热点15 动点动线几何5大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点15 动点动线几何 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 单双动点图像分析 题型02 动点构造函数关系式 题型03 动线切割图形面积变化 题型04 动点特殊图形存在性 题型05 动点轨迹探究 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：动点动线几何是江苏中考数学压轴题的核心载体，是区分顶尖学生的关键模块，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以解答压轴题形式出现，侧重考查数形结合、分类讨论与综合推理能力。 1.高频考点分布： · 单双动点图像分析：压轴题基础设问，考查运动过程与函数图像的对应关系，占2-3分； · 动点构造函数关系式：中档设问，考查用含参数的代数式表示变量关系，占2-3分； · 动线切割图形面积变化：核心设问，考查面积的动态变化与分段函数，占3-4分； · 动点特殊图形存在性：压轴设问，考查等腰 / 直角三角形、平行四边形的存在性，占3-4分； · 动点轨迹探究：区分度最高的设问，考查轨迹的识别与最值求解，占2-3分。 2.命题特点： · 以三角形、四边形为载体，结合单/双动点、动线切割背景，层层递进设问； · 设问梯度明显，前两问为基础分析与函数构造，后两问为面积变化、存在性与轨迹探究； · 江苏中考常以 “双动点 + 面积变化 + 存在性” 的组合形式命题，综合性极强； · 对运动过程的分析能力要求高，需分阶段讨论，避免漏解。 3.高频失分点： · 动点图像分析时，无法将运动阶段与函数图像的趋势、拐点对应； · 构造函数关系式时，自变量的取值范围分析错误； · 动线切割面积问题中，图形分割错误，导致面积表达式列错； · 特殊图形存在性问题中，分类讨论不全面，漏解或多解； 动点轨迹探究中，无法识别轨迹类型（直线/圆），无法利用轨迹求最值。 预测2026年：2026年本模块将继续保持高区分度命题风格： 1.单双动点图像分析、函数关系式构造仍为基础设问，背景更灵活； 2.动线切割面积问题仍是核心设问，分段函数的分段点更隐蔽； 3.特殊图形存在性问题的背景更复杂，可能结合二次函数、圆考查； 4.动点轨迹探究的区分度增强，侧重考查轨迹识别与最值求解能力。 题型01 单双动点图像分析 解｜题｜策｜略 1 解题核心：将动点的运动过程与函数图像一一对应，关键是分析 “起点、拐点、终点” 的函数变化。 ② 通用解题步骤： · 分析动点的运动路径，明确运动阶段（匀速、变速、停留）； · 分阶段分析关键线段的长度变化（增、减、不变）或面积的变化趋势； · 结合函数图像的趋势（上升、下降、水平），匹配运动阶段； 验证拐点的坐标，排除不符合题意的选项。 ③ 解题技巧： · 优先分析特殊点（起点、终点、转折点）的函数值，快速排除错误选项； · 利用排除法，先排除明显不符合运动趋势的选项； · 注意单位与比例，避免因图像比例误判函数变化趋势。 ④ 易错点：无法将动点的运动阶段与函数图像对应，误判拐点的意义。 例1（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 例2（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）一辆轿车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，轿车恰巧出现故障，货车继续驶往甲地，轿车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系如图．货车的速度为______，轿车出发______时两车相距． 【答案】 60 或 【分析】由图象可知，甲、乙两地的距离为，轿车和货车一起行驶了3小时相遇，则速度和为，再根据小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地，求出货车的速度．两车相距需分两种情况讨论：①在轿车出现故障前；②在轿车出现故障后． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两地的距离为， 则轿车和货车的速度和， 由图象可知，小时，轿车出现故障，货车继续驶往甲地， 则货车的速度， ①在轿车出现故障前两车相距，则； ②在轿车出现故障后两车相距，货车独自行驶了， 则轿车和货车共同行驶了，行驶时间为， 即行驶总时间为， 综上可知，轿车出发或时两车相距． 【变式3】近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)求的函数解析式； (2)当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由． 【答案】(1) (2)快艇能在渔船进入公海前追上它．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）设的函数解析式为，将点和代入得出，求解即可得出答案； （2）根据数据，可以计算快艇B的速度，然后计算出快艇B行驶12海里需要的时间，再将代入（1）中的函数解析式，求出相应的t的值，最后比较两个时间即可解答本题． 【详解】（1）解：（1）设的函数解析式为， 将点和代入上式，得， 解得， 的函数解析式为； （2）快艇能在渔船进入公海前追上它． 理由：由图可得快艇的速度为（海里/分）， （分钟）， 将代入得：， 解得， ， 快艇能在渔船进入公海前追上它． 题型02 动点构造函数关系式 解｜题｜策｜略 1 核心方法：设动点的运动时间为t，用含t的代数式表示相关线段的长度，再根据几何关系列函数关系式。 ② 通用解题步骤： · 设动点的运动时间为t，明确t的取值范围（根据运动起点和终点确定）； · 用含t的代数式表示动点的坐标或相关线段的长度； · 根据几何关系（如勾股定理、相似三角形、面积公式），列函数关系式； · 化简关系式，注明自变量的取值范围。 ③ 解题技巧： · 优先利用平行线、等腰三角形、直角三角形的性质，简化线段的表示； · 若运动过程分为多个阶段，需分段构造函数关系式； · 构造函数时，优先选择简单的几何关系（如线段和差、面积公式），避免复杂运算。 ④ 易错点：自变量的取值范围分析错误；或运动阶段划分错误，导致函数关系式列错。 例1（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据三角形的面积公式及题意即可求解； （）分， 和解答即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式解答即可求解； （）求出矩形的面积，可得当的面积等于矩形面积的时，，进而即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴，， 当点在上运动时，， ∴ ， ∵点在上运动， ∴自变量的取值范围为， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，； （3）解：当时，由，解得； 由，解得， ∴的值为或； （4）解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，， ∴存在，使得的面积等于矩形面积的． 例2（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 【变式1】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点 P 从点 A 出发，沿折线运动，当点P与点B重合时停止运动．设点P运动的路程为 x，的面积为y，当点P在上运动时，则y 与x 之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分段函数．先求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴的面积为， 故选：D． 【变式2】（2025·江苏宿迁·三模）如图1所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设点同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当时，；⑤当时，与相似；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】DD 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是每秒1个单位长度， ∴， ∴由矩形的性质可得，故①正确； ∵从M到N用了2秒， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②正确； 过点P作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，故③错误； 当时，此时点Q在点C，点P在上，且， ∴， ∴，故④正确； 当秒时，点P在上，此时，， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，解题的关键是根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C，也是本题的突破口． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 【答案】①② 【分析】由函数图象可知当点运动到点时，，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而判断①；当时，计算的长，证明为等边三角形，从而判断②；当时，点在上运动，求出的最小值和最大值，从而判断③． 【详解】解：由图2可知，当动点沿匀速运动到点时，，即， 如图，过点 作于点，连接， 是等边三角形， 、， 在中，， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故①正确； 当时，点运动的路程为 5， ， 点在上，且， ， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故结论②正确； 当时，点在上运动， 当时，、， 当时，点到达点，，即在此过程中，的长度从 2 减小到 0， 过点作于点， 在中，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 当点与点重合时，，取得最小值， 此时， ， 点能运动到点处， 的最小值为， ∵， 的最大值为， 当时，的取值范围是， 故结论③错误； 综上所述，正确的结论是①②． 题型03 动线切割图形面积变化 解｜题｜策｜略 1 核心方法：根据动线的位置，将图形分割为规则图形，用含参数的代数式表示各部分的面积，再列分段函数。 ② 通用解题步骤： · 分析动线的运动过程，确定面积变化的关键节点（如动线经过图形的顶点、中点）； · 以关键节点为分界，划分运动阶段； · 每个阶段内，用含参数的代数式表示图形的底和高，利用面积公式列表达式； · 合并各阶段的表达式，注明自变量的取值范围。 ③ 解题技巧： · 优先利用 “割补法” 或 “铅垂高法” 表示面积，简化计算； · 若动线平行于坐标轴，可直接用线段长度表示底和高； · 计算面积时，注意动线切割后图形的形状变化，避免分割错误。 ④ 易错点：关键节点找错，导致运动阶段划分错误；或面积表达式列错，未注明自变量的取值范围。 例1（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【答案】(1)点E的坐标为 (2)点F的坐标为或 【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标； （2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵两直线相交于点E， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴，即． ∴ ， ∵在直线上， ∴设， ∴的面积为：， 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故； 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． 【变式2】（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点； （3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答． 【详解】（1）解：把，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：令，可得， 解得， ， 点到直线的距离为定值， 的面积为定值， 当的面积取最大值时，的值最大， 当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，，解得， 所以直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 解得， 把代入，可得， ， 如图，作轴，作交于点， ，， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ， ，即； （3）解：如图，过点作，截取，连接， ，四边形为平行四边形， ， ， 当三点共线时，取最小值，最小值为， 根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大， ，即， ， ，即的最小值为． 题型04 动点特殊图形存在性 解｜题｜策｜略 1 常见特殊图形类型：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形。 ② 通用解题步骤： · 设动点的坐标为(x,y)，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据特殊图形的性质，列方程： · 等腰三角形：分三种情况（三边两两相等）列方程； · 直角三角形：分三种情况（三个角为直角）列勾股定理方程； · 平行四边形：利用中点坐标公式列方程； · 解方程，结合动点的运动范围，舍去不符合题意的解； · 回代验证，确定点的坐标。 ③ 解题技巧： · 优先利用特殊图形的对称性或中点坐标公式，简化计算； · 若图形有特殊角（如直角、60°），可利用三角函数列方程； · 计算时优先化简线段长度的表达式，避免复杂的根号运算。 ④ 易错点：分类讨论不全面，漏解或多解；或特殊图形的性质应用错误，列错方程。 例1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 例2（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 【答案】(1)抛物线 的解析式为； (2)①存在，点P的坐标为；②点Q到x轴的距离的最大值为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数与几何综合，二次函数的性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①画出图形，利用平行四边形的性质即可解答； ②求得点的纵坐标的表达式，利用配方法即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴，    ∵抛物线与x轴交于点和点， 可得， 解得， 抛物线 的解析式为； （2）解：①存在，如图，过点作轴，交于点， ， 当四边形为平行四边形时，，， ， ， ， ，即点的横坐标为， 当时，， 则， 故存在点，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形； ②∵点是抛物线在第四象限上的任意一点 ∴，， ∵点按竖直方向向下平移个单位到点， ∴， ∴点到x轴的距离为， 此时满足， ∴点到x轴的距离的最大值为． 【变式1】（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．                                （1）点的坐标为：______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)(1,0)；(2) 或；(3)平行，理由见解析 【分析】(1)根据二次函数的对称轴为，代入即可求出E点坐标； (2)将ED、AF的解析式用的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y=求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可； (3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解． 【详解】解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为， ∴E点的坐标为(1,0)， 故答案为(1,0)． (2)由题意知，C点坐标为(0,3a)，C和D点关于对称轴对称，∴D坐标为(2,3a)， 设直线DE的解析式为y=kx+m，代入E(1,0)和D(2,3a)， 即，解得， ∴直线DE的解析式为y=3ax-3a， 令y=0，∴F(0,-3a)， 令中，即：， 解得，∴A(-1，0)， 设直线AF的解析式为y=bx+t，代入A(-1,0)，F(0,-3a), 即，解得， ∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a， 令y=-3ax-3a中y=3a，解得H点坐标(-2，3a)， ∴H(-2，3a)，E(1，0)，F(0,-3a) 故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²， EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²， FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4， ∵△EFH为直角三角形，∴分类讨论谁是直角顶角， 情况一：∠E为直角顶角时，则EF²+EH²=FH²， 即：1+9a²+9+9a²=36a²+4，解得：a=，又a>0，故a=； 情况二：∠F为直角顶角时，则EF²+FH²=EH²， 即：1+9a²+36a²+4=9+9a²，解得：a=，又a>0，故a=； 情况三：∠H为直角顶角时，则FH²+EH²=EF²， 即：36a²+4+9+9a²=1+9a²，此时无解； ∴综上所述，a的值为或； 故答案为：或； (3)联立直线DF与抛物线的解析式： ，整理得：， 解得，，∴G点坐标为(-3,-12a)， 同理，联立直线AF与抛物线的解析式： ，整理得：， 解得，，∴K点坐标为(6,-21a)， ∴直线GK的， 直线HE的， 即直线GK的k值与直线HE的k值相同， ∴GK与HE平行． 故答案为：与有怎样的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法，一次函数的解析式，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质，学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键． 【变式2】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式3】（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型05 动点轨迹探究 解｜题｜策｜略 ① 常见轨迹类型：直线、圆、抛物线。 ② 通用解题步骤： · 设动点的坐标为(x,y)，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据几何关系，消去参数，得到动点坐标x与y的关系式； · 根据关系式的形式，判断轨迹类型： 一次函数关系式：轨迹为直线； 圆的标准方程：轨迹为圆； 二次函数关系式：轨迹为抛物线； · 利用轨迹的性质，求解最值或相关问题。 ③ 解题技巧： · 优先利用几何性质判断轨迹类型，如 “到定点的距离为定值” 则轨迹为圆； · 消去参数时，优先选择简单的参数表达式，避免复杂运算； · 求轨迹上的最值时，可利用轨迹的几何性质（如圆上点到定点的距离最值）。 ④ 易错点：无法消去参数，或轨迹类型判断错误；或利用轨迹性质求解最值时出错。 例1（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】作交于点，作交于点，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合的值，可得出当取最大值时，取最小值，根据度的圆周角所对的弦是直径得出点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上，当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，根据相似三角形的判定和性质求出的最大值，求出；当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，求出，即可求解． 【详解】如图，作交于点，作交于点， 在中，， 在中，， 即， 解得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， 故当取最大值时，取最小值． ∵ ∴ ∴点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上， 当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，如图： ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 此时，即的最大值为， 故． 当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，如图： 即的最大值为， 故． 综上所述，的最小值是． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． 【答案】 【分析】记、交于点，连接，在中，根据勾股定理计算，根据三角函数确定，进而得，在中，根据勾股定理计算，从而得点所在圆半径为，，结合图形判断点所经过的路径长为，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：记、交于点，连接，如图所示， 弦且过半径的中点， 为半径的中点， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， 点在以为直径的圆上，记该圆为， 的半径，， 点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径为， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为___________mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到，当最大时，最大，当最小，最大，再进行计算最大值即可． 【详解】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动． ，且是绕点旋转， 点是以点为圆心，以为半径的圆上运动． ， 当最大时，最大，即最小，最大． 如图，当与相切于点，且点在内部时，最小，最大． ， ， ， ， ， 此时，即的最大值为 （40分钟限时练） 1．（22-23九年级上·河南商丘·月考）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着边运动，到达点C时停止运动；另一动点Q同时从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向点C运动，到达点C时停止运动．设点P的运动时间为t，的面积为S，则S关于t的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】当时，，排除A、D，当时，，排除C． 【详解】当时， 由题意得：，， 是关于t的二次函数，且开口向上， ∴排除A、D， 当时， 过点P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 根据勾股定理得： ∴ 当P运动到线段上时，， ∴ ∵ ∴ 是关于t的二次函数，且开口向下， ∴排除C ∴B选项正确； 故选：B 【点睛】本题考查函数与几何图形的动点问题，解题的关键是分段求出函数关系式，利用排除法求解． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点问题函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，二次函数的图象与性质；过点作于点，延长交的延长线于点，利用矩形的判定与性质可得，设，利用相似三角形的判定与性质求得，进而求得，的长，利用求得与之间关系，再利用二次函数的性质和的取值范围解答即可得出结论，做出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图， 点、分别为，的中点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． ，， ． ， ， ． 为等腰直角三角形， ． 设， 由题意得：，则， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得：， ． ． ， ， 由题意：的取值范围为：， 故答案为：． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 【答案】/ 【分析】延长至点，使得，连接，则是的中位线，得到，连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点，证明四边形是菱形，过点作的延长线于点，在中，求出，，从而得出，则，进而求得的最小值，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 点为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 过点作的延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 即点与点之间的最小距离为． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 【答案】 【分析】 首先根据菱形性质得出和是等边三角形，从而，说明 A，B，C 在以 D 为圆心的圆上． 然后利用轴对称和等腰三角形性质计算角度，得出 ，确定 P 点轨迹． 最后确定 M 在起点 C 和终点 N 时 P 的位置，计算圆心角和弧长． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴点A，B，C在以D为圆心，6为半径的圆上， 由对称性可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴点P在以D为圆心，6为半径的圆上． 当点M在点C时，点P与点C重合．当点M在点N时，N为中点，为等边三角形， ∴，，此时，， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点与点D重合，此时射线即为射线， ∵点P在上， ∴， ∴点P在的延长线上， ∵A，D，P共线，， ∴， ∴点P的运动路径长为． 5．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)的面积最大，且为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）解：不存在，理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 6．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为 (1)直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有的代数式表示 (2)当时，若， ①当时，求的取值范围； ②抛物线之间的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围______． (3)当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)1或或 【分析】（）根据交点式可得：，配方后可得抛物线顶点的坐标； （）①先求出点的坐标，代入可得抛物线的解析式，根据图象即可得时，的取值范围是；②根据抛物线之间的最大值与最小值的差为，确定和时对应的的值，即可解答； （）先根据点坐标为可得，即得抛物线的解析式为，分三种情况，分别画出图形，根据中心对称图形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于，两点， ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：①， ， ，， ， ， ∴， ， ， ，，， 当时，， 当时，即时，的取值范围是； ②，顶点的坐标为， 点的对称点是， 当时，， ， 解得， ∵抛物线之间的最大值与最小值的差为， 的取值范围是或； 故答案为：或； （3）解：把点坐标为代入中得，， ， ∴抛物线的解析式为：， ①如图，当点是抛物线的顶点时，， ， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积，的面积， 此时，满足条件， ； ②如图，∵点关于坐标原点的对称点为， ∴当与轴交于点时，直线将矩形分成面积比为的两部分， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得（不合，舍去），； ③如图，点在边上，则点的横坐标为， ， ∴矩形的面积，的面积，满足条件，此时； 综上，的值是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，矩形的性质，中心对称图形的性质，二次函数的几何应用等，掌握数形结合的思想，并灵活运用所学知识是解题的关键． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线对应的函数值的最小值为，求的值； (3)当时． ①抛物线与轴的左侧交点为点，点分别为抛物线的顶点，试判断以点为顶点的四边形的形状，并说明理由； ②抛物线与直线相交于点，若轴平分线段，求的值． 【答案】(1) (2)的值为3 (3)①以点为顶点的四边形为平行四边形，见解析，② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由平移规律得抛物线，其对称轴为直线，顶点的纵坐标为，根据抛物线对应的函数值的最小值为，得抛物线的顶点的横坐标不在内，求得，根据在内，随的增大而增大，得当时，，即，从而可求出的值为3； （3）①根据平行四边形的判定方法判断即可； ②联立方程得，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系得，由轴平分线段得，整理得，再代入可得结论． 【详解】（1）解：将和代入抛物线中，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得抛物线， ∴由题意得抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点的纵坐标为． 要使在时，抛物线对应的函数值的最小值为，则抛物线的顶点的横坐标不在内． ∵，∴， ∴抛物线的对称轴在直线的左侧，此时，即， ∵抛物线的开口向上， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，，即，解得（舍去），， ∴的值为3； （3）解：①以点为顶点的四边形为平行四边形．理由：当时，抛物线的表达式为． 如解图，连接，由抛物线的表达式可得， 由抛物线的表达式可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴以点为顶点的四边形为平行四边形； ②由①可知抛物线， 令， 整理，得， 则关于的一元二次方程的解为，可得， ∵轴平分线段， ∴， 整理，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 8．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点D坐标为 【分析】（1）设，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴于点，直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）过点作轴于点，交于点，同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 设，将点代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为2； （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 在中，， ，轴， ， ， ， 又， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； （4）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点15 动点动线几何 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 单双动点图像分析 题型02 动点构造函数关系式 题型03 动线切割图形面积变化 题型04 动点特殊图形存在性 题型05 动点轨迹探究 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：动点动线几何是江苏中考数学压轴题的核心载体，是区分顶尖学生的关键模块，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以解答压轴题形式出现，侧重考查数形结合、分类讨论与综合推理能力。 1.高频考点分布： · 单双动点图像分析：压轴题基础设问，考查运动过程与函数图像的对应关系，占2-3分； · 动点构造函数关系式：中档设问，考查用含参数的代数式表示变量关系，占2-3分； · 动线切割图形面积变化：核心设问，考查面积的动态变化与分段函数，占3-4分； · 动点特殊图形存在性：压轴设问，考查等腰 / 直角三角形、平行四边形的存在性，占3-4分； · 动点轨迹探究：区分度最高的设问，考查轨迹的识别与最值求解，占2-3分。 2.命题特点： · 以三角形、四边形为载体，结合单/双动点、动线切割背景，层层递进设问； · 设问梯度明显，前两问为基础分析与函数构造，后两问为面积变化、存在性与轨迹探究； · 江苏中考常以 “双动点 + 面积变化 + 存在性” 的组合形式命题，综合性极强； · 对运动过程的分析能力要求高，需分阶段讨论，避免漏解。 3.高频失分点： · 动点图像分析时，无法将运动阶段与函数图像的趋势、拐点对应； · 构造函数关系式时，自变量的取值范围分析错误； · 动线切割面积问题中，图形分割错误，导致面积表达式列错； · 特殊图形存在性问题中，分类讨论不全面，漏解或多解； 动点轨迹探究中，无法识别轨迹类型（直线/圆），无法利用轨迹求最值。 预测2026年：2026年本模块将继续保持高区分度命题风格： 1.单双动点图像分析、函数关系式构造仍为基础设问，背景更灵活； 2.动线切割面积问题仍是核心设问，分段函数的分段点更隐蔽； 3.特殊图形存在性问题的背景更复杂，可能结合二次函数、圆考查； 4.动点轨迹探究的区分度增强，侧重考查轨迹识别与最值求解能力。 题型01 单双动点图像分析 解｜题｜策｜略 1 解题核心：将动点的运动过程与函数图像一一对应，关键是分析 “起点、拐点、终点” 的函数变化。 ② 通用解题步骤： · 分析动点的运动路径，明确运动阶段（匀速、变速、停留）； · 分阶段分析关键线段的长度变化（增、减、不变）或面积的变化趋势； · 结合函数图像的趋势（上升、下降、水平），匹配运动阶段； 验证拐点的坐标，排除不符合题意的选项。 ③ 解题技巧： · 优先分析特殊点（起点、终点、转折点）的函数值，快速排除错误选项； · 利用排除法，先排除明显不符合运动趋势的选项； · 注意单位与比例，避免因图像比例误判函数变化趋势。 ④ 易错点：无法将动点的运动阶段与函数图像对应，误判拐点的意义。 例1（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 例2（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）一辆轿车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，轿车恰巧出现故障，货车继续驶往甲地，轿车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离与货车行驶的时间之间的关系如图．货车的速度为______，轿车出发______时两车相距． 【变式3】近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)求的函数解析式； (2)当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由． 题型02 动点构造函数关系式 解｜题｜策｜略 1 核心方法：设动点的运动时间为t，用含t的代数式表示相关线段的长度，再根据几何关系列函数关系式。 ② 通用解题步骤： · 设动点的运动时间为t，明确t的取值范围（根据运动起点和终点确定）； · 用含t的代数式表示动点的坐标或相关线段的长度； · 根据几何关系（如勾股定理、相似三角形、面积公式），列函数关系式； · 化简关系式，注明自变量的取值范围。 ③ 解题技巧： · 优先利用平行线、等腰三角形、直角三角形的性质，简化线段的表示； · 若运动过程分为多个阶段，需分段构造函数关系式； · 构造函数时，优先选择简单的几何关系（如线段和差、面积公式），避免复杂运算。 ④ 易错点：自变量的取值范围分析错误；或运动阶段划分错误，导致函数关系式列错。 例1（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 例2（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【变式1】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点 P 从点 A 出发，沿折线运动，当点P与点B重合时停止运动．设点P运动的路程为 x，的面积为y，当点P在上运动时，则y 与x 之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏宿迁·三模）如图1所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设点同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当时，；⑤当时，与相似；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 题型03 动线切割图形面积变化 解｜题｜策｜略 1 核心方法：根据动线的位置，将图形分割为规则图形，用含参数的代数式表示各部分的面积，再列分段函数。 ② 通用解题步骤： · 分析动线的运动过程，确定面积变化的关键节点（如动线经过图形的顶点、中点）； · 以关键节点为分界，划分运动阶段； · 每个阶段内，用含参数的代数式表示图形的底和高，利用面积公式列表达式； · 合并各阶段的表达式，注明自变量的取值范围。 ③ 解题技巧： · 优先利用 “割补法” 或 “铅垂高法” 表示面积，简化计算； · 若动线平行于坐标轴，可直接用线段长度表示底和高； · 计算面积时，注意动线切割后图形的形状变化，避免分割错误。 ④ 易错点：关键节点找错，导致运动阶段划分错误；或面积表达式列错，未注明自变量的取值范围。 例1（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【变式2】（2025·江苏徐州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； (3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 题型04 动点特殊图形存在性 解｜题｜策｜略 1 常见特殊图形类型：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形。 ② 通用解题步骤： · 设动点的坐标为(x,y)，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据特殊图形的性质，列方程： · 等腰三角形：分三种情况（三边两两相等）列方程； · 直角三角形：分三种情况（三个角为直角）列勾股定理方程； · 平行四边形：利用中点坐标公式列方程； · 解方程，结合动点的运动范围，舍去不符合题意的解； · 回代验证，确定点的坐标。 ③ 解题技巧： · 优先利用特殊图形的对称性或中点坐标公式，简化计算； · 若图形有特殊角（如直角、60°），可利用三角函数列方程； · 计算时优先化简线段长度的表达式，避免复杂的根号运算。 ④ 易错点：分类讨论不全面，漏解或多解；或特殊图形的性质应用错误，列错方程。 例1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 例2（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 【变式1】（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．                                （1）点的坐标为：______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式2】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【变式3】（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型05 动点轨迹探究 解｜题｜策｜略 ① 常见轨迹类型：直线、圆、抛物线。 ② 通用解题步骤： · 设动点的坐标为(x,y)，用含参数的代数式表示相关线段的长度； · 根据几何关系，消去参数，得到动点坐标x与y的关系式； · 根据关系式的形式，判断轨迹类型： 一次函数关系式：轨迹为直线； 圆的标准方程：轨迹为圆； 二次函数关系式：轨迹为抛物线； · 利用轨迹的性质，求解最值或相关问题。 ③ 解题技巧： · 优先利用几何性质判断轨迹类型，如 “到定点的距离为定值” 则轨迹为圆； · 消去参数时，优先选择简单的参数表达式，避免复杂运算； · 求轨迹上的最值时，可利用轨迹的几何性质（如圆上点到定点的距离最值）。 ④ 易错点：无法消去参数，或轨迹类型判断错误；或利用轨迹性质求解最值时出错。 例1（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为___________mm． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． （40分钟限时练） 1．（22-23九年级上·河南商丘·月考）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着边运动，到达点C时停止运动；另一动点Q同时从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向点C运动，到达点C时停止运动．设点P的运动时间为t，的面积为S，则S关于t的函数图象是（    ） A．B．C． D． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为____． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 5．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为 (1)直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有的代数式表示 (2)当时，若， ①当时，求的取值范围； ②抛物线之间的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围______． (3)当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线对应的函数值的最小值为，求的值； (3)当时． ①抛物线与轴的左侧交点为点，点分别为抛物线的顶点，试判断以点为顶点的四边形的形状，并说明理由； ②抛物线与直线相交于点，若轴平分线段，求的值． 8．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $