专题04 几何最值模型综合12大题型（选择，填空，解答压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

### 基本信息 聚焦中考几何最值核心考点，以12类模型为框架，通过典型例题系统构建“轨迹分析-模型转化-最值求解”的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |12类几何最值模型（将军饮马、胡不归等）|每题型3-6题（含中考真题）|基于核心模型，结合图形变换（折叠、旋转）与函数综合|通过对称、旋转等变换实现模型转化，形成从概念到应用的完整链条，体现转化思想与空间观念|

专题04 几何最值模型综合（选择，填空，解答压轴题） 命题预测 几何最值是全国中考必考核心压轴考点，分值占比 8%-15%，通常占据“选择题压轴（第 10 题）、填空题压轴（第 15 题）、解答题几何压轴（第 23 题）”三大核心位置。其命题灵活度高、区分度强，是拉开分数差距的关键模块。预计 2026 年中考命题仍将延续 "基础模型保底、多模型融合压轴、结合真实情境" 的整体趋势，对学生的动点轨迹分析能力和模型转化能力提出更高要求。 高频考法 题型01 将军饮马模型及其变式 题型02 胡不归模型 题型03 阿氏圆模型 题型04 费马点问题 题型05隐圆最值模型 题型06 瓜豆原理 题型07 垂线段最短型最值 题型08 折叠中的线段最值 题型09 旋转中的线段最值 题型10 周长最值模型 题型11 面积最值模型 题型12 二次函数中的几何最值 典例·靶向·突破 题型01 将军饮马模型及其变式 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 4．（2026·陕西汉中·一模）如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点E在边上，且，点F为边上的一个动点，连接，，则的最大值为_____________． 5．（2026·黑龙江·一模）如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 6．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 胡不归模型 7．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 8．（2026·青海西宁·一模）如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 9．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 10．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 题型03 阿氏圆模型 11．（2026·四川宜宾·二模）如图，在中，，，，P是直线上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 12．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 13．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 14．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 15．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 题型04 费马点问题 16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是_______． 17．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为______． 18．（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为__________． 19．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 20．（2026·安徽·一模）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼，如图1是小区的居民楼分布示意图，其中，，，为了方便小区居民购物，社区有关部门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 （1）初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为点，为了体现公平性，点到三个顶点的距离应该要相等．此时，点应选择在 ① 处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空）． （2）方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们想找到一个点，使它到三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵ ② ， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①_________；②_________；③_________； (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以为边向外作等边三角形，连接，此时点位于线段上，请在此基础上通过尺规作图找出点的位置．（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出的最小值． 题型05隐圆最值模型 21．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 23．（2026·河南驻马店·二模）如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 24．（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形中，，，点E是平面内一点，且，过点D作的垂线，交直线于点F．线段长度最小值为________． 25．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点A，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 证明过程缺失 则， 则此时，最大，最大值为． 【问题延伸】如图3，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，过点A作于点F，连接，则线段的最小值是 ． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为 米．（结果保留根号） 题型06 瓜豆原理 26．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 27．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，的半径为2，点是上一动点，点是外一点，连接，取的中点，当点在上运动时，判断点的运动轨迹．小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程； 【问题解决】 （2）某政府为提升居民生活品质，对废旧广场及周边进行绿化改造．如图②，现规划重新建设一处运动场所正方形．按设计要求，要在正方形的边上取中点记为，以为圆心，长为直径作，设置一个儿童游乐场所，为方便人们通行，在点处设置小门，点为上一动点，连接进行路面硬化，取的中点，连接设置休息长廊，且．为尽可能满足居民的活动需要，想让休息长廊尽可能短．请问，是否存在符合设计要求且长度最短的长廊？若存在，求最短长廊的值；若不存在，请说明理由． 28．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，，，于点D，点E是边上的动点，连接，作，点F在下方，连接，，若，则的最小值为____________． 题型07 垂线段最短型最值 29．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 30．（2026·山东枣庄·一模）如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 31．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在对角线上，点在上，连接、，的最小值为___________． 33．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在中，，点为上一动点，且，连接，则的最小值为____________． 题型08 折叠中的线段最值 34．（2026·安徽铜陵·二模）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为的正方形纸片，点为的中点，点为上任意一点，将沿所在的直线折叠得到，连接． （1）的最小值为________； （2）当取最小值时，________． 35．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 36．（2026·山东青岛·一模）如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 37．（2026·陕西西安·三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的中点，为线段上的一个动点，连接，将沿折叠得到，过点作直线的垂线交直线于点，连接和，则的最小值为____________ 38．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是_____________ 题型09 旋转中的线段最值 39．（2025·河南驻马店·一模）如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， _____°，线段长度的最大值是______cm． 40．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 41．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 42．（2026·河南商丘·一模）三角形的旋转是一种几何变换，它不仅能够帮助我们理解和分析图形的性质，还能够在解决实际问题时提供有效的思路和方法数学社团的同学以“直角三角形的旋转”为主题开展了一系列的探究活动． (1)操作判断：如图1，小组同学将绕点B顺时针旋转得到，连接，则的形状为____________． (2)深入探究：小组同学继续旋转，若，． ①如图2，当点D恰好落在的延长线上时，过点B作的垂线交于点F．求的面积． ②如图3，连接，取的中点M，连接，求线段长度的最大值和最小值． 题型10 周长最值模型 43．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 44．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，为等腰直角三角形，连接，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含的代数式表示） 45．（21-22八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为2，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为_____． 46．（24-25九年级下·广东肇庆·月考）如图，抛物线交直线于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标和的最小周长值． 题型11 面积最值模型 47．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 48．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 49．（2025·四川宜宾·二模）如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______． 50．（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； (2)如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 题型12 二次函数中的几何最值 51．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求、的值； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 52．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 53．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 54．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 5（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 7．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 9（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点，使得最短（保留作图痕迹）______． （2）在（1）的基础上，在边上找一点，使得最小，最小值为______． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______． 11．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 12．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 13．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 14．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何最值模型综合（选择，填空，解答压轴题） 命题预测 几何最值是全国中考必考核心压轴考点，分值占比 8%-15%，通常占据“选择题压轴（第 10 题）、填空题压轴（第 15 题）、解答题几何压轴（第 23 题）”三大核心位置。其命题灵活度高、区分度强，是拉开分数差距的关键模块。预计 2026 年中考命题仍将延续 "基础模型保底、多模型融合压轴、结合真实情境" 的整体趋势，对学生的动点轨迹分析能力和模型转化能力提出更高要求。 高频考法 题型01 将军饮马模型及其变式 题型02 胡不归模型 题型03 阿氏圆模型 题型04 费马点问题 题型05隐圆最值模型 题型06 瓜豆原理 题型07 垂线段最短型最值 题型08 折叠中的线段最值 题型09 旋转中的线段最值 题型10 周长最值模型 题型11 面积最值模型 题型12 二次函数中的几何最值 典例·靶向·突破 题型01 将军饮马模型及其变式 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 【答案】 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，根据菱形的性质推出N是中点，P与O重合，推出，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴N在上，且N为的中点， ∵， ∴， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴， 即P为中点， ∵O为中点， ∴P、O重合， 即过O点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：， 所以，的最小值为． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，作点，使得且，连接，可得 四边形是平行四边形，得到，即得，作点关于直线的对称点，连接、， 得，即得，根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，利用平移的性质可得，， 最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是菱形，，， ，，， ∵四边形是平行四边形， ，， 作点，使得且，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于直线的对称点，连接、， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， ，， ∴点可看作由点沿方向平移得到， ∵，， 又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧， ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处， ∵点在下方个单位处，且在上， ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， ∵点与点关于对称， ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为， ，， 在中，， 的最小值为． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接，，，，．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】作关于的对称点，连接，，，，． 则， ∴时， 当共线时，取得最小值时， 点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 【点睛】最短路径问题常见的一种方法是利用轴对称将两条线段的和化折为直． 4．（2026·陕西汉中·一模）如图，在矩形中，，，O为对角线的中点，点E在边上，且，点F为边上的一个动点，连接，，则的最大值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理以及三角形三边关系，根据三角形两边之差小于第三边可知，当，，三点共线且 O 在之间时取等号，此时取得最大值，最大值为线段的长. 通过构建直角三角形，利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：如图，连接并延长交 于点 ， 在中，根据三角形三边关系可得， 当点F运动到位置，即，，三点共线时，取得最大值，最大值为的长， 过点O作于点M， 四边形是矩形，，， 、， O为对角线的中点，， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 点O是矩形中心，点E在上，点F在上， 当E，O，F共线时，O必为中点，此时F点在上， 的最大值为． 5．（2026·黑龙江·一模）如图，在矩形中，，，点、分别在、边上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F，根据对称性可得，所以，再根据两点之间线段最短可得最小值为，然后过点E作的平行线，交的延长线于点I，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点E，作点C关于的对称点F， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知点E，M，N，F共线时最小，所以最小，即． 过点E作的平行线，交的延长线于点I， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得， 所以最小值是． 6．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 题型02 胡不归模型 7．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】连接交于点，过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质以及勾股定理求出相关线段的长度，得出，当三点共线且时，取最小值，则取最小值，最小值为，最后利用等面积法进行求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形为菱形，边长为5，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴当三点共线且时，取最小值，则取最小值，最小值为， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8．（2026·青海西宁·一模）如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 【答案】 【分析】在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再结合题意及三角形三边关系确定，则当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接， ∵，， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的最小值是． 9．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点F作于点M，连接，，过点A作于点H，求出，得到，然后得到的最小值为，然后解直角三角形求解即可． 【详解】如图，过点F作于点M，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴， ∵ ． ∵垂直平分 ∴， ， 的最小值为． ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三线合一，垂直平分线的性质，含30度角直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 【答案】[问题探究] 见解析；[问题应用] ，尺规作图见解析；[问题迁移] 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形，勾股定理，掌握用转化的思想思考问题是关键． [问题探究]按照题中思路将过程补充完整即可解答； [问题应用] 过点作，交的延长线于点，有锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为; [问题迁移]根据题意画出图形求解即可， 【详解】[问题探究]解：过点作射线使，作于 在中， ， ， ， 当点A、P、H在一条直线上时，有最小值， 此时； [问题应用] 解：如图，过点作，交 的延长线于点， ，， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故答案为：； 尺规作图如下： 以点为顶点作，则，与的交点即为点， ； [问题迁移]解：如图，，， ， 令， 根据勾股定理可得， ，， ， 求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小，为的长度， 连接， , ， ， 根据勾股定理可得， ， 即的最小值为， 故答案为：． 题型03 阿氏圆模型 11．（2026·四川宜宾·二模）如图，在中，，，，P是直线上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意确定点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆上的劣弧，利用相似三角形在射线上构造点E，使得，将转化为，利用两点之间线段最短求解． 【详解】解：∵，， ∴点A，B在以C为圆心，2为半径的圆上， ∵ ， ∴点P在以C为圆心，2为半径的圆的劣弧上， ∴， 如图，在射线上取一点E，使得，连接， ， ∵，， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 当A，P，E三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， ∴， ∴ 的最小值为 ． 12．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 【答案】 【分析】在上取一点，证明，得出，则，当三点共线时，取得最小值，即线段的长度，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：已知半径，， ， 在上取一点， 此时， ， ， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即线段的长度， ， ， 故的最小值为． 13．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 14．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 15．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长； （3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， 在菱形中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的概念、三角形的两边之和大于第三边、勾股定理、相似三角形的性质和判定及菱形的性质，构造辅助线将求和的两条线段转入同一三角形中利用三角形的两边之和大于第三边求最小值是解题的关键． 题型04 费马点问题 16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；过点作于点，如图，先计算出，则，，于是利用勾股定理可计算出；把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，，根据旋转的性质得到，，，，则可判断为等边三角形，所以，由于当且仅当、、、共线时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，过点作于点，如图，计算出，则，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在中，， 把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，， ，，，， 为等边三角形， ， ， 当且仅当、、、共线时取等号 的最小值为，即的最小值为， 过点作于点，如图， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 17．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小，作交的延长线于，的延长线交的延长线于，在中由勾股定理即可解决问题． 本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小， 理由：，， 是等边三角形， ，， ， 当、、、共线时，最小， 作交的延长线于，的延长线交的延长线于，则四边形是矩形， 在中， ，，， ，，，， 中， ， 的最小值为， 故答案为：． 18．（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形中求最短距离的问题．将绕点顺时针旋转，得到，连接、，由旋转可得和均为等边三角形，，则，当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离，求点到的距离即可得出结论． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转可得和均为等边三角形， ∴， ∴， 当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离， 设交于点， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 19．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，， ∴，，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，， ∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，， ∴是，的垂直平分线， ∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 20．（2026·安徽·一模）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼，如图1是小区的居民楼分布示意图，其中，，，为了方便小区居民购物，社区有关部门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 （1）初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为点，为了体现公平性，点到三个顶点的距离应该要相等．此时，点应选择在 ① 处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空）． （2）方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们想找到一个点，使它到三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵ ② ， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①_________；②_________；③_________； (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以为边向外作等边三角形，连接，此时点位于线段上，请在此基础上通过尺规作图找出点的位置．（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出的最小值． 【答案】(1)外心；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质即可求解；②③根据题目所给的推理步骤即可解答； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点，再以为圆心，半径不变画弧，交于点，接着以为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接并延长，在射线上截取，连接，最后再连接，此时与相交于一点，这一点即是点；由等边三角形和等边三角形，可以证明，得到，再由三角形内角和为得到，可得作图正确． （3）过点作交延长线于点，由（1）得，的最小值就是线段的长度．先求出，在中，求出，的值，再在中，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴要使点到三个顶点的距离相等， 此时，点应选择在的外心处； 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：过点作交延长线于点， 由（1）得，的最小值就是线段的长度． ∵是等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， 由勾股定理得，． ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 题型05隐圆最值模型 21．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 22．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 23．（2026·河南驻马店·二模）如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】先证明得出，解直角三角形得出，，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，，则四边形是正方形，从而得出，，此时最小；以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，，同理可得四边形是正方形，进而得出，，此时最大． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ①如图1，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，，此时最小． 由勾股定理，得， ∴． ②如图2，以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，， 同理可得：四边形是正方形， ∴，，此时最大． 由勾股定理，得， ∴． 综上所述，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形中，，，点E是平面内一点，且，过点D作的垂线，交直线于点F．线段长度最小值为________． 【答案】 【分析】由确定点在以为直径的圆上运动，由确定点在以为圆心，1为半径的圆上运动．当在左边且与相切，切点为点时，最小，由勾股定理求出，再证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∵， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当在左边且与相切，切点为点时，最小， ∴， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴由圆内接四边形可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是确定点与点的运动轨迹． 25．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点A，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 证明过程缺失 则， 则此时，最大，最大值为． 【问题延伸】如图3，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，过点A作于点F，连接，则线段的最小值是 ． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为 米．（结果保留根号） 【答案】问题解决：见解析 问题延伸： 拓展提升： 【分析】问题解决：利用三角形三边的关系证明线段的最大值；问题延伸：通过构造圆，利用点与圆的位置关系求线段的最小值；拓展提升：构造圆，结合中位线定理和勾股定理求仿古长廊最短长度． 【详解】问题解决 证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 在中，， ， ， 则， 则此时，最大，最大值为； 问题延伸 解：如图3， ， ∴， ∴点F在以为直径的圆上，以为直径作，连接交于F， 由点圆关系得此时最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：； 拓展提升 解：如图4，取、中点、，连接， 以为直径作，连接交于点， 作于，连接、， ∵点F为中点， ∴、分别为和的中位线， ∴， ∴， ∵为半圆直径， ∴， ∴， ∴F在以为直径的圆上，即在上，由点圆关系得，为的最小值， ∵、为、中点， ∴为中位线， ∴米，， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴（米）， ∵， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题主要涉及圆的性质、三角形三边的关系、勾股定理以及中位线定理的相关知识；线段最值问题常转化为“点到圆的距离的最值”核心是找到动点的轨迹圆，再计算圆心距与半径的和或差． 题型06 瓜豆原理 26．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 【答案】 【分析】考虑点和点重合以及点和点重合这两种特殊情况，分析得点的运动轨迹为一条线段，连接、交于点，则得点的运动轨迹为的中位线，结合菱形的性质和解直角三角形计算即可 ． 【详解】解：当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 因此点的运动轨迹为一条线段，如下图所示， 连接、交于点，如下图所示，则点的运动轨迹为的中位线， 四边形是菱形， ，、互相平分， ， 是等边三角形， ， ， ， 点运动轨迹的长为． 27．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，的半径为2，点是上一动点，点是外一点，连接，取的中点，当点在上运动时，判断点的运动轨迹．小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程； 【问题解决】 （2）某政府为提升居民生活品质，对废旧广场及周边进行绿化改造．如图②，现规划重新建设一处运动场所正方形．按设计要求，要在正方形的边上取中点记为，以为圆心，长为直径作，设置一个儿童游乐场所，为方便人们通行，在点处设置小门，点为上一动点，连接进行路面硬化，取的中点，连接设置休息长廊，且．为尽可能满足居民的活动需要，想让休息长廊尽可能短．请问，是否存在符合设计要求且长度最短的长廊？若存在，求最短长廊的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在， 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理解答即可； （2）连接，取的中点G，连接，利用（1）的方法得到点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，则当点F在上时，线段的长最小，连接，过点G作于N，交于点M，利用矩形的判定与性质和三角形的中位线定理得到，，，利用勾股定理求得，则结论可求． 【详解】解：（1）连接，如图，    ∵B是的中点，C是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； （2）连接，取的中点G，连接，如图，    ∵正方形的边长为400，是的直径， ∴，的半径为200， ∴， ∵G是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心，100为半径的圆， ∵点G为定点， ∴当点F在上时，线段的长最小，最小值为． 连接，过点G作于N，交于点M， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的最小值是． 即存在符合设计要求且长度最短的长廊，最短长廊的值为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，点的轨迹，添加适当的辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 28．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，，，于点D，点E是边上的动点，连接，作，点F在下方，连接，，若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】连接，证明，可得，再证明，可得，即可证明，可得的度数固定，则点在直线上运动，根据垂线段最短，确定的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ∴的度数固定，则点在直线上运动， 如图，作， 根据垂线段最短，当点运动到处，最小， ， ， ，， ， 即的最小值为． 题型07 垂线段最短型最值 29．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 30．（2026·山东枣庄·一模）如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 31．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在对角线上，点在上，连接、，的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，根据得到当三点共线，且时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，最小值为， ∵菱形中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 33．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在中，，点为上一动点，且，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，作于点，由，证明四边形是矩形，则，由，得，则B，由勾股定理得，求得或，当时，则，不符合题意，舍去；当时，则，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点，如图： ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 整理得， 解得：或， 当时，则， ∴不符合题意，舍去， 当时，则， ， ， ， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型08 折叠中的线段最值 34．（2026·安徽铜陵·二模）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为的正方形纸片，点为的中点，点为上任意一点，将沿所在的直线折叠得到，连接． （1）的最小值为________； （2）当取最小值时，________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、圆上点到定点的最短距离问题、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的计算，熟练掌握相关图形的性质与判定定理是解答本题的关键． （1）根据折叠的性质得到，结合点为定点，判断出点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆弧，再根据 “圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，结合勾股定理求出的长度，进而得到的最小值； （2）当取最小值时，点在线段上，由折叠性质得到，从而推出，利用相似三角形的性质求出的长度，再结合正方形边长求出的长度，最后根据正切的定义计算． 【详解】（1）解：点为的中点，正方形的边长为， ， 由折叠知，如图1， 点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，连接DE， ，，， 中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）如图，当取最小值时，点在线段上，由折叠知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 35．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O，连接， 由折叠的性质可得， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时， ∵在矩形中，， ， ∴， ． 36．（2026·山东青岛·一模）如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，由矩形的性质和勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据“两点之间，线段最短”可知，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，在矩形中，，，， 在中，， ∵由沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 37．（2026·陕西西安·三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的中点，为线段上的一个动点，连接，将沿折叠得到，过点作直线的垂线交直线于点，连接和，则的最小值为____________ 【答案】 【分析】先由，得到四点共圆，则，，根据定角对定长可得点在以为圆心，半径为的圆上运动；连接交于点，在上取一点，使，连接，过作于，根据，，可得，则，得到，当在上时，最小，再求出的长度即可． 【详解】解：连接，，，延长至，使于， ∵为等腰直角三角形，，，为的中点， ∴，，，， 由折叠可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴根据定角对定长可得点在以为圆心，半径为的圆上运动； 连接交于点，在上取一点，使，连接，过作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴当在上时，最小． 38．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是_____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，通过作辅助线将的最小值转化为的长是解题的关键．作于，由，得，即、、三点共线时，最小值为，然后通过含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图，作于， 四边形是矩形， ， ， ， ，，， ， 即、、三点共线时，最小值为， 将长方形沿对角线折叠，得， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为： 题型09 旋转中的线段最值 39．（2025·河南驻马店·一模）如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， _____°，线段长度的最大值是______cm． 【答案】 90 14 【分析】因为和都是等腰直角三角形，可证，所以，又因为，根据三角形内角和定理可得．点F在以为直径的圆上运动，且弦位于下方；D、E在以C为圆心，长为半径的运动，当与相切时，最大；易得四边形是正方形，从而由勾股定理可求得，则由可求得的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设交于点O， ∵，， ∴． ∴点F在以为直径的圆上运动； ∵， ∴； ∵， ∴弦在直径的下方，如图； ∵D、E在以C为圆心，长为半径的运动， 当与相切时，最大； 则， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：90；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 40．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 41．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③ (2)，3 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①证明是等边三角形，得，，由正切函数可得结论； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质解决问题即可； ③证明M，D，N，C四点共圆，推出是该圆的直径，易知当是该圆的直径时，的长最短． （2）当时，根据“垂线段最短”知，的长最短，当四边形是矩形时，，此时最短．解直角三角形，求出即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵°， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于点，于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即； ③连接． ∵， ∴， ∴M，D，N，C四点共圆， ∴是该圆的直径， ∵， ∴当时，的长最短，此时． （2）解：如图，当时， 根据“垂线段最短”知，的长最短， 当四边形是矩形时，，此时最短． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：，3 42．（2026·河南商丘·一模）三角形的旋转是一种几何变换，它不仅能够帮助我们理解和分析图形的性质，还能够在解决实际问题时提供有效的思路和方法数学社团的同学以“直角三角形的旋转”为主题开展了一系列的探究活动． (1)操作判断：如图1，小组同学将绕点B顺时针旋转得到，连接，则的形状为____________． (2)深入探究：小组同学继续旋转，若，． ①如图2，当点D恰好落在的延长线上时，过点B作的垂线交于点F．求的面积． ②如图3，连接，取的中点M，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)①；②的最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据旋转的性质知为等腰直角三角形； （2）①过点D作的垂线交的延长线于点I，推出四边形为矩形，证得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； ②取的中点为T，连接，，推出在以T为圆心，1为半径的圆上，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质知：，， ∴为等腰直角三角形； （2）解：①过点D作的垂线交的延长线于点I， 由旋转的性质知：，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； ②取的中点为T，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴在以T为圆心，1为半径的圆上， 当M点在的延长线上时，的最大值为； 当M点在线段上时，的最小值为． 题型10 周长最值模型 43．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F是的六等分点，连接，，点G为弦的中点，点H为上一点．已知的直径为4，则的周长最小值为____________________ ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，，，，，首先得出当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度，然后得到，是等边三角形，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，，，， ∵点A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴，是直径，点B和点F关于对称， ∴， ∴的周长， ∴当点B，H，G三点共线时，的周长取得最小值，即的长度， ∵的直径为4， ∴， ，， 是等边三角形， ，， ∵点G为弦的中点， ∴， ∴， 在中，， 是直径， ， ， 在中，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 44．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，为等腰直角三角形，连接，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短路径，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接 ，过点作交延长线于点，则，由为等腰直角三角形，则，，所以，又四边形是正方形，则，即有，然后下面，故有，，点在的射线上运动，作点关于的对称点，然后通过是的角平分线，即点在的角平分线上运动，则点在的延长线上，当三点共线时，最小，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 ，过点作交延长线于点，则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点在的射线上运动，作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线，即点在的角平分线上运动， ∴点在的延长线上， 当三点共线时，最小， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， ∴此时的周长为， 故答案为：． 45．（21-22八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为2，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】先求PC+CE的最小值，再计算周长的最小值即可． 【详解】∵ 四边形ABCD是菱形， ∴A、C关于BD对称， 连接AE，交BD于点F，当P与F重合时，PE+PC最小， 过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G， ∵  菱形的边长为2，且，是的中点， ∴BE=EC=1，AB=2，∠EBG=， ∴BG=，， ∴AG=AB+BG=， ∴， ∴的周长的最小值为AE+EC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，将军饮马河原理，勾股定理，熟练掌握菱形性质和将军饮马河原理是解题的关键． 46．（24-25九年级下·广东肇庆·月考）如图，抛物线交直线于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在对称轴上，当的周长最小时，求点D的坐标和的最小周长值． 【答案】(1) (2)，的最小周长值为 【分析】（1）根据直线交坐标轴于，两点，可得点，点坐标，利用待定系数法即可求解． （2）根据当的周长最小时，则最小，此时点D为直线与直线的交点，把代入，求出y值即可求点D坐标．再求出点A坐标，从而可求得，，即可由的周长最小值求解． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， 抛物线交直线于坐标轴上，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线交x轴于点A、B， ∴点A、B关于直线对称， ∵点D在抛物线的对称轴上， ∴， ∴ ∴当点B、D、C三点共线时，的值最小，最小值等于的长， ∵的周长， ∴当的周长最小时，则最小， 此时点D为直线与直线的交点，如图， 把代入，得， ∴． 把代入，得， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查二次函数图象与一次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键． 题型11 面积最值模型 47．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】先求出边上的高，确定点P到距离的最小值，再可利用平行四边形面积公式求出边上的高．因为点P在上，所以要先确定点A到的距离，再结合的半径，得到点P到的最小距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】如图，作，， 在中，，， ∴面积最小等价于最小． ∵面积为， ∴ ， ∵是上的动点，的半径， ∴圆上点到的最小距离为： ， 代入面积公式得最小面积： ． 48．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 【答案】 【分析】过点作于点，可得四边形是正方形，从而得到，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，然后结合题意可得点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，当点、、三点共线时，最小，此时面积最小，延长、交于点，过点作于点，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点， 即当最小时，面积最小， ∵是线段的中点，， ， 由折叠的性质得：， ∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长、交于点， 过点作于点，则， ∴， ，， ， ∵， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，， ，， ， ∵， ，即， ∴， ， ， ∴面积的最小值为． 49．（2025·四川宜宾·二模）如图，在中，，点分别是边上的动点，满足，，且四边形的面积为，则面积的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等，过点作于，于，可证，可得，即得点在的角平分线上，可知当时，最短，此时的面积最小，由全等三角形的性质可得，又由得，再证明，可得为等边三角形，，解直角三角形求出可得，即可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵于，于， ∴点在的角平分线上， 当时，最短，此时的面积最小， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， 设，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最小值是， 故答案为：． 50．（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； (2)如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积不会变化，面积的最小值为平方米 (3)存在，四边形的周长的最小值为米 【分析】（1）根据三线合一得到，，当时，的值最小，由等面积法即可求解； （2）根据题意，是等腰直角三角形，证明，得到，结合图形，面积的计算及等量代换即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，可算出（平方米），如图所示，过点E作于点K，设米，米，得到，则最小即可，点重合，点重合，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴，， ∴在中，， 为上一动点，连接， ∴当时，的值最小， ∵， ∴； （2）解：四边形的面积不会变化，面积为16平方米，理由如下， 如图所示，连接， ∵已知中，，，为中点， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不会发生变化， ∵， ∴四边形的面积为； （3）解：存在，四边形的周长的最小值为米，理由如下， ∵米，，， ∴四边形是等腰梯形，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则米， 在中，米，， ∴米，米， ∵米， 同理，米，米 ∴米， ∴（平方米）， ∵四边形的面积为平方米， ∴（平方米）， 如图所示，过点E作于点K，设米，米， ∴，则， ∴米，米， ∴（平方米），（平方米）， ∴， 化简得，， ∴米，则米， ∴当值最小时，四边形的周长存在最小值， 把绕点逆时针旋转，得到，作点关于射线的对称点，交于点，连接，如图所示， 由旋转可得，， ∵， ∴共线，米， ∵米， ∴米， ∵， 当共线时，取得最小值，最小值为的长，即米， ∴四边形的周长的最小值为（米）． 题型12 二次函数中的几何最值 51．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求、的值； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）将对称轴，点分别代入对称轴公式和解析式，可得关于、的方程组，解方程组即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与轴交于， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点， ∴设，， ∵旋转， ∴，， 当点在轴上方时， ∵，关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作⊥对称轴于点，则：，    ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 把点代入，得 ， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：存在， 在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，则，    ∵抛物线中，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，，的最小值为． 【点睛】这道二次函数综合题，核心考查抛物线对称轴性质、旋转构造全等三角形、胡不归最值的线段转化，解题关键是几何性质代数化，以分类讨论和垂线段最短破局． 52．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为 (2)点坐标为，最小值为． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解； （2）令，可得点B的坐标，由此可得，，作点C关于x轴的对称点，过点作于点， 与x轴的交点即为所求点P，连接，可得的最小值为，求出点P的坐标及即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：由， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作点C关于x轴的对称点，过点作于点，与x轴交于点P，连接， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴当点的坐标为时，的最小值． 53．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 【答案】(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) (3)面积的最大值为3． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知，从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时，可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：； （3）解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为3． 54．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 5（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 6．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 7．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】作交于点，作交于点，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合的值，可得出当取最大值时，取最小值，根据度的圆周角所对的弦是直径得出点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上，当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，根据相似三角形的判定和性质求出的最大值，求出；当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，求出，即可求解． 【详解】如图，作交于点，作交于点， 在中，， 在中，， 即， 解得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， 故当取最大值时，取最小值． ∵ ∴ ∴点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上， 当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，如图： ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 此时，即的最大值为， 故． 当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，如图： 即的最大值为， 故． 综上所述，的最小值是． 9（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点，使得最短（保留作图痕迹）______． （2）在（1）的基础上，在边上找一点，使得最小，最小值为______． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作， 由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点， ∴， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为 故答案为：． 11．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 12．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 13．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 14．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $