考点3.8动力学中临界极值问题-2026届高考物理一轮复习100考点精练

2027高考一轮复习100考点精练 第三章 运动和力的关系 考点3.8 动力学中临界极值问题 【考点精练】 1.（2026山西大学附中质检）下雨时，雨滴在均匀分布的空气中下落过程中受到的阻力可以表示为f=kρ，其中ρ表示空气密度，d表示雨滴直径，v表示雨滴下落的速率，k被称之为雷诺系数，其经验公式为k=+0.4，为流体的黏滞系数，根据以上信息判断下列说法正确的是（　　） A．雨滴下落过程中做加速度减小的加速运动，直到加速度减为0 B．雨滴下落过程中受到的阻力与雨滴速率的平方成正比 C．雷诺系数的单位为kg/（m·s2） D．黏滞系数的单位为kg/（m·s） 答案 AD 【解析】雨滴在均匀分布的空气中下落过程中受到的阻力f=（+0.4）ρ，不是与雨滴速率的平方成正比，B错误；但是随着速率v的增大而增大，则加速度减小，即雨滴下落过程中做加速度减小的加速运动，直到加速度减为0，A正确； 根据阻力f=kρ，可知k=，即k的单位为==1，无单位，C错误； 由于k无单位，则经验公式k=+0.4中三项均无单位，也无单位，即黏滞系数的单位与的单位相同，即黏滞系数的单位为=，D正确。 2. 在一些大城市，应用无人机投送外卖。利用悬停无人机将质量为m的外卖以恒定的拉力F由静止竖直向上提升高度h。已知外卖竖直向上运动时所受阻力与速度成正比，f=kv，下列说法正确的是 A. 外卖可能竖直向上做匀加速运动 B. 外卖竖直向上的最大速度为F/k C. 外卖由静止竖直向上提升高度h的时间为2kh/(F-mg) D. 外卖竖直向上运动速度增大到最大速度的1/2时的加速度为 答案 D 【解析】由于外卖竖直向上运动时所受阻力与速度成正比，所以外卖竖直向上做加速度逐渐减小的加速运动,A错误；由F=mg+kv解得外卖竖直向上的最大速度为v=（F-mg）/k，B错误；画出外卖竖直向上运动的速度图像， 可知外卖由静止竖直向上提升高度h的平均速度大于mg/2k，外卖由静止竖直向上提升高度h的时间小于2kh/(F-mg)，C错误。外卖竖直向上运动速度增大到最大速度的1/2时所受阻力kv/2，由牛顿第二定律，F-kv/2=ma,解得a=,D正确。 3. （湘豫名校联考2025学年高三春季学期第二次模拟考试）如图，滑块P、Q的质量分别为mP=5kg，mQ=10kg。P与Q、Q与水平地面之间的动摩擦因数均为0.5。绳OA一端与P相连，另一端与竖直墙壁相连，绳刚好伸直，绳OA与水平方向夹角为θ，，重力加速度g=10m/s²。现通过力传感器水平作用于Q将它抽出。下列说法正确的是（　　） A. P受到的静摩擦力大小为15N B. 将Q抽出力传感器的最小读数为90N C. 当力传感器读数为100N时，Q的加速度大小为2m/s² D. Q对地面的摩擦力大小为75N 【答案】C 【解析】．P受到的是滑动摩擦力，对P进行受力分析，如图所示 由平衡条件，可得， 又， 解得， 对分析有 则将Q抽出力传感器的最小读数为 故ABD错误； 由牛顿第二定律 解得 故C正确。 4. （2025年5月东北三省精准质检）实验台上有一个竖直放置的弹簧，其劲度系数为。其中物块B与弹簧紧密相连，物块A平稳置于物块B的上方。已知物块A的质量，物块B的质量，两物块初始时均处于静止状态。为了探究外力对物块系统运动的影响，研究人员通过一套精密的机械装置对物块A施加一个竖直向上、大小为的恒力。取，在这样的实验操作下，针对物块A和B后续的运动情况，下列说法正确的是（　　） A. 施加恒力瞬间，物块A对物块B的压力大小为 B. 分离前的过程，物块A的动量变化率变大 C. 物块A上升时两物块分离 D. 分离时物块A的速度大小为 【答案】ACD 【解析】．没有施加恒力之前，有 施加恒力的瞬间对整体分析，根据牛顿第二定律有 解得 对A分析，根据牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可知物块A对物块B的压力大小为，故A正确； 分离前A、B两物块一起做加速度减小的加速运动，动量变化率即为所受合力的大小，根据 可知，在分离前动量变化率一直在减小，故B错误； 分离时A、B间作用力为零，对A分析有 解得 此时B与A加速度相同，对B分析有 则 初始时，此过程 故C正确； 全过程根据动能定理有 解得 故D正确。 5 (2024·福建泉州模拟)如图所示，在水平面上放置着两个靠在一起、横截面为梯形的物体P和Q，θ＝37°，P和Q质量之比为7∶2，所有接触面均光滑。若把大小为F1、方向向左的水平推力作用在P上，P和Q恰好相对静止;若把大小为F2、方向向右的水平推力作用在Q上，P和Q也恰好相对静止，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则为(　　) A. B. C.1 D.3 答案　A 解析　设P和Q的质量分别为7m和2m，当把大小为F1、方向向左的水平推力作用在P上时，设整体的加速度大小为a1，根据牛顿第二定律有F1＝9ma1。隔离Q分析，因为P和Q恰好相对静止，根据力的合成与分解以及牛顿第二定律有2mgtan θ＝2ma1，联立解得F1＝mg;当把大小为F2、方向向右的水平推力作用在Q上时，设整体的加速度大小为a2，根据牛顿第二定律有F2＝9ma2，设Q对P的弹力大小为FN，则FNsin θ＝7ma2，根据牛顿第三定律可知P对Q的弹力大小为FN'＝FN，隔离Q分析，因为P和Q恰好相对静止，在竖直方向上根据平衡条件有FN'cos θ＝2mg，联立解得F2＝mg，所以，故A正确。 6 (2024·湖南娄底模拟)如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝6 kg，mB＝4 kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB大小随时间变化的规律分别如图甲、乙所示，则(　　) A.t＝0时，A物体的加速度为2 m/s2 B.t＝1 s时，A、B开始分离 C.t＝0时，A、B之间的相互作用力为3 N D.A、B开始分离时的速度为3 m/s 答案　B 解析　由题图甲、乙可得FA＝(8－2t) N，FB＝(2＋2t) N，t＝0时，可知FA0＝8 N，FB0＝2 N，由于FAO>FBO，所以二者不会分开，A、B两物体的加速度为a＝＝1 m/s2，设此时A、B之间的相互作用力为F，对B根据牛顿第二定律可得F＋FB0＝mBa，解得F＝2 N，故A、C错误;当二者之间的相互作用力恰好为零时开始分离，此时的加速度相同，则有，即，解得t＝1 s，分离时的速度为v＝at＝1 m/s，故B正确，D错误。 7 (2025·山西运城高三期末)马车是古代交通运输的主要工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物的示意图。木板A和B、B和车之间的接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为μ1，B与车之间的动摩擦因数为μ2，A的质量为m，B的质量为3m，车的质量为5m，地面对车的摩擦不计，马给车的水平拉力为F，A、B始终没有离开车的表面，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　) A.若μ1>μ2，不管F多大，A、B都不会发生相对滑动 B.若μ1>μ2，当F＝10μ2mg时，B与车之间开始相对滑动 C.若μ1<μ2，逐渐增大F，A相对于B先滑动 D.若μ1<μ2，A、B与车都相对静止，F的最大值为8μ1mg 答案　AC 解析　若μ1>μ2，B相对于车比A相对于B先滑动，所以不管F多大，B相对车滑动后，A相对B一直静止，故A正确;若μ1>μ2，整体相对静止的最大加速度为am＝＝μ2g，则最大拉力为Fm＝(m＋3m＋5m)am＝9μ2mg，当F＝9μ2mg时，B与车之间开始相对滑动，故B错误;若μ1<μ2，逐渐增大F，A相对于B比B相对于车先滑动，故C正确;若μ1<μ2，A、B与车都相对静止，系统的最大加速度为am'＝＝μ1g，则最大拉力为Fm'＝(m＋3m＋5m)am'＝9μ1mg，故D错误。 8 (2024·湖北武汉模拟)质量为m的物块放置在水平地面上，其与地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g。现对其施加一大小为mg的外力，则物块运动的加速度最大为(　　) A.g B.g C.g D.g 答案　B 解析　对物块受力分析，设外力与水平方向成θ角，如图所示，由牛顿第二定律Fcos θ－μ(mg－Fsin θ)＝ma，化简可得Fsin(θ＋φ)－μmg＝ma，其中F＝mg，μ＝，tan φ＝，当sin(θ＋φ)＝1时，物块运动的加速度最大，为am＝g，故B正确。 9 .如图所示，一足够长的木板上表面与木块之间的动摩擦因数μ＝0.75，木板与水平面成θ角，让木块从木板的底端以初速度v0＝2 m/s沿木板向上滑行，随着θ的改变，木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g＝10 m/s2，x的最小值为(　　) A.0.12 m B.0.14 m C.0.16 m D.0.2 m 答案　C 解析　设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，当木板与水平面成θ角时，由牛顿第二定律得－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，解得a＝－g(sin θ＋μcos θ)，设木块的位移为x，有0－＝2ax，根据数学关系知sin θ＋μcos θ＝sin (θ＋α)，其中tan α＝μ＝0.75，可得α＝37°，当θ＋α＝90°时，加速度有最大值，为am＝－g＝－g，此时x有最小值，为xmin＝＝0.16 m，故A、B、D错误，C正确。 10 （2025·广西玉林模拟）如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一根竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一个质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g取10 m/s2。以下结论正确的是（　　） A.变力F的最小值为2 N B.变力F的最小值为6 N C.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s 答案：BC 解析：A、B整体受力产生加速度，则有F＋FNAB－（mA＋mB）g＝（mA＋mB）a，可得F＝（mA＋mB）a＋（mA＋mB）g－FNAB，当FNAB最大时，F最小，即刚开始施力时，FNAB最大且等于A和B的重力之和，则变力Fmin＝（mA＋mB）a＝6 N，A错误，B正确；刚开始，弹簧的压缩量为x1＝＝0.05 m，A、B分离时，其间恰好无作用力，对托盘B，由牛顿第二定律可知kx2－mBg＝mBa，得x2＝0.04 m，物块A在这一过程的位移为Δx＝x1－x2＝0.01 m，由运动学公式可知v2＝2aΔx，代入数据得v＝0.2 m/s，C正确，D错误。 11. (2025·湖南长沙雅礼中学月考)水平面上放置一质量为m的滑块A，上方有圆形凹槽，质量为2m的圆柱B恰好能放置在凹槽中，其截面图如图所示，圆心与二者接触的左端点连线跟竖直方向夹角θ＝30°。一质量为M的物体C通过跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳与A相连，细绳伸直后由静止释放C，不计一切摩擦，A离定滑轮足够远，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若A、B能保持相对静止，则细绳的张力大小为 B.若A、B能保持相对静止，则A对B的作用力大小为2mg C.当M＝(＋1)m时，B恰要从凹槽中滚出 D.若θ＝45°，则只要M足够大，B一定可以从凹槽中滚出 答案　AB 解析　若A、B相对静止，对系统由牛顿第二定律得Mg＝(m＋2m＋M)a，则加速度大小为a＝，对A、B受力分析，有FT＝3ma，解得FT＝;再对B受力分析，有＝(2ma)2＋(2mg)2，所以FAB＝2mg，故A、B正确;小球滚出凹槽的临界条件为小球受到槽的支持力FAB沿着圆心与二者接触的左端点连线方向，得FABsin θ＝2ma1，FABcos θ＝2mg，临界加速度大小为a1＝g，对A、B整体有a1＝，解得M＝m，故C错误;若θ＝45°，由FABsin θ＝2ma2和FABcos θ＝2mg，解得临界加速度大小a2＝g，由于<g，所以无论M为多大，B都不能滚出凹槽，故D错误。 12．（2026河北实验中学质检）传感器是能感受规定的被测量，并将被测量按照一定的规律转换成可用信号的器件或装置。如图所示，质量的物块A静置于水平放置的力传感器（可显示A对力传感器的压力大小）上，一劲度系数的竖直轻质弹簧下端与A相连，上端与质量的物块B相连，B处于静止状态。取重力加速度大小，弹簧始终处于弹性限度内。 （1）若对B施加一竖直向上的拉力，使B缓慢上升，直至力传感器的示数为零，求此过程中B的位移大小； （2）若对B施加一竖直向上的拉力，使B竖直向上做加速度大小的匀加速直线运动，直至力传感器的示数为零，求此运动过程所用的时间以及拉力的最大值。 【解析】．（1）设施加拉力前，弹簧的压缩量为，根据胡克定律有 解得 设施加拉力后，当力传感器的示数为零时，弹簧的伸长量为，根据胡克定律有 解得 又 解得 （2）当力传感器的示数为零时，拉力最大，对B有 根据匀变速直线运动的规律有 解得， 13．（16分）（2026湖北荆州质检）如图甲所示，水平地面上有一质量为的木板M，木板的左端上放有一质量为的小物块（可视为质点），开始时两者均静止。现用一水平向左的拉力F作用在木板上，m、M的加速度随拉力F的变化关系如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，。求： （1）（4分）m、M之间的动摩擦因数μ1为多大？ （2）（4分）木板与水平地面之间的动摩擦因数μ2为多大？ （3）（8分）已知木板长，若对M施加水平向左的恒力，要使物块与木板能分离，则恒力F至少持续作用多长时间？ 【答案】．（1）0.3；（2）0.2；（3）2.5s 【解析】（1）由乙图可知，当时，m与M相对滑动，物块加速度 对m，根据牛顿第二定律有 解得： （2）当时，对m、M整体，根据牛顿第二定律有： 解得： （3）F撤前，对M，根据牛顿第二定律有： 解得： F撤后： 解得： 设F持续作用时间为t，此后经时间板块恰好分离,此时速度相同 解得： 又m滑离木板时，m的位移： M的位移： 由几何关系得： 联立解得： 14 （2025·陕西商洛模拟）水平地面上有一质量m1＝3 kg的长木板，木板的左端上表面有一质量m2＝2 kg的小物块，如图甲所示，水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图乙所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小，木板的加速度a1随时间t的变化关系如图丙所示。已知木板与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，物块与木板间的动摩擦因数为μ2＝0.8。假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度取g＝10 m/s2，物块始终未从木板上滑落，不计空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A.F1＝16 N B.F2＝20 N C.木板加速度所能达到的最大值为2.5 m/s2 D.在t1～t2时间段内物块做匀加速直线运动 答案：B 解析：木板与地面间的最大静摩擦力f1＝μ1（m1＋m2）g＝0.2×（3＋2）×10 N＝10 N，木板与物块间的最大静摩擦力f2＝μ2m2g＝0.8×2×10 N＝16 N，当拉力F逐渐增大到F1时，由图像可知木板开始运动，此时木板与地面间的静摩擦力达到最大值，根据平衡条件可知此时拉力大小为F1＝10 N，故A错误；当拉力达到F2时，木板相对物块发生相对滑动，根据牛顿第二定律，对木板，有f2－f1＝m1a，对物块，有F2－f2＝m2a，联立解得F2＝20 N，a＝2 m/s2，此时拉力大小为20 N，木板加速度所能达到的最大值为2 m/s2，故B正确，C错误；在t1～t2时间段内物块相对木板静止，物块所受拉力逐渐增大，物块运动的加速度在变大，不做匀加速直线运动，故D错误。 15.（2025·湖南岳阳一模）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，则（　　） A.系统静止时，a线所受的拉力大小为12 N B.系统静止时，b线所受的拉力大小为8 N C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D.当系统沿水平方向向右匀加速时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 答案 BC 解析：　小球受力分析如图所示。 系统静止时，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fa·cos 37°＝Fb，解得Fa＝10 N，Fb＝8 N，故A错误，B正确；当系统沿竖直方向向上匀加速运动时，当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fm·sin 37°－mg＝ma，水平方向有Fm·cos 37°＝Fb，解得Fb＝12 N＜15 N，此时加速度有最大值a＝5 m/s2，故C正确；系统沿水平方向向右匀加速运动时，由牛顿第二定律得，竖直方向有Fa·sin 37°＝mg，水平方向有Fb－Fa·cos 37°＝ma，解得Fa＝10 N，当Fb＝15 N时，加速度最大为a≈11.67 m/s2，故D错误。 16.（2025·湖南娄底二模）如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝6 kg，mB＝4 kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA，FB大小随时间变化的规律分别如图甲、乙所示，则（　　） A.t＝0时，A物体的加速度为2 m/s2 B.t＝1 s时，A、B开始分离 C.t＝0时，A、B之间的相互作用力为3 N D.A、B开始分离时的速度为3 m/s 答案 B 解析：　由FA-t与FB-t图像可得FA＝（8－2t）N，FB＝（2＋2t）N，则t＝0时，可知FA0＝8 N，FB0＝2 N，由于mA＞mB，所以二者不会分开，A、B两物体共同的加速度为a＝＝1 m/s2，设此时A、B之间的相互作用力为F，对B，根据牛顿第二定律可得F＋FB0＝mBa，解得F＝2 N，故A、C错误；当二者之间的相互作用力恰好为零时开始分离，此时的加速度相同，则有＝，即 m/s2＝ m/s2，解得t＝1 s，开始分离时的速度为v＝at＝1 m/s，故B正确，D错误。 17.（2025·山东烟台模拟）如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一幼儿用与水平面成30°角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力F＝6.5 N，玩具的质量m＝1 kg。经过时间t＝2.0 s，玩具移动的距离x＝2 m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下（取g＝10 m/s2）。求： （1）玩具与地面间的动摩擦因数； （2）松开手后，玩具还能滑行多远？ （3）幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面间的夹角为多大时最省力？ 答案：（1）　 （2）1.04 m　 （3）30° 解析：（1）玩具沿水平地面做初速度为0的匀加速直线运动，由位移公式有x＝at2 解得a＝ m/s2 对玩具受力分析，如图所示，则FN＝mg－Fsin 30° 由牛顿第二定律得Fcos 30°－μ（mg－Fsin 30°）＝ma 解得μ＝。 （2）松开手时，玩具的速度v＝at＝2 m/s 松开手后，由牛顿第二定律得μmg＝ma' 解得a'＝ m/s2 由匀变速直线运动的速度与位移公式可得 玩具的位移x'＝＝ m≈1.04 m。 （3）设拉力F与水平方向间的夹角为θ，玩具要在水平面上运动，则Fcos θ－Ff＞0 Ff＝μFN 在竖直方向上，由平衡条件得FN＋Fsin θ＝mg 联立解得F＞ cos θ＋μsin θ＝sin（60°＋θ） 则当θ＝30°时，拉力最小，最省力。 18.（2025·江苏扬州市期中）如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M＝8 kg，重物质量m＝2 kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2。 （1）要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？ （2）若木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，用F＝80 N的水平拉力将木箱由静止向左拉动位移x＝0.5 m时，求重物的速度大小v。 答案：（1）μ≥0.5　 （2） m/s 解析：（1）对重物受力分析，根据平衡条件可得FT＝mg＝20 N 对木箱受力分析，可得Ff＝2FT，又Ff＝μ'Mg 联立解得μ'＝0.5，要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足μ≥0.5。 （2）设木箱的加速度大小为a，则重物加速度大小为2a，对重物受力分析，根据牛顿第二定律可得FT－mg＝2ma 对木箱受力分析，有F－μMg－2FT＝Ma 联立解得a＝0.5 m/s2 当拉动木箱向左匀加速运动的位移为x＝0.5 m时，重物向上的位移为 h＝2x＝1 m，由v2＝2×2a·h 可得此时重物的速度大小为v＝ m/s。 19 如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g。 （1）求小木块与木板间的动摩擦因数； （2）当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小？求出此最小值。 答案：（1）　（2）60°　 解析：（1）当θ＝30°时，小木块处于平衡状态，对小木块受力分析，则有 mgsin θ＝μFN FN－mgcos θ＝0 联立解得μ＝tan θ＝tan 30°＝。 （2）当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，小木块的加速度为a，由牛顿第二定律得 －mgsin θ－μmgcos θ＝ma 由0－＝2ax得 x＝＝ 其中tan α＝μ，故α＝30° 当α＋θ＝90°时x最小，此时θ＝60° 所以x的最小值为 xmin＝＝。 20. （2025湖南大联考）如图所示，两个滑块A和B（均可看作质点）放在静止于水平地面上的木板C的中点，A、B、C的质量分别为、、。A、B与木板间的动摩擦因数均为，木板与地面间的动摩擦因数为。某时刻突然给A、B两滑块大小均为的初速度向左和向右滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，求： （1）木板相对地面的运动方向（要有推导过程）； （2）滑块B与木板相对静止时（A未滑离木板），木板的速度大小； （3）要使两滑块不滑离木板，木板的最小长度。 【答案】（1）木板向右运动 （2） （3）0.26m 【解析】 （1）以木板为对象，由于 且方向向右，所以木板向右运动。 （2）设A、B相对于地面的加速度大小分别是和，木板C相对于地面的加速度大小为，在物块B与木板达到共同速度前，由牛顿第二定律得 解得 ， 设在时刻，B与木板达到共同速度，大小为。由运动学公式有 ， 解得 ， （3）B与木板达到共同速度时，木板向右运动的位移 在B与木板达到共同速度后，B与木板的加速度大小为，对于B与木板组成的整体，由牛顿第二定律有 解得 由可知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为，但运动方向与木板相反；又因为，所以A减速为0时，B与木板速度还没减为0，则A又向右加速，设A与木板的速度相同时其大小为，A的速度大小从变到所用时间为，由运动学公式，对木板有 对A有 解得 ， 在时间内，木板（包括B）相对地面向右的位移为 在时间间隔内，A相对地面向左的位移为 A与木板（包括B）共速后就一起在地面摩擦力的作用下向右减速直到停止，则最终A与木板中点的距离为 则木板的最小长度为 21. （2025年4月河南名校联考） 如图所示为太空探索公司猎鹰火箭助推器回收画面。火箭发射时，助推器点火提供向上的推力，使火箭上升到40km高空时，速度达到1.2km/s，然后助推器脱落，并立即关闭发动机，在接近地面10km处重启发动机减速并使助推器的速度在着陆时为零。火箭助推器运动过程中所受地球引力可视为不变，等于地球表面时的重力，运动过程中，受到的阻力大小恒为助推器重力的0.2倍，助推器推力恒定不变。 （1）助推器能上升到距离地面的最大高度； （2）重启发动机前助推器的最大速度为多少； （3）重启发动机产生的推力是助推器重力的多少倍。 【参考答案】（1）；（2）；（3）8mg 【名师解析】 （1）火箭加速上升的高度，助推器脱落时的速度，助推器脱落后向上做减速运动，阻力，有 解得 助推器上升的最大高度为 （2）重启发动机前火箭下落过程 由牛顿运动定律 联立解得 （3）重启发动机后火箭下过程 由牛顿运动定律 所以 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027高考一轮复习100考点精练 第三章 运动和力的关系 考点3.8 动力学中临界极值问题 【考点精练】 1.（2026山西大学附中质检）下雨时，雨滴在均匀分布的空气中下落过程中受到的阻力可以表示为f=kρ，其中ρ表示空气密度，d表示雨滴直径，v表示雨滴下落的速率，k被称之为雷诺系数，其经验公式为k=+0.4，为流体的黏滞系数，根据以上信息判断下列说法正确的是（　　） A．雨滴下落过程中做加速度减小的加速运动，直到加速度减为0 B．雨滴下落过程中受到的阻力与雨滴速率的平方成正比 C．雷诺系数的单位为kg/（m·s2） D．黏滞系数的单位为kg/（m·s） 2. 在一些大城市，应用无人机投送外卖。利用悬停无人机将质量为m的外卖以恒定的拉力F由静止竖直向上提升高度h。已知外卖竖直向上运动时所受阻力与速度成正比，f=kv，下列说法正确的是 A. 外卖可能竖直向上做匀加速运动 B. 外卖竖直向上的最大速度为F/k C. 外卖由静止竖直向上提升高度h的时间为2kh/(F-mg) D. 外卖竖直向上运动速度增大到最大速度的1/2时的加速度为 3. （湘豫名校联考2025学年高三春季学期第二次模拟考试）如图，滑块P、Q的质量分别为mP=5kg，mQ=10kg。P与Q、Q与水平地面之间的动摩擦因数均为0.5。绳OA一端与P相连，另一端与竖直墙壁相连，绳刚好伸直，绳OA与水平方向夹角为θ，，重力加速度g=10m/s²。现通过力传感器水平作用于Q将它抽出。下列说法正确的是（　　） A. P受到的静摩擦力大小为15N B. 将Q抽出力传感器的最小读数为90N C. 当力传感器读数为100N时，Q的加速度大小为2m/s² D. Q对地面的摩擦力大小为75N 4. （2025年5月东北三省精准质检）实验台上有一个竖直放置的弹簧，其劲度系数为。其中物块B与弹簧紧密相连，物块A平稳置于物块B的上方。已知物块A的质量，物块B的质量，两物块初始时均处于静止状态。为了探究外力对物块系统运动的影响，研究人员通过一套精密的机械装置对物块A施加一个竖直向上、大小为的恒力。取，在这样的实验操作下，针对物块A和B后续的运动情况，下列说法正确的是（　　） A. 施加恒力瞬间，物块A对物块B的压力大小为 B. 分离前的过程，物块A的动量变化率变大 C. 物块A上升时两物块分离 D. 分离时物块A的速度大小为 5 (2024·福建泉州模拟)如图所示，在水平面上放置着两个靠在一起、横截面为梯形的物体P和Q，θ＝37°，P和Q质量之比为7∶2，所有接触面均光滑。若把大小为F1、方向向左的水平推力作用在P上，P和Q恰好相对静止;若把大小为F2、方向向右的水平推力作用在Q上，P和Q也恰好相对静止，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则为(　　) A. B. C.1 D.3 6 (2024·湖南娄底模拟)如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝6 kg，mB＝4 kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB大小随时间变化的规律分别如图甲、乙所示，则(　　) A.t＝0时，A物体的加速度为2 m/s2 B.t＝1 s时，A、B开始分离 C.t＝0时，A、B之间的相互作用力为3 N D.A、B开始分离时的速度为3 m/s 7 (2025·山西运城高三期末)马车是古代交通运输的主要工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物的示意图。木板A和B、B和车之间的接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为μ1，B与车之间的动摩擦因数为μ2，A的质量为m，B的质量为3m，车的质量为5m，地面对车的摩擦不计，马给车的水平拉力为F，A、B始终没有离开车的表面，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　) A.若μ1>μ2，不管F多大，A、B都不会发生相对滑动 B.若μ1>μ2，当F＝10μ2mg时，B与车之间开始相对滑动 C.若μ1<μ2，逐渐增大F，A相对于B先滑动 D.若μ1<μ2，A、B与车都相对静止，F的最大值为8μ1mg 8 (2024·湖北武汉模拟)质量为m的物块放置在水平地面上，其与地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g。现对其施加一大小为mg的外力，则物块运动的加速度最大为(　　) A.g B.g C.g D.g 9 .如图所示，一足够长的木板上表面与木块之间的动摩擦因数μ＝0.75，木板与水平面成θ角，让木块从木板的底端以初速度v0＝2 m/s沿木板向上滑行，随着θ的改变，木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g＝10 m/s2，x的最小值为(　　) A.0.12 m B.0.14 m C.0.16 m D.0.2 m 10 （2025·广西玉林模拟）如图所示，质量mB＝2 kg的水平托盘B与一根竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一个质量mA＝1 kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，g取10 m/s2。以下结论正确的是（　　） A.变力F的最小值为2 N B.变力F的最小值为6 N C.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为0.2 m/s D.小物块A与托盘B分离瞬间的速度为 m/s 11. (2025·湖南长沙雅礼中学月考)水平面上放置一质量为m的滑块A，上方有圆形凹槽，质量为2m的圆柱B恰好能放置在凹槽中，其截面图如图所示，圆心与二者接触的左端点连线跟竖直方向夹角θ＝30°。一质量为M的物体C通过跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳与A相连，细绳伸直后由静止释放C，不计一切摩擦，A离定滑轮足够远，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若A、B能保持相对静止，则细绳的张力大小为 B.若A、B能保持相对静止，则A对B的作用力大小为2mg C.当M＝(＋1)m时，B恰要从凹槽中滚出 D.若θ＝45°，则只要M足够大，B一定可以从凹槽中滚出 12．（2026河北实验中学质检）传感器是能感受规定的被测量，并将被测量按照一定的规律转换成可用信号的器件或装置。如图所示，质量的物块A静置于水平放置的力传感器（可显示A对力传感器的压力大小）上，一劲度系数的竖直轻质弹簧下端与A相连，上端与质量的物块B相连，B处于静止状态。取重力加速度大小，弹簧始终处于弹性限度内。 （1）若对B施加一竖直向上的拉力，使B缓慢上升，直至力传感器的示数为零，求此过程中B的位移大小； （2）若对B施加一竖直向上的拉力，使B竖直向上做加速度大小的匀加速直线运动，直至力传感器的示数为零，求此运动过程所用的时间以及拉力的最大值。 13．（16分）（2026湖北荆州质检）如图甲所示，水平地面上有一质量为的木板M，木板的左端上放有一质量为的小物块（可视为质点），开始时两者均静止。现用一水平向左的拉力F作用在木板上，m、M的加速度随拉力F的变化关系如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，。求： （1）（4分）m、M之间的动摩擦因数μ1为多大？ （2）（4分）木板与水平地面之间的动摩擦因数μ2为多大？ （3）（8分）已知木板长，若对M施加水平向左的恒力，要使物块与木板能分离，则恒力F至少持续作用多长时间？ 14 （2025·陕西商洛模拟）水平地面上有一质量m1＝3 kg的长木板，木板的左端上表面有一质量m2＝2 kg的小物块，如图甲所示，水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图乙所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小，木板的加速度a1随时间t的变化关系如图丙所示。已知木板与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，物块与木板间的动摩擦因数为μ2＝0.8。假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度取g＝10 m/s2，物块始终未从木板上滑落，不计空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A.F1＝16 N B.F2＝20 N C.木板加速度所能达到的最大值为2.5 m/s2 D.在t1～t2时间段内物块做匀加速直线运动 15.（2025·湖南岳阳一模）如图所示，矩形盒内用两根不可伸长的轻线固定一个质量为m＝0.6 kg的匀质小球，a线与水平方向成37°角，b线水平。两根轻线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，则（　　） A.系统静止时，a线所受的拉力大小为12 N B.系统静止时，b线所受的拉力大小为8 N C.当系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为5 m/s2 D.当系统沿水平方向向右匀加速时，为保证轻线不被拉断，加速度最大为10 m/s2 16.（2025·湖南娄底二模）如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA＝6 kg，mB＝4 kg，从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA，FB大小随时间变化的规律分别如图甲、乙所示，则（　　） A.t＝0时，A物体的加速度为2 m/s2 B.t＝1 s时，A、B开始分离 C.t＝0时，A、B之间的相互作用力为3 N D.A、B开始分离时的速度为3 m/s 17.（2025·山东烟台模拟）如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一幼儿用与水平面成30°角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力F＝6.5 N，玩具的质量m＝1 kg。经过时间t＝2.0 s，玩具移动的距离x＝2 m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下（取g＝10 m/s2）。求： （1）玩具与地面间的动摩擦因数； （2）松开手后，玩具还能滑行多远？ （3）幼儿要拉动玩具，拉力F与水平面间的夹角为多大时最省力？ 18.（2025·江苏扬州市期中）如图所示，用足够长的轻质细绳绕过两个光滑轻质滑轮将木箱与重物连接，木箱质量M＝8 kg，重物质量m＝2 kg，木箱与地面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2。 （1）要使装置能静止，木箱与地面间的动摩擦因数需满足什么条件？ （2）若木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，用F＝80 N的水平拉力将木箱由静止向左拉动位移x＝0.5 m时，求重物的速度大小v。 19 如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g。 （1）求小木块与木板间的动摩擦因数； （2）当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小？求出此最小值。 20. （2025湖南大联考）如图所示，两个滑块A和B（均可看作质点）放在静止于水平地面上的木板C的中点，A、B、C的质量分别为、、。A、B与木板间的动摩擦因数均为，木板与地面间的动摩擦因数为。某时刻突然给A、B两滑块大小均为的初速度向左和向右滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，求： （1）木板相对地面的运动方向（要有推导过程）； （2）滑块B与木板相对静止时（A未滑离木板），木板的速度大小； （3）要使两滑块不滑离木板，木板的最小长度。 21. （2025年4月河南名校联考） 如图所示为太空探索公司猎鹰火箭助推器回收画面。火箭发射时，助推器点火提供向上的推力，使火箭上升到40km高空时，速度达到1.2km/s，然后助推器脱落，并立即关闭发动机，在接近地面10km处重启发动机减速并使助推器的速度在着陆时为零。火箭助推器运动过程中所受地球引力可视为不变，等于地球表面时的重力，运动过程中，受到的阻力大小恒为助推器重力的0.2倍，助推器推力恒定不变。 （1）助推器能上升到距离地面的最大高度； （2）重启发动机前助推器的最大速度为多少； （3）重启发动机产生的推力是助推器重力的多少倍。 学科网（北京）股份有限公司 $