湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（八）

《湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（八）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D C B C C ACD AC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解． 【详解】， 则， 故选：C． 2．A 【分析】结合定义域和对数函数性质求解集合中不等式，再根据元素特点求交集. 【详解】当，即，得； 当，即，得， 所以集合. 已知，在中只有属于集合， 所以. 3．C 【分析】根据抛物线的标准方程可得，即可求解. 【详解】由可得， 故，故， 故抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：C 4．D 【分析】由二次函数有零点求出，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】函数有零点，则，解得， 而，因此，， 所以的取值集合为. 故选：D 5．C 【分析】利用投影向量的定义即可求解. 【详解】由在上的投影向量为，可得， 因为，所以， 又因为，所以， 故选：C. 6．B 【分析】设，再由点到直线的距离公式及三角恒等变换求最值即可. 【详解】因为点P是椭圆上的动点， 所以可设， 则到直线的距离，其中， 所以当时，， 故选：B 7．C 【分析】由周期为可得，由条件可得，解方程可求结论. 【详解】因为的周期为，所以， 因为，所以， 联立消去得，. 8．C 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 9．ACD 【分析】根据的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可. 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误； 对于C，因, 故这次考试等级分在内的人数约为人，故C正确； 对于D，因 , 故D正确. 故选：ACD. 10．AC 【分析】分别计算圆锥，圆柱，圆台，球的体积表面积，并求得体积与表面积之比，进行判断即可. 【详解】圆锥的体积为：，表面积为：， 所以， 圆柱的体积为：，表面积为：， 所以， 圆台的体积为：， 表面积为：， 所以， 球的体积为：， 表面积为：， 所以， 所以圆柱、球的体积与其表面积之比最大. 故选：AC 11．BCD 【分析】对于选项A，根据向量垂直的性质判断是否存在点使；对于选项B，通过联立直线与双曲线方程求出的坐标，进而判断与是否相等；对于选项C，根据直线斜率与角的关系判断是否等于；对于选项D，利用三角形面积公式和三角函数公式判断的面积是否等于. 【详解】对于选项A，双曲线的左右顶点分别为，， 的渐近线方程为， 设，为在第一象限内的一点，，， 线段与的渐近线分别相交于两点，不妨设在直线上， 在直线上，设，则， 若，则，，， 而，，则， 故不存在点，使得，故选项A错误； 对于选项B，直线的方程为， 直线和联立，得到， 解得，，， ， 直线和联立，得到，解得， ，， ， ， ， ，，， ， 故选项B正确； 对于选项C，，为在第一象限内的一点， ， ， 在双曲线上，，， ， ， ，故选项C正确； 对于选项D，，， ， ，， ， ， ， ，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】 12． 【分析】设数列的公差，由求得公差，再由的通项公式求得结果. 【详解】设的公差为，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13． 【分析】求出的值，利用椭圆的定义求出的值，利用余弦定理结合的取值范围可求得的大小. 【详解】在椭圆中，，，则， 由椭圆的定义可得， 在中，由余弦定理可得， 又因为，所以，. 故答案为：. 14． 【分析】将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，分析可得只能从或处出发才能不重复走完条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解. 【详解】如图将个景区抽象为个点，见个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题， 从或处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从或处出发才能不重复走完条路线， 由于对称性，只列出从处出发的路线情形即可. ①走路线：，，，，，，共种； ②走路线：，，，，，，共种； ③走路线：，，，，共种； 综上，共有种检测顺序. 故答案为： 15．(1) (2)或6时，取得最大值15，无最小值 【分析】（1）根据题设结合等差数列求和公式可得，进而求解即可； （2）先根据等差数列求和公式可得，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，，则，解得， 所以. （2）由，函数开口向下，对称轴为， 而，则或6时，取得最大值15，无最小值. 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案. （2）根据超几何分布的知识求得X的分布列并求得数学期望. 【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为； （2）X的可能取值为 则， ， ， .     所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P . 17．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接.在矩形中，有，所以， 又因为，所以平面， 所以. 由题意知，所以， 则，故. 又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得， 所以. 设平面的法向量为， 则即取， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）先求出导函数，再得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出函数的单调性，最后结合最值计算求解参数. 【详解】（1）由题意知， ， ， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）在上有两个零点，即有两个不等根， 由得， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减. 又端点值，， 所以的极大值为， 所以的最大值为，最小值为， 要使在上有两个不等根， 结合函数单调性与极值，最值可知的取值范围为，即. 19．(1)； (2)证明见解析，定值为1； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出a，b得椭圆的方程作答. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立结合中点问题推理计算作答. （3）利用（2）中信息求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答. 【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设， 由消去x得：，， 则，而C是AB的中点，即有，于是， 满足，因此， 所以点C的横坐标是定值，该定值为1. （3）由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数， 则由（1）得直线的方程为，即， 由消去x得：，， 设，则， ，点到直线：的距离， 由C是AB的中点得的面积， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，的面积取得最大值，此时. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（八） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若复数，则（   ） A． B．2 C． D．10 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．8 D．16 4．若函数有零点，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．已知平面向量和满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知点P是椭圆上的动点，直线l：，则动点P到直线l的最小距离是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，周期为4，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 8．已知函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（    ） 参考数据：；； A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过80分的约有45人 C．这次考试等级分在内的人数约为48人 D． 10．若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 11．已知双曲线的左右顶点分别为为在第一象限内的一点，线段与的渐近线分别相交于两点，记，则（    ） A．存在点，使得 B． C． D．的面积等于 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．在数列中，.若为等差数列，则__________. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则_____________． 14．如图，某景区共有 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序. 四、解答题解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．(13分)记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求. (2)是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由 16．(15分)端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. (1)求既有豆沙粽又有白粽的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望. 17．(15分)如图，在矩形中，为的中点.现将沿折起到的位置，使得. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．(17分)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设在上有两个零点，求的范围. 19．(17分)如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； (3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $