第19章四边形 单元训练2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第19章四边形综合专练 一.单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.一个凸多边形的内角和等于外角和的2.5倍，则这个多边形的边数是() A.5 B.6 C.7 D.8 2.如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=12,AC=10,则 BD的长是() D B A.13 B.20 C.26 D.30 3.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F,连 接DE,若∠DEF=a,则∠ABE的度数为() A.45°+ 3 B.45°-0 C.450_a Γ2 D.45°- 3 ∠A=32,BD⊥AD 4.如图，在四边形 ABCD 中， .若将△BCD沿BD折叠，点C与边1B 的中点E恰好重合，则∠C的度数为() B C--------- E A.32° B.58° C.64° D.90 5.下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的每把 折扇都完全展开且无重叠)，则梅花图案中的五角星的五个锐角均为() 试卷第1页，共3页 图(1) 图(2) A.36° B.60° C.45° D.48 6.如图，直线1,12表示一条河的两岸，且2.现要在这条河上建一座桥（桥与河的两 岸相互垂直)，使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线() Q A.路线：PF→FQ E B.路线：PE→EQ 2 p C.路线：PE→EF→FQ D.路PE→EF→FQ E 12 7.在矩形ABCD中，AB<BC,点E在边AB上，点F在边BC上，连接DE、DF、EF .AB=A,BE=CF=b,DE=c,∠BEF=∠DFC: 试卷第2页，共3页 A B 以下两个结论：() ①4*h 2 c ②a+b2+(a-b2=c2 A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 8.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若 干个三角形，叫做多边形的三角剖分.如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连 接线段AF、BF的前提下，一共有()种三角剖分方法 A.8 B.10 C.12 D.14 9.如图所示，在四边形ABCD中，AD=2,∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD,在 AD上找一点P,使PC+PB的值最小：则PC+PB的最小值为() D C B A.4 B.3 C.5 D.6 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，D为OA边上一 点，连接CD.将菱形OABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB于点F.若点F的坐 标为54 4,则点D的坐标为() 试卷第3页，共3页 D 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分，共计18分） 1.如图，口1CD的对角线4C,D相交于点9 O,∠ADC 的平分线与边AB相交于点P,E 是PD的中点，若AD=6,CD=9,则EO的长为 D B 12.如图，在四边形 8CD中，A=35,B=D=0,从，N分别是AB.AD上的动 点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为 M B 13.完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.如图，五边形ABCDE 是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1+∠2=160°，则∠C+∠D+∠E= B .14.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF翻折后，点 试卷第4页，共3页 B的对应点G恰好落在边CD上，如果EG⊥CD,BE=10,DG=6,那么AE的长为 l5.如图，点E、G、H分别为矩形ABCD的边AB、CD、AD的中点，连接GH、HE、 BC,点M为C上动点，过M作LG于A,O1E EG BC 于Q,点F为C边上一动 点，连接M ，已知B=2,8C=I6,则MP+M0+ 的最小值为 H B F 16.如图1，点M从正方形ABCD的项点A出发，沿直线运动到正方形ABCD内部一点， 再从该点沿直线运动到顶点D,设点M运动的路程为x,点M到线段AD的距离为m,到 177 线段CD的距离为nm'且m=y(当点M与D重合时，设y=1),图2是点M运动时y随 x变化的关系图象，则AB= D C (M)A 0 V10 V10+32 图1 图2 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠DCE=93°，求∠A的度数. 试卷第5页，共3页 D C E 18.如图所示，直线∥，4,8是上的两点，C,D是上的两点.aMCD与CD 的面积相等吗？请说明理由 19.如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一 直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形， 20° 20° (1)小玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和. 20.如图，O是△ABC内一点，连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E ,F,G依次连接，得到四边形DEFG. E B (I)求证：四边形DEFG是平行四边形. ②如果∠08C=45°，∠0CB=30°，0B=3W5,求EF的长. 21.已知：在△ABC中，BC=12cm,过点A作射线AM与BC平行（如图所示），点P 试卷第6页，共3页 从点A出发沿着射线AM方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线BC方向 作匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒， M M B 备用图 (1)如果点P的速度为lcm/秒，点Q的速度为3cm/秒，当四边形AQCP是平行四边形时，求 t的值： (2设点P的速度为cm秒，点Q的速度为cm秒，AC=10cm,当10 垂直平分CP y 时，求2的值. 22.如图①，在口ABCD中，∠B-60°，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点E处，连结 DE B (① ③（备用图） B (I)求证：AD=CE, (2)如图②，若点E在直线AD下方，AE、CD相交于点O,AB=2,AE⊥CD,求BC的 长 AB (3)在翻折过程中，若∠DAE=90,求C的值. 23.如图，在平面直角坐标系0y中，矩形01BC的顶点18,0)，顶点C(0,6,点D为 BC边上一动点，设CD的长为m,以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF,在点D 运动过程中，探究以下问题： 试卷第7页，共3页 图1 图2 (I)①当点D与点C重合时，点E的坐标为 ②用含m的代数式表示点E的坐标为 (2)△ABF的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由： (3)当△ABF为等腰三角形时，直接写出点F的坐标 ABCD AC,BD 24.在矩形 中，对角线 相交于点O,点，F分别是 E,F B,BC 上的动点，连接 OE,OF,OE⊥OF D 图1 图2 图3 (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在CD上找一点G,使得CG=AE(不写作法，保留痕 迹)： ②)如图2，连接，求证：E+CF=Er: CF (3)如图3，若 =4BC=3,点“是B的中点，E,求线段CF的长。 试卷第8页，共3页 第19章四边形综合专练 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 2．如图，的对角线与相交于点，．若，，则的长是（    ） A．13 B．20 C．26 D．30 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 3．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再求出，最后由三角形内角和求出，即可得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，在四边形中，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，再由折叠的性质解答即可． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：． 5．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的每把折扇都完全展开且无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据图形得出折扇都完全展开时，展开的度数为，． 【详解】解∶如图， 由图2可知，折扇都完全展开时，展开的度数为， 又∵， ∴， ∴， ∵正五边形的每一个内角， ∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：． 6．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路PE→EF→FQ 【答案】C 【分析】构造四边形FEPP′为平行四边形，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 【详解】作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， ∴四边形FEPP′为平行四边形，∴P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故选：C． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是构造平行四边形． 7．在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明②正确，由得到，根据即可证明①正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， 故①②都正确. 8．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 9．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD， ∵∠ADC=90°，C'D=CD， ∴点C'与点C关于AD对称， 连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小， ∵∠A=∠ADC=90° ∴CD//AB， ∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°， ∵C' D=CD，∠ADC=90° ∴CC' =2CD， ∵BC=2CD， ∴CC' =BC， ∴∠C'=∠CBC'， ∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°， 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E， 则BE=AD=2， 在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2， ∴BC' =2BE=4， 即PB+ PC的值最小值为4， 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证得，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的中点， ， ∴是的中位线 ， ∴． 12．如图，在四边形中，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，则的度数为__________． 【答案】/110度 【分析】此题考查了轴对称－最短路径问题，三角形内角和定理，等边对等角，凡是涉及最短距离的问题，一般都要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 分别作点C关于的对称点E，F，连接，分别交于点M，N，此时的周长最小，由四边形内角和求出，进而求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：如图，分别作点C关于的对称点E，F，连接， ∴， ∴的周长， 当点共线时，的周长取得最小值，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． .14．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，由得，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 【答案】/15.6 【分析】利用矩形的性质结合中点的性质得出，，利用勾股定理求得的长度，从而求得的面积，再利用求得，从而得出的最小值为的最小值，当最小时，最小，而最小值为，并最终求得结果． 【详解】解：∵点E，G，H分别为矩形的边，，的中点， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即当最小时，最小， ∵最小值为， ∴的最小值为． 16．如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 【答案】 【分析】设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，． 过点作于点，则，， 设，则， 则在中，有， ， 解得（舍去）或， ， ． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，在四边形中，，，求的度数． 【答案】 【分析】利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 18．如图所示，直线，，是上的两点，，是上的两点．与的面积相等吗？请说明理由． 【答案】与的面积相等．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线间的距离性质和三角形面积公式，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 通过作两条平行线间的高，利用平行线间距离处处相等的性质，结合三角形面积公式，证明两个三角形面积相等． 【详解】解：与的面积相等，理由如下， 过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、， ，， ∵直线，，， ∴， ∴． 19．如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形．    (1)小玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)54米 (2)2880° 【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形， ∴， （米）． 答：贾玲一共走了54米． （2）根据题意，得， 答：这个多边形的内角和是． 【点睛】本题考查了正多边形的外角以及多边形的内角和，理解“第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的多边形是正多边形”是解题关键． 20．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 21．已知：在中，，过点A作射线与平行（如图所示），点P从点A出发沿着射线方向作匀速运动，同一时刻，点Q从点B出发沿着射线方向作匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)如果点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)设点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，，当垂直平分时，求的值． 【答案】(1)3秒 (2) 【分析】（1）根据题意，得，，，当点Q在上时，此时，根据，列出方程求解即可； （2）根据题意，得点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，设运动时间为t秒，故，，设垂直平分时，交点为G，连接，根据题意，得，，证明四边形是菱形，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 当点Q在上时，此时，四边形是平行四边形， 故， ， 解得（秒）； （2）解：根据题意，得点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，设运动时间为t秒，故，，设垂直平分时，交点为G，如图所示，连接，根据题意，得，， 故，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 故． 22.．如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或． 【分析】(1) 利用平行四边形对边相等和翻折性质，通过等量代换即可得证． (2) 由和推出，即；再由翻折性质得平分，从而；在中，过点作高，利用特殊角直角三角形性质和勾股定理即可求出． （3）情况讨论直线与直线的交点的位置：分别利用平行线性质、翻折性质得到直角三角形，再通过含、角的直角三角形边长关系，用表示与，求出比值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 沿翻折，点落在点处， ， ． （2）解：，， ， ， 沿翻折得到， ， ， 在中，，， ， 过点作于点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， ， （3）解：设直线交直线于点，． 情况一如图，在延长线上， ，即， ， ，且在、之间， ， ，即， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ． 情况二，点在线段上，如图 ， ， ，且在、之间， ， ， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①；② (2)不变，定值为，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）①过点作轴于点，通过论证即可得出结论； ②过点作轴于，过点作于点，通过论证即可得出结论； （2）过点作轴于，可得，进而利用即可得出结论； （3）过点作轴于，由（2）的结论得，推出，再分3种情况讨论：、、，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：①当与重合时，如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②过点作轴于，过点作于点， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 过点作轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，定值为； （3）解：过点作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴分3种情况讨论： 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 综上：或或． 24．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $