1）知：． ． ③如图，连接， 是的直径， ， ， 如图所示，过点作于点，交于， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，，，， ， ， ， 即，整理得． 与的函数关系式为． 2．（2026年广东深圳市中考复习阶段模拟测试）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)的中点为； (2)①见解析；②的长为或或． (3)的值为． 【来源】2026年广东深圳市中考复习阶段模拟测试（4月）数学试题 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【详解】（1）解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （2）解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． （3）解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 3．（26年深圳龙岗外国语集团压轴专题训练）综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值． 【答案】（1），是中边上的“亮点”，理由见解析；（2）或9；（3） 【来源】2025-2026年深圳龙岗外国语集团几何新定义问题—重点题型专练 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确理解“亮点”的定义是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，则，据此可得答案； （2）作于点，分点在点左侧和点在点右侧，两种情况，解直角三角形求出的长，设出的长，表示出的长，根据，，建立方程讨论求解即可； （3）延长交于点，连接、，证明，推出，即可得到，解直角三角形得到；设，则，，进而得．求出．则，据此可得答案． 【详解】解：（1），是中边上的“亮点”，理由如下： 是的高线， ， ， ∵， ∴， ， ， 点是中边上的亮点 在中，是中线， ， 点是中边上的亮点． （2）过点作于， ①如图，当点在点左侧时， 在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍） ∴； ②如图，当点在点右侧时，由①可知，， 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍） 即． 综上所述，的长为4或9． （3）延长交于点，连接、， ，， ， ， ． 点是中边上的亮点， ， ． ∵， ∴ ， 设，则，． ． 在中，． 又， ．解得． ． 考点2 几何综合探究题 1．(25-26九·广东深圳外国语学校·一模)综合探究 　　 (1)理解应用 如图1，在正方形中，，，与交于点F，求的长度． (2)问题探究 如图2，在矩形中，过B作的垂线交于点F，交于点E，．试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在中，点，点，点，与y轴交于点M，点P从B点出发沿、运动，过点P作的垂线，过点M作的平行线，两线相交于点N，将沿翻折得到，若点T落在x轴上，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或 【来源】广东深圳市外国语学校2025-2026学年第二学期九年级中考一模测试数学试卷 【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定得出，确定，，即可求解； （2）根据各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，先确定直线所在直线的函数解析式为，得出，然后分三种情况分析：当点P在线段上时，当点P经过点A到线段上时，当点P在线段上，经过y轴到第一象限时，分别作出图形，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵点，点， ∴设直线所在直线的函数解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 设直线交x轴于点F， 当时，，当时，， ∴， ∴， 当点P在线段上时，如图所示： 设，则， 过点A作于点H， ∵点，点， ∴， ∴， 根据题意得：轴，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴即， 解得：， ∴>1，， ∴点P在第二象限， ∴； 当点P经过点A到线段上时，如图所示： ∴， 设， ∵折叠， ∴， ∴， 同理得：， ∴，即， 解得：， ∵， ∴点P在第二象限， ∴； 当点P在线段上，经过y轴到第一象限时，如图所示： ∴， 设， ∵折叠， ∴， ∴， 同理得：， ∴，即， 解得：， ∴点P在第一象限， ∴； 综上可得：P点的坐标为或或． 2．(25-26九下·广东深圳南山二外（集团）海德学校初中部·一模)【问题初探】（1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点．且，求证：，． 【类比迁移】（2）如图2，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿BE折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长． 【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，，点E是边上一点，且，F为延长线上一点，连接交射线于点G，当线段与射线所夹的锐角为时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【来源】广东省深圳市南山二外（集团）海德学校初中部2025-2026学年九年级下学期一模数学试题 【分析】（1）延长交于于点H，结合正方形的性质利用证明，和，证明即可； （2）延长交于于点H，结合矩形的性质得、和，在中，利用勾股定理得到，结合折叠的性质得和，即可证明得到和，即可求得，利用解直角三角形得到，在中利用求得，在中，利用勾股定理求得，即可得到； （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或， ①当时，过点E作交于于点P，延长交延长线于点H，结合菱形的性质得，，，令，，则．在中，利用勾股定理求得，在中求得．结合平行线得到和，求得和．进一步证明和，有求得，即可求得和，结合即可；②当时，．由①知和，则有和得到，求得和、，利用即可． 【详解】（1）证明：延长交于于点H，如图， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即； （2）解：延长交于于点H， 在矩形中，，，， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∵沿折叠得到， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，，即， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴； （3）解：当线段与射线所夹的锐角为时，则或； ①当时，过点E作交于于点P，延长交延长线于点H， 在菱形中，， ∴，，， ∵， ∴令，，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，， 由①知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由①知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 3．(25-26九·广东深圳南山二外集团前海学校·一模)问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．      【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【来源】广东省深圳市南山二外集团前海学校2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，    ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 考点3 新定义几何综合题 1．(25-26九·广东深圳南山区深圳湾学校·一模)综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形．如图1中，，此时四边形是双等四边形． (1)【初步探究】 如图2，在正方形中，、是边上的两点，连接、交于点．若，求证：四边形为双等四边形； (2)【问题解决】 如图3，在（1）的条件下，连接，若正方形的边长为，，求的长； (3)【拓展应用】 如图4，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的长为或 【来源】广东深圳市南山区深圳湾学校2025-2026学年度第二学期第一次模拟测试九年级数学学科试题 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可证明，得出，根据双等四边形的定义即可得出结论； （2）过点作于，设，在中，利用勾股定理求出，根据得出，，根据相似三角形的性质得出，，利用勾股定理即可求出的长； （3）分和两种情况，根据，利用相似三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形为双等四边形． （2）解：如图，过点作于， ∵正方形的边长为，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，过点作于，延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，，， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 如图，当时，于，延长交于，过点作于， 同理可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述：的长为或． 2．(25-26九下·广东深圳宝安区富源学校·)定义：在平行四边形中，是平行四边形的对角线，点是平行四边形边上一点，分别连接，若满足，则称点为平行四边形的“共轭连接点”． (1)如图1，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，则___________； (2)如图2，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，，，求的长； (3)如图3，已知在矩形中，矩形的两邻边的之比为，点是矩形的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出___________． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②或． 【来源】广东省深圳市宝安区富源学校2025-2026学年下学期九年级3月学生数学学习能力评估 【分析】（1）先解出，再证为等边三角形即可求解； （2）同（1）解出，再过作交于，可证得，求得，即，解出即可求解； （3）①延长，使得，再作的垂直平分线，以为直径作圆即可；②设，再分别在中，利用勾股定理，构建方程求解． 【详解】（1）解：， ， 在平行四边形中，, ，， ， ， ， ， ， 又， ，则为等边三角形， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）， ，， 又， ， 过作交于， ， 为中点，， 在中，， ， ， ； （3）解：①如图即为所求， 延长，使得， 在和中， ， ， ， 又为直角三角形， 则以为直径作，与交于点， 又圆的内接四边形对角互补， ， 即, 故即为所求； ②如图，不妨设，则，， ， 当在处时，连接， 设，则， 为直径， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， 此时， 同理可得， 综上，或． 3．(2026九·广东省深圳市·一模)如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________． 问题探究 （2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，的面积最小，最小值是 【来源】2026年广东省深圳市南山区北京师范大学深圳南山附属学校中学部九年级中考数学第一次模拟考试试卷 【分析】(1)利用可证，根据全等三角形的性质可得是的垂直平分线，利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出的面积，再利用轴对称的性质求出四边形的面积； (2)过点作，交于点，利用轴对称的性质可知，根据垂线段最短的性质可知的最小值就是线段的长度，利用等边三角形的性质求出的长度即为的长度； (3)因为四边形为“对称四边形”，可知，，根据垂线段最短可知的最小值是，可得的面积最小值是，再根据对称的性质求出点的坐标． 【详解】(1)解：四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”， ，， 在和中，， ， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形的面积是； 故答案为：； (2)解：如下图所示，过点作，交于点， 四边形是“对称四边形”，是“对称线”， ， ， 当点、、三点共线且时，最小， 即最小， ， ， 由对称可知， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为； (3)解：存在， 理由如下： 是“对称线”， ，， 点的坐标为， ， ， 四边形为“对称四边形”， ， 垂线段最短， ， ， 则点的坐标是， 是“对称线”， 点是的中点， 点的坐标是， 当点的坐标是时，的面积最小，最小值是． 考点4 旋转探究题 1．(25-26九·广东深圳罗湖外语初中学校·一模)如图1为正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【来源】广东深圳市罗湖外语初中学校2025-2026学年第二学期九年级一模测试数学试卷 【分析】（1）由正方形证明，得到； （2）由矩形得到，结合，得到，即可得到，； （3）交于点，先求出，再由，得到，即可求出，，，最后根据勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 2．(2025·广东省深圳市·二模)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点． 操作与计算 （）如图，当时，求的长． 深度思考 （）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【来源】2025年广东省深圳市福田区中考二模数学练习卷 【分析】（）利用勾股定理求出，利用三角形面积求出，可得，由得到，即可求解； （）．连接，由，，可得，即得，，进而得，即可求证； （）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形，可得，，得到，即可得， 得到，由可得，由，，得到，推导出，进而得到，可得，，，由得到，得到，求出，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（）解：如图， 当，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴四边形的面积． 3．(2026·广东省深圳市·二模)如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【来源】2026年广东省深圳市光明区中考二模数学练习卷 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形． （1）由旋转的性质，结合即可证明； （2），同理可证明，则，故，即可证明平行； （3）延长至点，使得，可得为等边三角形，证明，则，，即可得到，那么，则，故，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 延长至点，使得， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点5 折叠图形综合探究 1．(25-26九·广东深圳福田区红岭教育集团园岭中学·一模)折纸之术，源远流长，古称“折矩 ”“叠方 ”，其中暗含几何之理．今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动： 【探究一】如图 1，在矩形 中，点 M，点 N 分别是边 的中点，连接 ，点 P 为边 上的一点，将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． 已知，．①直接写出的长度；②求的值． 【探究二】在正方形中，点 N 是边的中点，将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，连接，与 交于点 P，已知正方形的边长是 20，请在图 2 中补全图形，并求的长． 【探究三】如图 3，在菱形 中，，，点 M 为边上的一个动点，连接，将沿着直线翻折得到，点 D 的对称点为点 N．直线 与直线相交于点 G，直线与直线 相交于点 H．作 于点 P，已知 ，请直接写出的值． 【答案】【探究一】①；②【探究二】【探究三】的值为或 【来源】广东深圳市福田区红岭教育集团园岭中学2025-2026学年九年级第一次模拟考试数学试卷 【分析】【探究一】①利用勾股定理求出的长，再利用翻折得出，进而即可得解；②连，利用勾股定理得到，求出，进而即可得解； 【探究二】延长交于点，连，由得出，由勾股定理得出，由得，进而即可得解； 【探究三】分当点在之间和当点在之间时两种情况讨论即可得解． 【详解】【探究一】解：①∵点 N 是边 的中点，， ∴， ∵在矩形 中，， ∴，，， ∴， ∵将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． ∴， ∴； ②如图，连， ∵将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究二】解：如图，延长交于点，连， ∵正方形的边长是 20，点 N 是边的中点， ∴，， ∵将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【探究三】解：∵在菱形 中，，， ∴，，， ∴都为等边三角形， ∴， ∵ 于点 P， ∴， 当点在之间时，设交于点，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在之间时，如图， ∵ ， ∴， ∵将沿着直线翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 2．（26年深圳光明实验学校中考数学二模练习试题）【课本再现】（）如图，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了（    ） A．二等分                B．三等分                C．四等分 【类比探究】（）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，（    ） ，______， ，即． （）如图，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】（）如图，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请求出的长． 【答案】（）；（），，，；（）点是边的“三等分点”，证明见解析； （）或 【来源】2025-2026年深圳光明实验学校中考数学二模练习试题分类汇编 【分析】（）利用折叠的性质和锐角三角函数可得，即得，进而可得，即可求解； （）根据题意补全证明过程即可； （）由可得，进而由得，即得，即可求证； （）分和两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（）解：由折叠可得，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分 ， 故选：； （）证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：，，，； （）解：点是否为边的“三等分点”． 证明：在矩形中，，， 由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是否为边的“三等分点”； （）如图，当时， 由题意知，，，，， 设，，则，， 在，， ∴， 在和中，， ∴， 由①②联立得，， 解得， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，， 解得， ∴， ∴； 综上，的长为或． 1．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或 【来源】广东省深圳市南山区南山外国语集团2025—2026学年第二学期三月质量监测 九年级 数学 【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断； （2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明； （3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或． 2．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． (1)【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．求： ①四边形_____（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为_____．的度数为_____． (2)【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线，过点作直线的垂线，垂足为点，连结，若，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)①是；②， (2) (3)或 【来源】2026年广东深圳市南山实验教育集团九年级一模数学试卷 【分析】（1）①点是的中点，可知，即可证明；②根据三角形的外角定理可求解； （2）由题可知，可得，根据勾股定理可得，进而可得面积； （3）分类讨论，①当,由平行线可知，根据锐角三角函数可知，，②当,设，则， 根据锐角三角函数即可求解 【详解】（1）解：①∵,点是的中点， ∴, ∵,点是的中点， ∴, ∴ ∴四边形是腰分双等四边形； ②由题可知，， ∴,, , , , ∴, （2）解：连接，过点作, 由题可知，, 设，, ∴， ∴,, ∴ ∵, ∴, , ∴, ∴ ∵, ∴, ∵， ∴, ∴ ∴, , ∴, （3）解：①当, 过点作, ∴， ∵ ∴, , ∵ ， ∴, ， ∴, 由（2）同理可得，, , ∴， ∴, , ∴, ②当, 过点作,, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵ ∴, ∴ ∴ ∴, ∴, ∵ ∴, 设，则， ∴， , ∴， 解得： ∴． 3．(25-26九·广东深圳光明区实验学校·调研)【性质探究】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：BF=2OG． 【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值． 【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）；（4）或 【来源】广东深圳市光明区实验学校2025-2026学年第二学期九年级学情调研数学试卷 【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可． （2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．首先证明OG=OL，再证明BF=2OL即可解决问题． （3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性质解决问题即可． （4）设OG=a，AG=k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形． 理由：∵AE平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵DF⊥AE， ∴∠AHF=∠AHG=90°， ∵AH=AH， ∴△AHF≌△AHG（ASA）， ∴AF=AG， ∴△AFG是等腰三角形． （2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG． ∵AF=AG， ∴∠AFG=∠AGF， ∵∠AGF=∠OGL， ∴∠OGL=∠OLG， ∴OG=OL， ∵OL∥AB， ∴△DLO∽△DFB， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=2OD， ∴BF=2OL， ∴BF=2OG． （3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°， ∵∠DAK=∠CAD， ∴△ADK∽△ACD， ∴， ∵S1=•OG•DK，S2=•BF•AD， 又∵BF=2OG，， ∴，设CD=2x，AC=3x，则AD= ， ∴． （4）解：设OG=a，AG=k． ①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上． ∵AF=AG，BF=2OG， ∴AF=AG=k，BF=2a， ∴AB=k+2a，AC=2（k+a）， ∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka， ∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴， ∴， ∴， 由题意：=AD•（k+2a）， ∴AD2=10ka， 即10ka=3k2+4ka， ∴k=2a， ∴AD= ， ∴BE= = ，AB=4a， ∴tan∠BAE= ． ②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF． ∵AF=AG，BF=2OG， ∴AF=AG=k，BF=2a， ∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a）， ∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka， ∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴， ∴， ∴ ， 由题意：=AD•（k﹣2a）， ∴AD2=10ka， 即10ka=3k2﹣4ka， ∴k= ， ∴AD= ， ∴，AB= ， ∴tan∠BAE= ， 综上所述，tan∠BAE的值为或． 4．(2026·广东省深圳市·模拟)如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)【证明与推断】：①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为 ； (2)【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转α度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 (3) 【来源】2026年广东省深圳市龙岗中学模拟数学练习卷 【分析】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． （1）①由和，根据三个角是的四边形是矩形可得四边形CEGF是矩形，再由，即可得证． ②由正方形性质知、，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理即可求解． （2）连接，由两边成比例且夹角相等证得，即可得解． （3）由，，得，从而，设，则，求得，在中求得，代入，即可求得的长． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是正方形； ②由①知四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：连接， 由旋转性质知， 在和中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴线段与之间的数量关系为； （3）解：①由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴A、G、F三点共线． ∵，点B、E、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴， 则，， ∴得， 解得：，即． 5．(2026·广东省深圳市·模拟)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的旋转”为主题开展数学活动． (1)操作判断 已知正方形，为边上一点，以为边作正方形（顶点，，，按顺时针方向排列），如图1，连接，，直接判断和的数量关系：___________； (2)迁移探究 将点改为正方形内一点，仍按（1）中的方式操作得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知，，将正方形绕点按顺时针方向旋转，当点，，在一条直线上时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)或 【来源】2026年广东省深圳市松岗中学模拟数学练习卷 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）分点G在线段的延长线上和点G在线段上两种情况分别画图，进行解答即可． 【详解】（1）解： 证明：∵四边形和都是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立， 理由：∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴； （3）当点G在线段的延长线上时，如图， 过点G作交的延长线于点M， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（2）同理可得，， ∴； 当点G在线段上时，如图， 过点G作交于点M， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（2）同理可得，， ∴； 综上可知，的长为或． 6．(2026·广东省深圳市·)定义：中，，则称为倍余三角形．    (1)下列说法正确的是 ． ①倍余三角形一定是钝角三角形； ②等腰三角形不可能是倍余三角形． (2)如图1，内接于，点在直径上不与，重合，满足，求证：为倍余三角形； (3)在（2）的条件下， ①如图1，连接，若也为倍余三角形，求的度数； ②如图2，过点作交于点，若面积为面积的倍，求的值． 【答案】(1)① (2)见解析 (3)①或；②或 【来源】2026年广东省深圳市龙华区周末作业 【分析】（1）由倍余三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案； （2）由圆周角定理的推论得出，由等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质可得出答案； （3）①若为钝角，设，则，，得出，即，求出；若为钝角，设，则，，即，求出．，则可得出答案； ②如图，作，不妨设，，根据等面积法列出分式方程，解方程求出的值则可得出答案． 【详解】（1）解：①为倍余三角形， ， ， ， 倍余三角形一定是钝角三角形，故①正确， ②等腰三角形可能是倍余三角形．如，是倍余三角形．故②错误， 故答案为①； （2）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为倍余三角形； （3）①如图1，   为钝角， ，和不可能为， 当时，即， 又， ， 设，则，， ， 即， ， 即， 如图，为钝角，   ，和不可能为， 当时，即， ， ， 设，则，， 即， ， 即， 综合以上可得为或； ②如图3，作，不妨设，，若的面积为面积的倍，   ， ， 解得，，经检验都是原方程的解； 当时，，， ， 当时，，， ． 综合以上得出的值为或． 7．(2025·广东省深圳市·三模)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）   （2）  （3）或 【来源】2025年广东省深圳市龙岗区数学三模模拟试卷 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 8．(2025·广东省深圳市·二模)综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形? 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．     【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或． 【来源】2025年广东省深圳市龙华区中考二模数学测试卷 【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可解答； （3）设设与交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，由折叠得：，， ∵，四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图3，设，，则， 由折叠得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是类矩形； （3）解：设与交于点O， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上， ∴， 同理得：，， ∵四边形是类矩形， ∴或， ①如图4，当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图5，当时，， 由①同理得：， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 9．(2025·广东省深圳市·二模)【理解概念】 分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线． 【巩固新知】 （1）已知：如图、，在和中，，，． 求证：、分别是和的相似分割线； 若，，，，求的长． 【拓展提高】 （2）如图，为的直径，点、在上，、分别是和的相似分割线，且． 若点是的黄金分割点，则点是否也是的黄金分割点？说明理由； 若，．当时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；； （2）点是的黄金分割点，理由见解析；． 【来源】2025年广东省深圳市15校中考二模数学试题 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割比，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的相似分割线的定义进行证明即可；由，，得，，设，即可表示出，，利用勾股定理可求得的长，结合，列等式求解即可． （2）由相似分割线的定理可得，，得到，，两式相处可得，结合黄金分割点的定义即可得解．易证，作交于，证明，分别求出，即可得到结论． 【详解】解：（1），， ， 如图所示，，， ， ，， ， ， 、分别是和的相似分割线； 设， 由①得，， ，， 即，， ，， ，， ，解得， 即． （2）点是黄金分割点，理由如下： 、分别是和的相似分割线，且， ，， ， 得， 为黄金分割点， ， ， 点是的黄金分割点． 为的直径，点、在上， ， ， ， 若点在的上方，则，与相矛盾，故点在的下方，如图所示， ， ， 如图，作交于， ， ， ，， ， ， ． 10．（26年广东深圳市34校联考九年级中考二模数学）综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； (4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3) (4)的长为或16或． 【来源】2026年广东深圳市34校联考九年级中考二模数学试卷（4月） 【分析】（1）方法1：当时，则，根据平行四边形的性质，证明，则，从而得出，即可得证；方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得，再结合，得到，即可得证； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出，进而推出，即可得解； （3）过点作，，设，，利用勾股定理列方程，求出，，证明四边形是矩形，得到，，，进而推出，设，，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解； （4）由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2．分三种情况讨论：①当时，过点作于点，过点作延长线于点；②当时，过点作于点，过点作延长线于点，利用角的正切值求解；③时，连接，过点作，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：方法1： 当时，则， ， ， 在和中， ， ， ． ， 是菱形． 方法2： ， ， 时，， ， 是菱形． （2）解： ， ， ， ． （3）解：如图，过点作，， 矩形，， ，，，， ， 设，， ， 解得：， ，， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 解得：， ． （4）解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2． ①如图1，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在中， ， 设，， ， 解得：， ，， ， 同理可得，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 同理可求，，， ， 由①可知，，， ， ， ， ， ， ； ③如图3，当时，连接，过点作， ， 设，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 又， ， ， ， ， ． 综上可知，的长为或16或． 11．（26年广东深圳市21校 九年级第一次模拟考试） 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． (1)【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． (2)【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． (3)【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】(1)，； (2) (3)图见解析，或 【来源】2026年广东深圳市21校 九年级第一次模拟考试 数学试题 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 12．(25-26九·广东深圳龙岗区龙岗中学·)【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴． (1)【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是______；（填序号） (2)如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为______； (3)【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积． (4)【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可） 【答案】(1)①③④ (2) (3) (4)或或或 【来源】广东省深圳市龙岗区龙岗中学2025-2026学年第二学期九年级数学素养评价测试卷 【分析】（1）根据对称四边形的定义，逐项判断即可； （2）根据题意可知，当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，据此可求得答案； （3）可证明，得到，求得，进而可求得答案； （4）分四种情况讨论：当点与点重合时，当点在的延长线上时，当时，当时． 【详解】（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形；③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形；④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形． 故答案为：①③④ （2）根据题意可知，四边形不可能为菱形和正方形，所以当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，所以，点在图中的位置如图所示，共有个． 故答案为： （3）∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴对称四边形的面积． （4）（Ⅰ）如图所示，当点与点重合时． 根据题意可知垂直平分线段， ∴． ∴四边形为筝形，是对称四边形． ∵，， ∴为等边三角形． 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． （Ⅱ）如图所示，当点在的延长线上时． 根据题意可知，，， ∴为等边三角形． ∴ ． 根据图形折叠的性质可得， ∴． ∴． ∴． ∴四边形为筝形，是对称四边形． 根据题意可知． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （Ⅲ）如图所示，当时． 根据图形折叠的性质可知，，，． ∵， ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中 ，，， ∴ ∴ ∴四边形为等腰梯形，是对称四边形． 在中，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． （Ⅳ）如图所示，当时． 根据题意可知，． ∴． ∴． ∴． ∴． 根据图形折叠的性质可知，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中 ，，， ∴． ∴． ∴四边形为等腰梯形，是对称四边形． 在中，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述，或或或． 13．(25-26九下·广东深圳福田区红岭教育集团石厦中学·)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　； （2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG． ①求证：EG＝DG； ②若BC＝n•BG，求n的值； （3）如图2，在Rt△ABC中，＝2，AB＝，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积． 【答案】（1）矩形；（2）①见解析；②；（3）四边形ACBD的面积为或 【来源】广东深圳市福田区红岭教育集团石厦中学2025－2026学年九年级下学期第一次阶段练习数学试卷 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过△ADF≌△CDG的性质推知DF＝DG；然后根据四边形DEFG是垂等四边形的性质知EG＝DF；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，首先证明△BFG为等腰直角三角形，则∠GFB＝45°；然后证得△AEF为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：BC＝3AE，BG＝2AE．代入求值即可； （3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，构造矩形CEDF．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝2，BC＝1．再由垂等四边形四边形ACBD的性质知． 分两种情况：当△ACB∽△BED时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果；当△ACB∽△DEB时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形． 故答案是：矩形； （2）①证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C． 又∵AF＝CG， ∴△ADF≌△CDG（SAS）， ∴DF＝DG． ∵四边形DEFG是垂等四边形， ∴EG＝DF， ∴EG＝DG． ②解：如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H， ∴四边形CDHG为矩形， ∴CG＝DH． 由①知EG＝DG， ∴DH＝EH． 由题意知∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AF＝CG， ∴AB﹣AF＝BC﹣CG， 即BF＝BG， ∴△BFG为等腰直角三角形， ∴∠GFB＝45°． 又∵∠EFG＝90°， ∴∠EFA＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE＝AF＝CG， ∴AE＝EH＝DH， ∴BC＝3AE，BG＝2AE． ∵BC＝n•BG， ∴． （3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∴四边形CEDF为矩形． ∵， ∴AC＝2BC． 在Rt△ABC中，， 根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+BC2＝5， ∴AC＝2，BC＝1． ∵四边形ACBD为垂等四边形， ∴． 第一种情况： 当△ACB∽△BED时，， 设DE＝x，则BE＝2x， ∴CE＝1+2x． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2， 即（1+2x）2+x2＝5， 解得，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB＝； 第二种情况： 当△ACB∽△DEB时，， 设BE＝y，则DE＝2y， ∴CE＝1+y． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2， 即（1+y）2+（2y）2＝5， 解得，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB＝． 综上所述，四边形ACBD的面积为或． 14．(25-26九·广东深圳福田区外国语学校·)【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． (1)【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： (2)【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． (3)【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)或． 【来源】广东深圳市福田区外国语学校2025-2026学年第二学期4月素养练习九年级数学试卷 【分析】(1) ①先推导出，，得到，，则，进而证明，即可解答； ②根据相似三角形推导出，由，得到，即可解答； （2）先求出，，得到，推导出，得到，进而推导出，则是单余三角形，且是单余角； （3）过点B作于点M，先求出，，得到，，进而推导出当是单余三角形时，或，分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】（1）证明：①如图 ∵若是单余三角形，且是单余角，， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是单余三角形，且是单余角． （3）解：过点B作于点M，如图 ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， 由，得， ∴是单余三角形时，或， ①当时，如图 过点O作于点P，有， 由（1）同理可得， ∴， 即， 解得 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ②当时，如图，过点A作的延长线于点P， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）同理可得， ∴ ∴ 即 解得，即， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 解得． 综上所述，或． 15．(25-26九·广东深圳红山中学·月考)综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形，O是上一点，连接，存在点O，使得且，我们称四边形是“可等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是_______； 类比探究 （2）如图②，四边形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为G和H．请写出，，之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在中，，，，点B，C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），两点之间的距离为或． 【来源】广东深圳市红山中学2025-2026学年九年级第二学期3月考试数学试卷 【分析】（1）过点作于点，则，证明，即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到结论； （3）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图（1），过点作于点，则． 矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， 即． 故答案为： （2）． 证明：，． ， ． 四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ． （3），，， ． 由题意，得点，均不可能在边上，故分两种情况讨论． a．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（2），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则． 同理（2）可得， ，． 设，则． ， ， ， 即， 解得， ． b．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（3），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则， ， ， ，， ． 同理可证，． ， ． 连接，则． 综上，，两点之间的距离为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押10广东深圳中考数学20题（几何压轴 题) 押题预测 考点1三角形和圆综合探究题 1.(2026年广东深圳市福永中学中考数学二模)综合与探究 【课本回顾】如图l,在△ABC中，中线AD,BE,CF于点P,点P叫做△ABC的重心. 图1 图2 【知识探究】 (1)如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC的中线AD,BE交于点P时，不管△ABC的边长如何变化， 线段AP与PD存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路 思路二 第 如图3，取AD中点M,连接 如图4，作AN平行BC交BE延长线于点N, EM,证明△BDPPEMP 先证明△BCE≌aNAE,再证明△BDP∽aNAP: 步 第 利用相似三角形的性质及中位线 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质， 二 的性质，得到线段AP与PD之间 得到线段AP与PD之间的数量关系 步 的数量关系 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A W 图 M 容 表 B D 达 图3 图4 在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种） 【问题解决】 (2)在⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上一点（不与点A,B重合）· OE ①如图II,若点M是弦BC的中点，AM交OC于点E'则Oc的值为一： ②如图Ⅲ，在①的条件下，若AM⊥OC,求sinB的值： ③如图IW,若AB=I0,BC=8,D为弦BC上一动点，过D作DF⊥OC,交OC于点H,交AB于点F. 设BD=x,FO=y,直接写出y与x的函数关系式. B 图Ⅲ 图Ⅲ 图V 2.(2026年广东深圳市中考复习阶段模拟测试)综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”. 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”. D 图1 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质， 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明的思路如下： 如图2，连接对角线D,取BD。 OA,OC 中点，连接 图2 ∠BAD=∠BCD=90°，， :.04-1BD,OC= 2 ∴.OA=OB=OC=OD, ABCD A,B,C,D ,.四边形 的顶点 均在以点O为圆心，BDy 为直径的圆上. (1)请补全小明同学的证明过程， (②【性质应用】如图3，在矩形1BCD 中，点P是1B边上一点，过 P A,D,P 三点的圆交对角线4C于点E。 AC ①求证：四边形APED是“对直四边形”； D C P B 图3 B=8D=6,当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长。 ②若 (3)【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC(k为正实数).点P是BA延长线上一点，过 PE A,D,P三点的圆交对角线AC于点E'延长PE交BC于点F·请求出EF的值（用含k的式子表示）· 3/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图4 3.(26年深圳龙岗外国语集团压轴专题训练)综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距 离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”，如图()，在△ABC中，D是BC边上一点，连接 AD,若AD=BD.CD,则称点D是△ABC中BC边上的“亮点”. D (a) (b) 【概念理解】 (I)如图(b),在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD,AE,AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线. 请判断D,E,F三点中哪些是△ABC中BC边上的“亮点”，并说明理由. 【性质应用】 图(O,在ABC中，B45,amC-4,4C=1O:若D是C边上的“亮点”，求 【拓展提升】 3)知图(d,△dBc肉接于O0:D是a4BC中BC边上的“亮点”且HD1HC,若mB 3,求 CD BD的值. C 0 D 备用图 (d) 4/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点2几何综合探究题 1.(25-26九广东深圳外国语学校·一模)综合探究 图1 图2 肉3 备用图1 备用图2 (1)理解应用 如图1，在正方形ABCD中，AD=4,DE=1,BE与AC交于点F,求BF的长度. (2)问题探究 如图2，在矩形BCD中，过B作AC的垂线交4C于点R,交4D于点E,DE=4D.试箱想4B与D 的数量关系，并说明理由. (3)拓展延伸 如图3，在ABCD中，点(-3,4，点BL,-,点D5,4,B与y轴交于点M,点P从B点出发沿BA、 AD运动，过点P作BC的垂线，过点M作BC的平行线，两线相交于点N,将△PWM沿PM翻折得到 △PTM,若点T落在x轴上，求P点的坐标， 2.(25-26九下广东深圳南山二外（集团）海德学校初中部·一模)【问题初探】(1)如图1，在正方形 ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点.且CE=CF,求证：BE=DF,BE⊥DF. 【类比迁移】(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边上一点，将△BED沿BE折 5/23 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 叠得到△BEG,延长DG和BC相交于点F.当CE=2DE时，求FG的长. 【拓展提升】(3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E是CD边上一点，且DE=2CE,F为 DG BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G当线段DF与射线BE所夹的锐角为60时，求DF的值. 图1 图2 图3 备用图 3.(25-26九·广东深圳南山二外集团前海学校一模)问题背景：如图(1)，在矩形ABCD中，点E,F分 别是AB,BC的中点，连接BD,EF,求证：△BCD∽△FBE 问题探究：如图(2)，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC 上，AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG. EG 问题拓展：如图(3)，在“间题探究”的条件下，连接4G,AD=CD,AG=FG,直接写出GF的值. D E F F C B 图(1) 图(2) 图3) 考点3新定义几何综合题 1.(25-26九广东深圳南山区深圳湾学校·一模)综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形.请结合已有经验，对下 列特殊四边形进行研究 6/23 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形 的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形.如图1中，AB=AC=AD,此时四边形ABCD是双等四边 形. 6 图1 图2 图3 图4 备用图 (1)【初步探究】 如图2，在正方形ABCD中，E、F是BC边上的两点，连接AE、DF交于点G.若GE=EF,求证：四 边形ABGD为双等四边形； (2)【问题解决】 如图3，在(1)的条件下，连接CG,若正方形的边长为4，BF=2,求CG的长： (3)【拓展应用】 如图4，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等四边形，且AD=DE,延 CG 3 长AE交BC于点G,连接FG·若AD=5'∠EFG=90,FC=4,求AB的长. 2.(25-26九下·广东深圳宝安区富源学校)定义：在平行四边形ABCD中，AC是平行四边形ABCD的对角 线，点P是平行四边形ABCD边上一点，分别连接PA、PB,若满足∠APB+∠ACB=180°，则称点P为平 行四边形ABCD的“共轭连接点”. B B P D C D C 图1 图2 图3 (①)如图1，在平行四边形ABCD中，当共轭连接点P在BC上时，若AC⊥DC,∠D=30°，AC=3,则 BP= 7/23 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)如图2，在平行四边形ABCD中，当共轭连接点p在BC上时，若4C⊥DC,anD=2,AC=5,求 BP的长： (3)如图3，已知在矩形ABCD中，矩形的两邻边的之比为3：1，点P是矩形ABCD的共轭连接点： ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点P:(要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要 的文字说明)（提示：圆的内接四边形对角互补） DP ②请直接写出CP 3.(2026九：广东省深圳市·一模)如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对 称线”，该四边形叫做“对称四边形” O D E G 问题发现 B 图① 图② 图③ (1)如图①，四边形ABCD是“对称四边形”，对角线AC,BD交于点O,AC是“对称线”，若 AO=4,OC=12,CD=13,则四边形ABCD的面积是 问题探究 (2)如图②，四边形ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC=45°，∠DCA=30°， AC=6+6N3P P分别为线段1C,BC上的动点，求PB+P巴的最小值. 问题解决 （3)如图③，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知点6,6)，过4作射线P2∥轴，交'轴于 点P,E为射线AQ上的动点（不与点A重合），G,F分别为线段AO和x正半轴上的动点，连接EG, EF,点M是线段OE与GF的交点，并且四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”.请问 △MEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点M的坐标；若不存在，请说明理由. 8/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。考点4旋转探究题 和正方形FG ABCD DG,BE 1.(25-26九广东深圳罗湖外语初中学校·一模)如图1为正方形 连接 D A 4 图1 图2 图3 (1)[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由： (2)[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE，,猜想DG与BE的 关系，并说明理由： B应用：在(2)间的情况下，逢接E(点E在AB上方)，若GEB,且B=5,AE=】,求DG 的长 2.(2025广东省深圳市·二模)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片ABC,DFE,其中∠ACB=∠DEF=90°， AC=DE=6,BC=FE=8.如图1，三角形纸片ABC与三角形纸片DFE重合，然后将纸片ACDF绕点 C顺时针旋转（旋转角不超过90°），CF与AB交于点G,DF与AB交于点H. 操作与计算 (1)如图2，当CD∥AB时，求GH的长. 深度思考 (2)“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图3，当CG=CD时，试猜想GH与HD的数量关系， 并说明理由， 拓展探究 (3)“智慧”小组进一步研究.如图4，过点F作AC的平行线交AB于点M,过点H作AC的平行线交 CF于点N,连接MN.当∠BCF=∠B时，直接写出四边形MNHF的面积. 9/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G G G C(E) C(E) C(E) C(E) D 图1 图2 图3 图4 3.(2026广东省深圳市·二模)如图，在△ABC中，∠ABC=m°，点D在直线AC上，连接BD,将线段BD 绕点B逆时针旋转 180-m)° 得到线段BE 【问题初探】 (I)如图1，点D在线段AC上，延长CB至点F,使得BF=AB,连接EF. 求证：△ABD≌△FBE. 【类比分析】 (2)如图2，若AC=BC,点D在CA的延长线上，延长CB至点F,使得BF=AB,连接EF,求证： AB∥EF. B B 图1 图2 图3 【拓展延伸】 (3)如图3，若AC=BC,m=60,点D在CA的延长线上，连接CE,延长AB交CE于点G,猜想AD 与BG的数量关系，并加以证明 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。考点5折叠图形综合探究 1.(25-26九广东深圳福田区红岭教育集团园岭中学一模)折纸之术，源远流长，古称“折矩”“叠方”， 其中暗含几何之理.今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动： D D M B B 图1 图2 图3 备用图 【探究一】如图I,在矩形ABCD中，点M,点N分别是边CD、AB的中点，连接DN,点P为边 BC上的一点，将△DPC沿DP翻折得到aDPE,恰好使得点C的对称点E落在DN上.已知 CP AB=20,BC=24:①直接写出EN的长度：②求BP的值. 【探究二】在正方形ABCD中，点N是边BC的中点，将△ABN沿着直线AN翻折得到△AFN,点B的对 称点落在点F处，连接BD,与AF交于点P,已知正方形的边长是20，请在图2中补全图形，并求 PF的长. 【探究三】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，CD=6,点M为边AD上的一个动点，连接CM, 将aCDM沿着直线CM翻折得到aCWM,点D的对称点为点N.直线MN与直线BC相交于点G,直 CG 线CW与直线AD相交于点H.作CP⊥AD于点P,已知PM=2,请直接写出MH的值 2.(26年深圳光明实验学校中考数学二模练习试题)【课本再现】(1)如图1，把矩形ABCD对折得到 折痕EF,再一次对折，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B,得到新折痕BM,把纸片展平. 这个折纸的过程实际上就是把∠ABC分成了() A.二等分 B.三等分 C.四等分 【类比探究】(2)类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点.如图2，把矩形ABCD对折两次， 对角线AC与折痕GH相交于点O,沿直线OB再次折叠，折痕交AD于点P,此时有AD=3AP.请你补 充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形ABCD中，AD∥BC, 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠可知，GH∥BC,AB=4AG, AOAG1」 A0 ACAB4O :=() AP∥BC,∴△APO -)1 BC()3,即AD=BC=3AP· (3)如图3，先把矩形ABCD沿EF对折，再沿DE折叠，折痕DE交对角线AC于点G,过点G折叠矩 形，使得点落在1D上，得到折痕P吧。请判断点P是否为D边的“三等分点”？并证明你的结论. PO 【拓展应用】(4)如图4，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P是边AB的三等分点，把△ADP沿 DP翻折得△EDP,直线PE交BC于点F,请求出BF的长， 图1 图2 图3 图4 通关特训 1.【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一 个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”· D D E B D B 图1 图2 图3 备用图 (I)【理解定义】 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是线段BC上一点，连接AD,若AD=BD,那么线段 AD(填“是”或“不是”)△ABC的“奇妙分割线”· (2)【运用定义】 12/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，在平行四边形8CD中，B=5,BC=5,连接4C,若∠B1C=90,E是线段BC上一点， CE=3,连接DE交AC与点F.求证：线段CF是△DCE的“奇妙分割线”， (3)【拓展提升】 3 如图，在△ABC中，AB=5'BC=3ysin∠ABC ,点D是线段BC上的动点（点D不与B、C重合）， 连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△AED,点B的对应点为点E,连接BE、CE,当ED是△BCE的 “奇妙分割线”时，求线段BD的长 2.在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双 等四边形”进行研究 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形.且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称 这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”· D E B B 图1 图2 图3 ABCD ∠BAD=∠BCD=90° (1)【概念理解】如图1，在四边形 中， 连接D,点F是D 的中点，连接 AE,CE.求： ①四边形ABCE (填“是”或“不是”)腰分双等四边形； ②若<ABC=90 ∠ADC ∠ABC 的度数为一· 的度数为· (2)【性质探究】如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点（不含中心），四边形ABFD为腰分 双等四边形，AF为腰分线，过点D作直线BF的垂线，垂足为点E,连结CE,若CE=2,求△ABF的面 积. (3)【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中，AD=5,点E是其内部一点，点F是边CD上一点，四边形 AEFD是腰分双等四边形，DE为腰分线，延长AE交线段BC于点G,连接FG.若∠EFG=9O°， 13/23 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 am∠CrG-,请直接写出aG的长， 3.(25-26九：广东深圳光明区实验学校调研)【性质探究】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E.作DF⊥AE于点 H,分别交AB,AC于点F,G. (1)判断△AFG的形状并说明理由. (2)求证：BF-2OG. 【迁移应用】 S-1 AD (3)记△DGO的面积为S,△DBF的面积为S,当S23时，求AB的值. 【拓展延伸】 (4)若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变，连结EF,当△BEF的面积为矩形ABCD 1 面积的1O时，请直接写出tan∠BAE的值。 D G H E 4.(2026广东省深圳市·模拟)如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC,垂足为点 E,GF⊥CD,垂足为点F. G 图① 图② 图③ (1)【证明与推断】：①求证：四边形CEGF是正方形： AG ②推断：BE的值为 14/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②【探究与证明】：将正方形C6GF绕点C顺时针方向旋转a度0<a<45) 如图②所示，试探究线段 AG与BE之间的数量关系，并说明理由： (3)【拓展与运用】：正方形CEGF在旋转过程中，当A,G,F三点在同一直线上时，如图③所示，延长 CG交4D于点H,若4G-3,GH=5,求8C的长 5.(2026广东省深圳市模拟)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的旋转”为主题开展数学活动. G G A D D BL B 图1 图2 备用图 (1)操作判断 己知正方形ABCD,E为边CD上一点，以DE为边作正方形DEFG(顶点D,E,F,G按顺时针方向 排列)，如图1，连接CE,AG,直接判断CE和AG的数量关系： (2)迁移探究 将点E改为正方形ABCD内一点，仍按(1)中的方式操作得到图2，则(1)中的结论是否仍然成立？说 明理由； (3)拓展应用 在2)的探究中，已知4D=4,DG=5,将正方形DEG绕点D按顺时针方向旋转，当点“，D,G 在一条直线上时，直接写出CE的长 6.(2026广东省深圳市)定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三角形. B B OD 图1 图2 备用图 15/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()下列说法正确的是_· ①倍余三角形一定是钝角三角形： ②等腰三角形不可能是倍余三角形. 2)如图1， △AB 内接于o0,点D在直径8C上不与8，C重合），满足B=4D ⊙OD BC 求证 AACD 为倍 余三角形： (3)在(2)的条件下， ①如图1，连接AO,若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数： AD ②如图2，过点D作DE1BC交AC于点E,若△ABC面积为。ADE面积的7.5倍，求BC的值. 7.(2025:广东省深圳市三模)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶 点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中， ∠ACB=∠BDE=-90°，BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a(0°<C<360°). E D B B 图1 图2 备用图 【初步感知】 AE (1)如图1，将三角形纸片BDE绕点B旋转，连接AE'CD,求CD的值： 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延 长ED交AC于点G,求AG的长： 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角 形.若能，求线段AD的长度；若不能，请说明理由， 8.(2025广东省深圳市二模)综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的14纸是一个长与宽的比为、 的矩形， 16/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为万，则这个四边形为类4矩形. 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 (1)学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中AB=Q, AD=2a ,求证：四边形CDN是类44矩形： A D A M D 折叠 B B 图1 (2)学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD,DE,再将其沿FG折叠，使得 点B与点E重合，折叠过程如图2所示.求证：四边形CDFG是类A4矩形； D A D 折叠 折叠 展开 折叠 B E 图2 【拓展】 (3)如图3，四边形CD纸片中，4C重直平分D,4C=105,D=0,点.FG,H分别是边 AB,BC,CD,DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿 FG,GH折叠，使得点C,D的对应点分别落在AC,BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出 EF的值. D D B (备用图) 图3 9.(2025·广东省深圳市·二模)【理解概念】 17/23 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形， 当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也 相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线. 【巩固新知】 ①② (1)已知：如图、，在 △MBC和△DEF ∠ACB=∠DFE=90°∠ACP=∠D∠DFQ=∠A 中， ①求证：CP、FQ分别是△ABC和aDEF的相似分割线： ②若AC=6,BC=8,DF=8,EF=4,求AP的长. C D Q (图①) (图②) 【拓展提高】 ,B为0的直径，点C、D在0上.C、0 (2)如图， 分别是△AB 和△ABD 的相似分割线， 且△ACPP△DAQ ①若点P是AB的黄金分割点，则点2是否也是AB的黄金分割点？说明理由： ②若∠ABC=30°，AC=2.当CP⊥DQ时，直接写出AP的长. B (图③) (备用图) 10.(26年广东深圳市34校联考九年级中考二模数学)综合与探究 【定义】如图1，点O是口ABCD的对角线的交点，过点O作OM⊥BC,ON⊥AB,垂足分别为M、N. 18/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若0N≥OM时，我们称1=OX =OM是。ABCD的中心距比. A D O M (图1) (图2) P D 0 B A B (图3) (图4) (图4备用图) (1)【概念理解】如图2，当入=1时，求证：口ABCD是菱形； ②【性质探究】在图1中，。A8CD的中心距比2-O心 BC OM与其相邻两边此AB是否存在某种关系？若有，求 出这种关系；若没有，请说明理由： (③)【拓展应用】如图3，在矩形BCD中(D>AB,其中心矩比元=手 =3,O为对角线BD中点，E是BC 边上一点，连接O5,作OF10E交CD边于点F,若BD=0,Sm=2S.m,求CE的值： ④如图4，B-5m∠PAB-手，点D是射线D上一动点，点C是平面内一点.以ABC~D为 顶点、AD为边的平行四边形的中心距比2=2.点E在射线AP上，连接AC、BE,当∠AEB=∠ACD时， 直接写出AE的长. 17 10W21-15 综上可知，AE的长为2或16或3· 19/23 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(26年广东深圳市21校九年级第一次模拟考试)【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形， 让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究. 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有 一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”· D B E 图1 图2 图3 A (四)【初步探究】如图1？在“璧合四边形ABCD”中，若∠A=6O,则∠CBD= BD的值为 (2)【问题解决】如图2，在“璧合四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上 AE 点，且CD⊥DE,求BC的值. (3)【拓展应用】如图3，在“璧合四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=12,E为线段AB上一动点，且 CD⊥DE,连接CE,将△CDE沿CE翻折，得到△CFE,连接BF,若BF=4,作出图形并求线段AE的 长 12.(25-26九·广东深圳龙岗区龙岗中学)【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分 能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴. ()【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是；（填序号） AD∥BC D AB=DC, AB=AD AD≠BC BC=CD ①矩形②平行四边形 ③等腰梯形 ④筝形 2如图1，在平面直角坐标系中，若点4，，B5,小，CL,3),D组成的四边形为对称四边形，则满足 点D的个数为： 20/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 41 3 ●C 2 ·A B -1012345 图1 图2 图3 (3)【性质探究】如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC,BD相交于点O,过点D作 DF⊥AB于点F,交AC于点E,若AE=EO=OC=2,求对称四边形ABCD的面积. (4)【拓展应用】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=6O°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠 DG 得到△AEF,延长AE交射线DC于G,则当A?B'E'F组成的四边形为对称四边形时，求GC的值. (作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可) 13.(25-26九下·广东深圳福田区红岭教育集团石厦中学)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称 为垂等四边形. (1)写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是一； (2)如图1，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在AD,AB,BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且 ∠EFG=90°，AF=CG. ①求证：EG=DG: ②若BC=n~BG,求n的值； AC (3)如图2，在R△ABC中，BC=2,AB=5,以AB为对角线，作垂等四边形ACBD.过点D作CB 的延长线的垂线，垂足为E,且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积. D C B 图1 图2 14.2526九广东深圳福田区外国语学校)【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为“与B,如果 21/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2α+B=90°，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角α叫做单余角. ⊙ D 图1 图2 B B 图3 备用图 (1)【性质】如图1，若△ABC是单余三角形，且∠A是单余角，∠C>90°，为了探究其性质，小鸣根据定 义中出现的9O°，联想到直角三角形，于是过点B作BD⊥AC,交AC延长线于点D,请你根据小鸣的分 析，进行以下探究： ①求证：△DBCP△DAB ②求证：tanA= BC AB ②【判定】如图2，口4BCD中，MD=2,CD=25,∠ADB=90°，点E是对角线BD上一点，连接CE BF 1 并延长交AB于点F,若DC3,求证：ACDE是单余三角形，且∠BDC是单余角. (③)【应用】如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,点O为斜边AC上一点，连接B0, △AOB是单余三角形，过点A作AD⊥AC,点D在AC下方，且∠ACD=∠ABO,求AD的长. 15.(25-26九广东深圳红山中学·月考)综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解.某班数学兴趣小 组发现对于平面内的一个四边形ABCD,O是AD上一点，连接BO,CO,存在点O,使得OB=OC且 OB⊥OC,我们称四边形ABCD是“可等垂四边形”，点O为四边形ABCD的“等垂点”. 22/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 个 图② 图③ 初步探索 (I)如图①，矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是 类比探究 (2)如图②，四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B,C作AD的垂线， 垂足分别为G和H.请写出BG,CH,GH之间的数量关系，并证明： 拓展应用 (3)如图③，在Rt△AMD中，AM=6,DM=10,∠DAM=90°，点B,C为Rt△AMD中不在同一边上 的两点，且点B为所在边的中点，若以A,B,C,D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出 C,D两点之间的距离. 23/23