2026年九年级中考数学复习专题2 直角三角形的存在性

专题1《直角三角形的存在性》专题 策略点破 作者 淮安市东方双语学校 梁爱波 以线段AB为边的直角三角形构造方法如下图所示： 直角三角形的另一个 顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）． 这就是两线一圆法，直线时最多有一个点，圆时可能有两点。 解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有： （1）【几何法：两线一圆定直角】：先分类讨论直角，画出直角三角形，遇90°悬空构造K型相似（一线三直角），利用相似或者三角进行计算．如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB，或 tan∠CBF=tan∠ACE或正余弦．从而得到线段间的关系式解决问题． （2）【代数法：点线式三步杀】先竖向写出点坐标，利用两点间的距离公式：罗列出三边长或表达式，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！ 解一题 例1： 如图1-1，直线点经过A(1, 0)、B(0, 3)、C(3, 0)三点的抛物线y＝ax2+bx+c，抛物线的对称轴上是否存在一点F，使△ABF是直角三角形？若存在，求出F点的坐标，若不存在，请说明理由． 【几何法:两线一圆确定直角】 分析：分别过点A、B作AB的垂线，遇90°∠A、∠B悬空,过直角顶点横平竖直构造K型相似或三角如图1-2，得△F1GB∽△BOA，△BOA∽△AHF2，可得F1、F2。以AB为直径画圆交对称轴于点F3、F4。同样方法构造K型相似（一线三直角）或三角如图1-3、1-4。 解：将A(1, 0)、B(0, 3)、C(3, 0)三点代入抛物线y＝ax2+bx+c，解得：y=x2-4x+3.∴对称轴为直线x=2,设F（2，t）, ①当∠FBA=90°时，作F1B⊥AB交对称轴于点F1，过F1作F1G⊥y轴于点G，如图1-2，∵∠F1GB=∠BOA=90°，∠F1BA=90°，∴∠F1BG+∠BF1G=90°，∠F1GB+∠ABO=90°，∴∠BF1G=∠ABO，∴△F1GB∽△BOA，所以,即，解得t1= ②当∠FAB=90°时，同理可证△BOA∽△AHF2，,即，解得t2=. ③当∠AFB=90°时，以AB为直径画圆交对称轴于点F3、F4。如图1-3、1-4所示，同理可证△BEF∽△FHA，,即，解得t3=1，t4=2. 综上所述F的坐标为F1（2，）、F2（2，）、F3（2，1）、F4（2，2）. 由于相似可以得出比，又在直角三角形中，因此可用等角的三角函数tan值来建立等量关系式，与相似有异曲同工之妙，类比等腰三角形存在性中提到的“三角法”，用tan值可以简化解题过程，实际上等腰三角形存在问题中的某种情况可以转化为直角三角形的存在性问题来求解，虽然模型不同但是都可以利用相似或三角函数建立等量比值求解。 【代数法:点线式三步杀】 点 A(1, 0)、B(0, 3)、F（2，t） 线 两点间距离公式。 式 分三类建立等量关系式,将线段表达式代入方程可得：F1（，0）、F2（，0）、F3（1，0）、F4（2，0） 代数盲解法又叫暴力求解，思路上很简单比较容易理解，利用的勾股定理是同学们在初一所学，学生更易选择。勾股定理作为初中数学的灵魂，的确令人爱不释手. 【解析法:两直线垂直】 易得直线AB：，可得KBF1=，设直线BF1：，将直角顶点B(0,3) 代入可得同理求得F2，对于F3、F4为顶点的情况不建议用此解法，毕竟本知识初中课本上未提及，学霸们作为杀招收入工具箱，作为备用工具。 小结：例1给大家讲解的是动点在已知对称轴上，难度相对较低，在中考题中常常将动点放在二次函数上以增加计算量来提高难度，下面我们来看一道动点在二次函数上的： 例2（原创）：如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与y轴交于点C（0，2），与x轴交于点A（－1，0）和点B（4，0） （1）求抛物线表达式；（2）说明△ACB是直角三角形； （3）在抛物线上有一个动点P，能否存在这样的点P，使△CBP是直角三角形，如果不存在请说明理由，如果存在请求出P点坐标； （2）直角三角形的存在性问题在例1中讲解的方法其实是假设法，就是默认它是直角三角形，然后借助相关知识解决问题，而本小问是让我们证明这个是直角三角形，实际上可以反其道而行之，对各种方法进行你运用： 【法1勾股逆定理】根据A（－1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点可得出三边长的平方：AC2=5，BC2=20，AB2=25,∴AC2 +BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形； 【法2相似逆K型】如图2-1过点C构造“K”型相似∵,∠AMC=∠CNB，∴△AMC∽△CNB,∴∠ACM=∠CBN，∵∠BCN+∠CBN=90°,∴∠BCN+∠ACM=90°，∴∠ACB=90°；或者向内构字母型相似：如图2-2，∵,∠AOC=∠COB，∴△AOC∽△COB,∴∠ACO=∠CBO，∴∠ACB=∠CBO+∠BCO=90°； 此处也可以借助三角函数值相等直接得到锐角相等，再通过等量代换得到∠ACB=90°，直角三角形相似和三角函数彼此傻傻分不清，我中有你，你中有我。 【法3解析逆k法】根据A（－1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点可求得直线AC：y=2x+2、直线BC：y=，∴,∴AC⊥BC,∴△ACB是直角三角形。 同样此种结论初中教材上没有，慎用，最后一招，但对选填或直接写答案的题目用此法可秒杀。以上三种方法总体来说难度都不大，同学们根据自己的解题习惯，可自由选择。 （3）分析：第3小题这里实际上是对第2小题的延伸，第2小题是对第3小题的铺垫，尤其是点A的坐标非常明显，我们可直接由2得到P1（-1 , 0），这是显性直角。但更多的时候需要分类讨论。根据“两线一圆定直角”，作出如图2-3/2-4/2-5，由于动点P在二次函数上，要设立含参型的二次点坐标，设P（t,）. 【几何法:两线一圆确定直角】 如图2-4，易得R t△CEB∽R t△BFP2,所以,或tan∠CBE=tan∠BP2F,即，解得t=-5或t=4,∴P2(-5,-15); 如图2-5，易得R t△CMP∽R t△PNB,,或tan∠CP3M=tan∠P3BN, 出现了四次方，不易求解怎么办？暂且先放，继续下文 【解析法:两直线垂直】对于图2-5： 用（高中知识,仅作研究）可得： 又双叒叕出现了四次方！那到底该如何求解？来回忆一下我们知道二次函数有一般式、顶点式、其实还有书本上未提及的交点式： 就是把二次三项式用十字相乘法因式分解如下： ，化简得：，解得t1=t2=1,∴,同样的方法可以求解上述等量关系式。 反思：此我们下次再遇到四次方的类似问题时，要想到用因式分解法先化简，然后再进行计算，从而可以顺利求解，方法是重要的，但掌握方法的方法更重要. 【代数法:点线式三步杀】 点：B（4，0）、C（0，2）、P（t,） 线：. 式： 再次出现四次方，而且还有三次方，三项式的平方，项数多，计算特别大，不易求解。因此对于动点在二次函数上的题目不建议使用勾股定理死算，这样会把自己玩进去.因此对于该类型的题目不适合代数盲解法，否则真的太暴力了，喜欢暴力的人往往会把自己暴进去，还是要以巧取胜。因此，我们要根据题型选择适合的解法，事半功倍。 ( 直角三角形存在问题处理策路 几何法： （1）两线一圆作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例 或三角函数 求线段，必要时可设未知数． 代数法： 表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论 ① AB ² +AC ² =BC ² 、 ② AB ² +BC ² =AC ² 、 ③ AC ² +BC ² =AB ² ； （4）代入列方程，求解． 解析法： ) 会一类 1.如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 通一片 2.如图，一次函数y＝－2x＋10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴．y轴于点E，F．若点A的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P．使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标． 参考答案 1.解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）． 所以抛物线表达式可变为y＝a（x－3）（x＋1）＝ax2－2ax－3a 由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1 所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3． （2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N． 若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM≌△BPN． 所以PM＝BN． 设点P的坐标为（m，H，－m2＋2m＋3）．则PM＝|m＋3|，BN＝|－m2＋2m＋3|，所以|m＋3|＝|－m2＋2m＋3|．解得m1＝0，m2＝1，m3＝，m4＝ 所以点P的坐标为（0，3），（1，4），（，），（，） 2. 解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k＝8， 所以反比例函数为y＝， 联立方程纽组 ， 解得， 所以点B的坐标为（1，8）． 由题意可得点E．F的坐标分剐为（5，0），（0，10）， 以AB为直角迎的直角三角形有两种情况： 如图1，当∠PAB＝90°时， 连结OA，则OA＝＝． 而AE＝＝，OE＝5，所以OA2＋AE2＝OE2， 即OA⊥AB．所以A，O，P三点共线． 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y＝x． 联立方程组 解得， 所以点P的坐标为（－4，－2）． ②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G． 易证△FBC∽△FOE，所以， 而FO＝10．FE＝，FB＝＝ 可求得FG＝，所以点G的坐标为（0，）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式为y＝x＋， 联立方程组 解得 所以点P的坐标为（－16，－）； 综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－）． 3.解 由题意可得点A（－1，0），P（2，－5），B（5，0）． 设点D的坐标为（m，0），则点Q的坐标为（2m－2，5），E的坐标为（2m－5，0）， 所以PQ2＝（2m－4）2 ＋102，PE2＝（2m－7）2＋52，EQ2＝32＋52＝34． △PQE为直角三角形有三种情况： ①当∠PQE＝ 90°时，有PE2＝PQ2＋ EQ2， 即（2m－7）2＋52＝（2m－4）2＋102＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）； ②当∠QEP＝90°时，有PQ2＝PE2 ＋EQ2， 即（2m－4）2＋102＝（2m－7）2＋52＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）； ③当∠QPE＝ 90°时，有EQ2＝PE2 ＋ PQ2， 即（2m－7）2＋52＋（2m－4）2＋102＝34，方程无解，所以此种情况不成立， 综上可得，当△PQE为直角三角形时，顶点Q的坐标为（－，5）或（－，5）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $