河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试题

**基本信息** 2026年高一年级春期期中数学试卷聚焦三角函数、向量、解三角形等核心内容，通过索菲亚教堂高度估算、养殖区面积规划等情境题，考查用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的能力，层次清晰。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、扇形弧度数、向量运算|基础巩固，如终边相同角转化考查抽象能力| |多选题|3/18|三角函数图像、向量夹角、解三角形|能力提升，如向量夹角与投影结合考查推理意识| |填空题|3/15|向量夹角、函数定义域、四边形面积|细节考查，如向量夹角为锐角的条件考查严谨性| |解答题|5/77|三角函数性质、向量数量积、解三角形应用、函数零点、面积最值|创新应用，如养殖区面积问题结合数学建模与运算能力，体现应用意识|

2026年高一年级春期期中质量评估 数学试题 一、单选题（每小题５分，共４０分） 1．与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 2．已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为（    ） A．2 B．2或 C．4 D．4或2 3．在平行四边形ABCD中，，，则（    ）． A． B． C． D． 4．在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，是将绕起点逆时针旋转角90°后得到的向量，且，则（    ）． A． B． C．3 D． 6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．在矩形ABCD中，，，，点P为矩形ABCD所在平面内任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题６分，共１８分） 9．如图是函数的部分图像，则（    ） A． B． C． D． 10．已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 11．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 三、填空题（每小题５分，共１５分） 12．已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为______. 13．函数的定义域为________. 14．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 四、解答题（共５小题，共７７分） 15．（１３分）已知角的终边经过点，且． (1)求t和的值； (2)求的值． 16．（１５分）已知平面向量满足，且． (1)求与的夹角； (2)若向量，且，求及． 17．（１５分）在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点． (1)设，，试用，表示； (2)若，求； (3)若，，求的最小值． 18．（１７分）已知函数，且函数的最小正周期为. (1)求函数的解析式及其对称轴； (2)若函数在区间上恰有个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 19．（１７分）如图，某水域的两条直线型岸边，交于点，点在上，且千米，某渔民准备经过点安装一直线型隔离网（在上），围出养殖区，是线段的中点，且千米.设千米，千米. (1)当时，求的值. (2)将表示成的函数. (3)该渔民至多可以围出多少平方千米的养殖区？并求出此时隔离网的长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 1．B 【分析】先把化成弧度制，再写成，的形式， 确定选项. 【详解】因为. 所以与角终边相同的最小正角是. 故选：B 2．A 【分析】利用扇形弧长、面积与半径、圆心角的数量关系列方程组，求解即得. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为弧度， 依题意有，，解得，故圆心角弧度. 故选：A. 3．A 【分析】根据题意结合向量加减法的运算法则求解即可. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 则，， 所以. 4．C 【分析】由三角形有两个解可得，代入值求解即可. 【详解】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 5．D 【详解】依题意，，由，得， 因此，即，所以. 6．C 【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD． 【详解】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 7．B 【分析】以为整体，结合正弦函数的单调性和对称性列式求解即可. 【详解】由题意可知：， 若，则， 因为函数在区间上单调递增，则，解得， 若，则， 因为函数在区间上存在唯一1条对称轴，则，解得， 综上所述：的取值范围是. 8．A 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算化简后配方可得最小值. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    设，则，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以当，时，取得最小值，且最小值为. 故选：A 9．BC 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，，则， 不妨令，当时，， ，解得：， 即函数的解析式为：，故A错误； 又，故B正确； 又，故C正确； 而，故D错误； 故选：BC. 10．BCD 【分析】由向量模长公式及已知条件求出，从而判断A选项；由向量数量积求得向量夹角的余弦值，判断B选项；由向量的数量积为0判断两个向量垂直，判断C选项；利用投影向量的公式，代入对应值即可判断D选项. 【详解】∵，∴，即， ，∴，∴A选项错误； ，B选项正确； ，∴，C选项正确； 在上的投影向量：，D选项正确. 故选：BCD. 11．AC 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 12． 【分析】根据与的夹角为锐角，由，且与不共线求解. 【详解】因为平面向量，，且与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 所以，且， 解得，且， 所以实数x的取值范围为， 故答案为： 13．, 【分析】根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】解：要使函数有意义， 需且， 故且，解得：， 故函数的定义域是,． 故答案为：,. 14．15 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义解得，进而可求的值； （2）根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点，且， 则，且，解得， 即，所以. （2）由题意可得：. 16．(1) (2)，． 【分析】（1）根据向量数量积运算律运算即可求解； （2）由化简计算得，再根据向量模长计算公式计算即可得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以． （2）因为， 所以， 解得， 所以， 因为， 所以． 17．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）应用向量的运算结合条件即得； （2）应用数量积公式及夹角公式计算求解； （3）应用平面向量基本定理得出，再应用基本不等式计算求解最小值. 【详解】（1）延长，与交于点，则为的中点， 所以． （2）因为，， 所以，． ， ， ． （3）因为，，三点共线，所以设， 由（1）可知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 18．(1)；，； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）先将三角函数变形，再解方程求出，最后求出对称轴； （2）将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，求出参数的范围，从而推导出三个零点之间的数量关系，最后求值. 【详解】（1） ， 因为，，所以，故， 令，，解得，， 所以的对称轴为，； （2）（i）由（1）得：， 当时，， 设，则， 在区间上恰有个零点等价于，与恰有个不同的交点； 画出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与恰有个不同的交点， 所以实数的取值范围为； （ii）设与的个不同的交点分别为， 则，， 所以， 即， 整理得，， 所以 . 19．(1) (2) (3)8平方千米，千米 【分析】（1）在中，由余弦定理确定，再通过，结合余弦定理即可求解；也可以通过， ，在和通过余弦定理即可求解； （2）分别通过，，结合余弦定理联立化简即可求解；法2：通过，得到，结合余弦定理代入即可求解； （3）由三角形面积公式得到，再结合二次函数性质即可求解.法2，通过平方得到，再通过三角形面积公式得到，进而可求解. 【详解】（1）法1：，即. 因为是线段的中点，所以. 在中，由余弦定理可得， 即，解得. 在中，由余弦定理可得， 则，即的值是. 法2：在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 则， 故，即的值是. （2）法1：在中，由余弦定理可得， 则，即①. 在中，由余弦定理可得， 则，即②. 由①②，得，则， 因为,故,故. 法2：在中，由余弦定理可得， 则， 同理可得， 因为， 所以， 所以， 即，，同法1，其中, 故. （3）法1：在中，，     的面积         ，         由（2）知，则， 当时，取得最大值64，即，     此时千米. 法2：因为是线段的中点， 所以， 所以， 即， 则， 故， 的面积， 所以， 当时，即时，（舍去）， ，则，即该渔民至多可以围出8平方千米的养殖区， 此时， 则， 故千米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $