4.6 反证法讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

4.6 反证法 讲义 基础知识梳理 1. 反证法定义 反证法是一种间接证明方法。 先假设命题的结论不成立，经过逻辑推理得出矛盾，从而说明假设错误，原命题成立。 2. 反证法的核心逻辑 否定结论 → 推出矛盾 → 肯定结论 3. 反证法的三个步骤（必考） ①反设 假设命题的结论不成立（即结论的反面成立）。 ②归谬 从假设出发，经过推理，得出与已知、定义、公理、定理矛盾。 ③结论 因为推理正确，产生矛盾的原因是假设错误，所以原命题成立。 4. 常见否定用语（必须背会） 原结论词 否定词 是 不是 大于（＞） 不大于（≤） 小于（＜） 不小于（≥） 都是 不都是 至少有一个 一个都没有 至少有两个 至多有一个 都是锐角 不都是锐角 平行 不平行 相等 不相等 5. 反证法适用题型 ①结论以 \\“至少”“至多”“唯一”“不可能”\\ 出现 ②直接证明很难，但否定后容易推出矛盾 ③证明平行、垂直、线段相等、角相等不成立 技巧总结归纳（解题直接用） 1.否定结论要 “完全相反” 不要漏情况，如 “至少一个锐角”→否定为没有锐角。 2.找矛盾优先找这 4 类 ① 与已知条件矛盾 ② 与定义 / 公理矛盾 ③ 与定理矛盾 ④ 与反设自身矛盾 3.三角形内角和是最常用矛盾 4.“至少一个” 类题 否定为：一个都没有 5.“都是” 类题 否定为：不都是 6.“唯一” 类题 否定为：至少有两个 7.无理数证明 假设为分数 （ 互质），推出不互质矛盾。 典例精讲 题型一 反证法中的第一步——正确假设 典例 1用反证法证明 “直角三角形中至少有一个锐角不大于 ”，应假设（） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 【答案】A 【解析】“至少有一个不大于 ” 的反面是两个锐角都大于 。 【技巧点拨】“至少一个……”→否定为一个都没有。 变式 1-1用反证法证明 “在 中，，求证： 或 ”，第一步假设（） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】“ 或 ” 的否定是 且 。 变式 1-2 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设_____． 【答案】三角形的三个外角中至多有一个钝角 【详解】解：用反证法证明命题“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，应先假设三角形的三个外角中至多有一个钝角， 故答案为：三角形的三个外角中至多有一个钝角． 题型二 用反证法证明命题（基础） 典例 2反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【技巧点拨】三角形内角和 是反证法最强矛盾。 变式已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 题型三 反证法证明线段、角、垂直问题 典例 3当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理， 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果， 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确． (1)阅读正文并解答下列问题： 如图1，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若， 如图2，在内部作，交于点D． ∵， ∴； ∴， ∵ 即：， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立： ②若， ··· 综上，． 请你补充②中所缺失的部分 (2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______． (3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直． 【详解】（1）解：若，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立： 综上，． （2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于； （3）证明：假设线段与垂直， ∵点D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵线段与垂直， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，这与均不相等矛盾， ∴假设不成立， ∴线段与不垂直． 题型四 反证法证明无理数（高频拓展） 典例 4阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【详解】解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 变式 在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【详解】（1）解：由题意可得：先假设是一个有理数； （2）证明：假设是一个有理数， 则存在互素的整数、，使得， ∴ 两边平方得： ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是整数， ∴是有理数，但已知是无理数，矛盾， 故假设错误， 故是无理数． 题型五 拓展重难题型（压轴） 典例 5如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中，， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 课堂小结（必背） 1. 反证法三步 反设 → 归谬 → 结论 2. 最常用矛盾 · 三角形内角和 · 两直线平行公理 · 勾股定理 · 互质矛盾（证无理数） 3. 否定结论口诀 · 至少一个 → 一个都没有 · 都是 → 不都是 · 大于 → 不大于 · 平行 → 不平行 4. 易错提醒 · 否定结论不要漏情况 · 不要把 “或” 否定成 “或”，要否定成且 · 推理必须步步有据，最后一定要点明与什么矛盾 1．（2025春•鹿城区校级期中）用反证法证明命题“若a＞b＞0，则”时，应先假设（　　） A．a＜b B．a≤b C． D． 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：反证法证明命题“若a＞b＞0，则”时，应先假设， 故选：D． 2．（2025春•顺德区校级期中）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则BC＞AC”，应假设（　　） A．BC＝AC B．BC＜AC C．∠A＜∠B D．BC≤AC 【答案】D 【分析】根据反证法是假设结论不成立，反面成立逐一判断即可． 【解答】解：反证法是假设结论不成立，反面成立， ∴应假设BC≤AC， 故选：D． 3．（2025春•朝阳期中）用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　） A．a∥b B．c∥b C．a与c相交 D．a与b相交 【答案】C 【分析】用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与c不平行（或a与c相交）． 【解答】解：原命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”， 用反证法时应假设结论不成立， 即假设a与c不平行（或a与c相交）． 故选：C． 4．（2025春•拱墅区校级期中）用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（　　） A．一个三角形中有两个内角为钝角 B．一个三角形中三个内角都是钝角 C．一个三角形中至少有一个内角为钝角 D．一个三角形中至少有两个内角为钝角 【答案】D 【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可． 【解答】解：证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角． 故选：D． 5．（2025春•杭州校级期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于45°时，首先应假设这个三角形中（　　） A．有一个锐角大于45° B．有一个锐角小于45° C．每一个锐角都大于45° D．每一个锐角都小于45° 【答案】C 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°． 故选：C． 6．（2025春•垣曲县期中）用反证法证明命题：“如果a∥b，a∥c，那么b∥c”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（　　） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】利用反证法若假设b与c相交于点P，可得过直线a外一点P，有两条直线b和c与直线a平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，即可得． 【解答】解：若假设b与c相交于点P， 由a∥b，a∥c， 即过直线a外一点P，有两条直线b和c与直线a平行， 与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾， 故选：C． 7．（2025春•即墨区校级期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立．∴∠B＜90° ②∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】根据反证法的一般步骤判断即可． 【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ①假设在△ABC中，∠B≥90°， ②由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， ③∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， ④因此假设不成立． ∴∠B＜90°， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 8．（2025春•榆林月考）用反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设 a2＞4　 ． 【答案】a2＞4 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设a2＞4， 故答案为：a2＞4． 9．（2025春•高新区校级月考）“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时应先假设 　两直线平行　 ． 【答案】两条直线平行． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【解答】证明：已知平面中有两条直线，被第三条直线所截，同位角不相等， 假设则两条直线平行． 故答案为：两条直线平行． 10．（2025春•青县校级月考）用反证法证明“已知△ABC的三边长为a，b，c（a≤b＜c），若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”时，应先假设　△ABC是直角三角形　 ． 【答案】△ABC是直角三角形． 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可求解． 【解答】解：反证法证明“已知△ABC的三边长为a，b，c（a＜b＜c），若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”时，应先假设△ABC的是直角三角形， 故答案为：△ABC是直角三角形． 11．用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 12．“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 【答案】(1)， (2)，，，， (3)不能做到，理由见解析 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）利用反证法证明即可； （3）设长方形的长为，宽为，根据面积为求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）证明：假设． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． （3）不能做到，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴不能做到． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6 反证法 讲义 基础知识梳理 1. 反证法定义 反证法是一种间接证明方法。 先假设命题的结论不成立，经过逻辑推理得出矛盾，从而说明假设错误，原命题成立。 2. 反证法的核心逻辑 否定结论 → 推出矛盾 → 肯定结论 3. 反证法的三个步骤（必考） ①反设 假设命题的结论不成立（即结论的反面成立）。 ②归谬 从假设出发，经过推理，得出与已知、定义、公理、定理矛盾。 ③结论 因为推理正确，产生矛盾的原因是假设错误，所以原命题成立。 4. 常见否定用语（必须背会） 原结论词 否定词 是 不是 大于（＞） 不大于（≤） 小于（＜） 不小于（≥） 都是 不都是 至少有一个 一个都没有 至少有两个 至多有一个 都是锐角 不都是锐角 平行 不平行 相等 不相等 5. 反证法适用题型 ①结论以 \\“至少”“至多”“唯一”“不可能”\\ 出现 ②直接证明很难，但否定后容易推出矛盾 ③证明平行、垂直、线段相等、角相等不成立 技巧总结归纳（解题直接用） 1.否定结论要 “完全相反” 不要漏情况，如 “至少一个锐角”→否定为没有锐角。 2.找矛盾优先找这 4 类 ① 与已知条件矛盾 ② 与定义 / 公理矛盾 ③ 与定理矛盾 ④ 与反设自身矛盾 3.三角形内角和是最常用矛盾 4.“至少一个” 类题 否定为：一个都没有 5.“都是” 类题 否定为：不都是 6.“唯一” 类题 否定为：至少有两个 7.无理数证明 假设为分数 （ 互质），推出不互质矛盾。 典例精讲 题型一 反证法中的第一步——正确假设 典例 1用反证法证明 “直角三角形中至少有一个锐角不大于 ”，应假设（） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 变式 1-1用反证法证明 “在 中，，求证： 或 ”，第一步假设（） A. B. C. 且 D. 且 变式 1-2 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设_____． 题型二 用反证法证明命题（基础） 典例 2反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 变式已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 题型三 反证法证明线段、角、垂直问题 典例 3当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理， 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果， 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确． (1)阅读正文并解答下列问题： 如图1，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若， 如图2，在内部作，交于点D． ∵， ∴； ∴， ∵ 即：， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立： ②若， ··· 综上，． 请你补充②中所缺失的部分 (2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______． (3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直． 题型四 反证法证明无理数（高频拓展） 典例 4阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 变式 在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 题型五 拓展重难题型（压轴） 典例 5如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 课堂小结（必背） 1. 反证法三步 反设 → 归谬 → 结论 2. 最常用矛盾 · 三角形内角和 · 两直线平行公理 · 勾股定理 · 互质矛盾（证无理数） 3. 否定结论口诀 · 至少一个 → 一个都没有 · 都是 → 不都是 · 大于 → 不大于 · 平行 → 不平行 4. 易错提醒 · 否定结论不要漏情况 · 不要把 “或” 否定成 “或”，要否定成且 · 推理必须步步有据，最后一定要点明与什么矛盾 1．（2025春•鹿城区校级期中）用反证法证明命题“若a＞b＞0，则”时，应先假设（　　） A．a＜b B．a≤b C． D． 2．（2025春•顺德区校级期中）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则BC＞AC”，应假设（　　） A．BC＝AC B．BC＜AC C．∠A＜∠B D．BC≤AC 3．（2025春•朝阳期中）用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　） A．a∥b B．c∥b C．a与c相交 D．a与b相交 4．（2025春•拱墅区校级期中）用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（　　） A．一个三角形中有两个内角为钝角 B．一个三角形中三个内角都是钝角 C．一个三角形中至少有一个内角为钝角 D．一个三角形中至少有两个内角为钝角 5．（2025春•杭州校级期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于45°时，首先应假设这个三角形中（　　） A．有一个锐角大于45° B．有一个锐角小于45° C．每一个锐角都大于45° D．每一个锐角都小于45° 6．（2025春•垣曲县期中）用反证法证明命题：“如果a∥b，a∥c，那么b∥c”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（　　） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 7．（2025春•即墨区校级期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立．∴∠B＜90° ②∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 8．（2025春•榆林月考）用反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设 　 ． 9．（2025春•高新区校级月考）“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时应先假设 　 　 ． 10．（2025春•青县校级月考）用反证法证明“已知△ABC的三边长为a，b，c（a≤b＜c），若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形”时，应先假设　 　 ． 11．用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 12．“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $