第八章《实数》培优训练2025-2026学年人教版数学七年级下册

2026年春七年级下册数学第八章《实数》培优训练（新人教版） 时间：60分钟，总分：100分 班级____________姓名____________学号____________得分____________ 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个 选项中，有且只有一个是正确的） 1．对于实数a，b，定义运算：， 如：，照此定义的运算方式计算的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．在实数、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．有下列命题：①无理数是无限小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤实数与数轴上的点一一对应．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各数中最大的数是（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，实数，在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是(    )    A． B． C． D． 6．在中，无理数个数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．5和 B．和 C．和 D．－5和 8．以下说法错误的是（    ） A．的平方根是 B．的整数部分是3 C． D．的绝对值是 9．设四位数满足，则这样的四位数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．下列各数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．关于的叙述，错误的是（   ） A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是 C．在3和4之间 D．在数轴上可以找到表示的点 12．对于任意整数，，定义且，均为正数，若，则下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13．已知 的算术平方根是，则的立方根是_________． 14．实数a、b在数轴上的位置如图所示，若无理数c满足，则c的值可以是______（填一个即可）    15．已知实数x，y满足，那么___________． 16．设为实数，我们用表示不小于的最小整数，如：，．我们可以得出．那么满足的的取值是___________． 三、解答题（共52分） 17．用计算器求下列各式的值（精确到）； (1)； (2)； (3)； (4)． 18．求下列x的值． (1) (2) 19．下面是小李同学探索的近似数的过程： 面积为107的正方形边长是，且， 设，其中，画出如图示意图，   图中，， ， 当较小时，省略，得，得到，即． (1)的整数部分是　　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 20．某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上． (1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示． (2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小． 21．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽； (2)在此长方形内沿着裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 22．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 23．已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年春七年级下册数学第八章《实数》培优训练（新人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D A C B A C B 题号 11 12 答案 A C 1．B 【分析】根据定义的运算方式进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了实数新定义运算，读懂题意，正确计算是解题的关键． 2．B 【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的最简式子，特殊结构的数（如：），即可求解． 【详解】解：， ∴无理数有，，共两个， 故选：． 【点睛】本题主要考查无理数的识别，实数的分类，掌握无理数的概念是解题的关键． 3．B 【分析】根据无理数的定义，平方根和立方根的性质，平行公理，平行线的性质，实数与数轴，逐一进行判断即可． 【详解】解：无理数是无限小数，故①说法正确； 平方根与立方根相等的数有0，故②说法错误； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③错误； 两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等；故④错误； 实数与数轴上的点一一对应；故⑤正确； 故选B． 【点睛】本题考查无理数，平方根和立方根的性质，平行公理，平行线的性质，实数与数轴，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 4．D 【分析】根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的方法是解题的关键． 5．A 【分析】根据数轴判断出a、b的取值范围，再根据有理数的乘除法，加减法运算以及绝对值的意义，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：由题意可知，，且， A、，故该选项正确，符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意；． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的乘除运算以及有理数的加减运算，判断出、的取值范围是解题的关键． 6．C 【分析】由题意依据无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数进行分析解答即可． 【详解】∵， ∴是无理数， 故选：C． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：含的数；开方开不尽的数；以及像，这样规律的数（注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数）． 7．B 【分析】本题考查相反数的定义，掌握互为相反数的两个数符号相反、绝对值相等是解题的关键，通过计算每组数的值，判断是否互为相反数，即和为零． 【详解】解：A、，5与不互为相反数； B、，，∴与互为相反数； C、，与相等，不互为相反数； D、与不互为相反数． 故选：B． 8．A 【分析】此题考查了无理数的估算、实数的性质、立方根和平方根等知识．利用相关法则计算后进行判断即可． 【详解】A. ，的平方根是，故选项错误，符合题意； B. ∵，∴，∴的整数部分是3，故选项正确，不符合题意； C. ∵，∴，故选项正确，不符合题意； D. ∵，∴，则，∴的绝对值是，故选项正确，不符合题意； 故选：A 9．C 【分析】此题考查了数字的表示方法与有关性质．首先根据题意确定a，b，c，d的取值范围，再分类讨论求解即可． 【详解】解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数， ∵， ∴可得是两位数， ∴a，b，c，d均为小于5的自然数， ∴如果，，则，，此时这个四位数为2010， 如果，，则，，此时这个四位数为2011， 如果，，则，，此时这个四位数为1112， 如果，找不到符合要求的数， 如果，，则，，此时这个四位数为1130， 如果，，则，，此时这个四位数为1131， 如果，则，不符合题意， 故此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查的是无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，解答此题时要注意是无理数．整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可得出答案． 【详解】解：在实数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数有，（每两个“2”之间依次多一个“1”，共2个． 故选：B． 11．A 【分析】此题考查了无理数、算术平方根、无理数的估算、实数与数轴等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】A. ，是无理数，故选项错误，符合题意； B. 面积为12的正方形的边长是，故选项正确，不符合题意； C. 由得到，故选项正确，不符合题意；     D. 在数轴上可以找到表示的点，故选项正确，不符合题意； 故选：A 12．C 【分析】本题考查了实数的新定义运算及数列运算，解决本题的关键是熟练掌握新定义：，根据新定义对各项进行一一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； 由题意得：， ， ， 故②正确； 由②得 ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 故④错误； 所以正确的有3个， 故选：C 13．4 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，根据算术平方根，立方根的计算法则求解即可． 【详解】解：已知 的算术平方根是， ∴， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：4 ． 14．（答案不唯一） 【分析】根据结合数轴判断，即可得到c的值． 【详解】解：由数轴可得，， 又，c为无理数即无限不循环小数， 可得c的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据数轴判断实数之间的大小，解题的关键是掌握无理数的概念． 15．3 【分析】本题主要考查非负数的性质和算术平方根，根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，且， 且， ． 16．或 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，由新定义得，求出的取值范围，由是整数，即可求解；理解新定义，能根据题意得出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ， 是整数， 或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 故答案为：或． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】在计算器中输入对应的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，正确在计算器中输入是解题的关键． 18．(1)或； (2) 【分析】本题考查平方根与立方根的应用，掌握平方根、立方根的定义是解题关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）整理后，根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得，即， 所以或； （2）解：， 整理得， 解得． 19．(1)8 (2)，画出示意图，标明数据，写出求解过程见解析 【分析】（1）估算无理数的大小即可； （2）根据题目中所提供的解法进行计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为8， 故答案为：8； （2）解：面积为76的正方形边长是，且， 设，其中，如图所示，   ，图中， ， 当较小时，省略，得，得到，即． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提． 20．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查用数轴上的点表示无理数，无理数的比较大小； （1）根据题意作出即可； （2）以为圆心，为半径作弧，则可表示，然后以原点为圆心，为半径作弧表示，然后利用数轴上右边的数大于左边的数解题即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， ∵在数轴右边的数总比左边的数大， ∴． 21．(1)长为，宽为 (2) 【分析】（1）按比例设元，利用面积公式列方程求出长和宽； （2）由圆面积求出其直径，然后用除以直径，利用去尾法取整得到最多裁剪个数． 【详解】（1）解：长方形长和宽的比为， 设长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， ，即， 解得， 则长方形的长为，宽为． （2）解：设该圆的半径为， 圆的面积为， ，即， 解得， ∴圆的半径为，则直径为， ， 沿裁剪圆，可得， ， 故沿最多可以这样裁剪个圆． 22．(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 23．(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数求，通过估算求； （2）求出，再代入求值计算即可． 【详解】（1）解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； （2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， 平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，以及平方根的性质，解题的关键是 一个正数的平方根互为相反数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $