热点13 相似三角形综合模型5大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点13 相似三角形综合模型 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 比例线段、平行线分线段成比例 题型02 八大经典相似几何模型 题型03 折叠旋转中的相似构造 题型04 动点分类相似讨论 题型05 相似大题证明计算综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：相似三角形是江苏中考数学的核心几何工具模块，是解决几何证明、计算、压轴题的关键桥梁，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在8-15分，以选择、填空和中档解答题形式出现，也是压轴题的高频考点。 1.高频考点分布： · 比例线段、平行线分线段成比例：基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-3分； · 八大经典相似模型：中档题高频考点，是压轴题的基础模型，占3-4分； · 折叠旋转中的相似构造：图形变换与相似结合的考点，占2-3分； · 动点分类相似讨论：区分度考点，常以压轴题形式出现，占3-5分； · 相似大题证明计算综合：解答题高频考点，占4-6分。 2.命题特点： · 基础题以比例线段、平行线分线段成比例的直接应用为主； · 中档题以相似三角形的判定与性质为核心，常结合经典模型考查； · 压轴题常结合折叠、旋转、动点背景，考查相似三角形的构造与分类讨论； · 命题形式灵活，侧重考查几何直观与模型识别能力。 3.高频失分点： · 平行线分线段成比例的应用错误，无法准确写出比例式； · 相似三角形的判定定理混淆，无法根据已知条件选择合适的判定方法； · 经典相似模型识别错误，无法利用模型简化计算； · 动点相似问题中，分类讨论不全面，漏解或多解； · 相似三角形的性质应用错误，如面积比等于相似比的平方记成相似比。 预测2026年：2026年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出模型识别与综合应用： 1.基础题难度不变，仍以比例线段、平行线分线段成比例的基础考查为主； 2.经典相似模型仍为中档题高频考点，背景更灵活，可能结合网格、坐标系考查； 3.折叠、旋转、动点与相似的综合题区分度增强，侧重考查分类讨论与几何推理能力； 4.相似三角形的实际应用情境化试题占比提升，考查建模与应用能力。 题型01 比例线段、平行线分线段成比例 解｜题｜策｜略 ① 核心概念与性质： · 比例线段：若，则ad=bc，合比性质、分比性质、等比性质可简化计算； · 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； · 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，截得的三角形与原三角形相似。 ② 解题技巧： · 遇到平行线，优先考虑平行线分线段成比例，写出对应线段的比例式； · 利用比例的基本性质，可将比例式转化为等积式，再根据需要转化回比例式； · 三角形中出现平行线，可直接利用推论得到相似三角形，简化计算。 ③ 易错点：比例线段的对应关系找错，导致比例式列错；或平行线分线段成比例时，混淆对应线段。 例1（2026·江苏盐城·一模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出△ABC，且、与中间的另外两条横线交于、、、四点，连接交于点．若，则的长为____． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若△ABC的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 题型02 八大经典相似几何模型 解｜题｜策｜略 ① 核心模型速记与应用： · A型相似：平行于三角形一边的直线截其他两边，形成的小三角形与原三角形相似； · X型相似（对顶型）：两条直线相交，对顶角相等，且有一组对应角相等，形成的两个三角形相似； · 斜A型相似：非平行的截线形成的相似三角形，利用公共角和另一组等角判定； · 斜X型相似：非平行的两条直线相交，形成的对顶三角形相似； · 一线三等角模型：一条直线上有三个相等的角，形成的两个三角形相似； · 双垂直模型（射影定理模型）：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，与原三角形两两相似； · 手拉手相似模型：两个共顶点的相似三角形，绕顶点旋转后，形成的新三角形也相似； · 半角模型：一个角的半角与原角两边形成的三角形相似。 ② 解题技巧： · 遇到平行线优先考虑A型或X型相似； · 遇到直角三角形斜边上的高，优先考虑双垂直模型； · 遇到直线上有三个相等的角，优先考虑一线三等角模型； · 识别模型后，直接利用相似三角形的性质，写出对应边的比例式，简化计算。 ③ 易错点：模型识别错误，无法找到相似三角形；或相似三角形的对应边找错，导致比例式列错。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，．若，，则_____． 例2（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 例3（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 例3（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 例4（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若△BDE的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 例5（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 【变式1】（2026·江苏苏州·一模）如图，菱形的对角线，交点为，点在上，且，过点作交于点．则的面积为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【变式4】（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________． 【变式5】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 题型03 折叠旋转中的相似构造 解｜题｜策｜略 ① 核心性质： · 折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等，可构造相等的角和边； · 旋转前后的图形全等，对应边、对应角相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角； · 折叠、旋转后的图形与原图形结合，易形成一线三等角、双垂直等相似模型。 ② 解题技巧： · 折叠问题中，利用折叠前后的角相等，构造等角，再结合公共角或直角，判定三角形相似； · 旋转问题中，利用旋转角相等和等腰三角形的性质，构造相似三角形； · 设未知数，用含参数的代数式表示相关线段，再利用相似三角形的比例式列方程求解。 ③ 易错点：折叠、旋转中的对应边、对应角找错，导致相似三角形的判定条件错误；或构造相似三角形时，忽略隐含的等角条件。 例1（2026·江苏泰州·一模）如图，等腰△ABC，，，点D在边上运动，连接，以为边向右侧作等腰△ADE，其中，与边交于点F．当为等腰三角形时，的长为____________． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 例3（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到△APE，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若于点O，，，则的面积是______． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，．将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，得到矩形．连接、． (1)当点的对应点落在边上时，求的长； (2)在旋转过程中，设，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 题型04 动点分类相似讨论 解｜题｜策｜略 ① 分类讨论思路： · 明确已知三角形的形状和各角的度数，尤其是特殊角（如直角、45°、60°）； · 动点三角形与已知三角形相似时，分情况讨论对应顶点，确定对应角和对应边。 ② 通用解题步骤： · 设动点的运动时间为t，用含t的代数式表示动点的坐标和相关线段的长度； · 确定已知三角形的各边长度和各角的度数； · 根据相似三角形的对应角相等，分情况列出对应边的比例式； · 解方程，结合动点的运动范围，舍去不符合题意的解。 ③ 解题技巧： · 优先利用已知三角形的特殊角，减少分类讨论的情况； · 若已知三角形为直角三角形，优先考虑动点三角形为直角三角形的情况； · 计算时优先化简比例式，避免复杂的运算。 ④ 易错点：分类讨论不全面，漏解或多解；或对应顶点判断错误，导致比例式列错。 例1（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【变式1】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 题型05 相似大题证明计算综合 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 审题，明确已知条件和要证明的结论或计算的问题； · 结合图形，识别相似三角形模型，找出相等的角或成比例的边； · 选择合适的相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS），证明三角形相似； · 利用相似三角形的性质，写出对应边的比例式或对应角相等，解决后续问题； · 计算时，结合勾股定理、三角函数等知识，求出未知线段的长度。 ② 解题技巧： · 证明相似时，优先找公共角、对顶角、直角等隐含的等角条件； · 遇到线段的乘积式，可转化为比例式，再找相似三角形； · 复杂图形中，可通过作辅助线构造平行线或直角三角形，形成相似模型。 ③ 易错点：相似三角形的判定定理用错，条件不充分；或相似三角形的性质应用错误，如面积比等于相似比的平方记成相似比。 例1（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，D、E分别为边上的动点，且，点C关于的对称点为点，连接和． (1)当时，则的值为 ，点C到的距离值为 ； (2)结合点的运动轨迹，求当点落在的角平分线上时，的值； (3)当点D在上移动时，与的重叠面积是否存在最大值，如果存在， 请直接写出此时的值，如果不存在，请说明理由． 【变式2】（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． （20分钟限时练） 1．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，点、分别在、上，，与四边形的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，矩形中，，，E为中点，连接，交于F点，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是_______米． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在等腰中，，，，过点A作的平行线与的延长线交于点E，则长为________． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________． 7．（2026·江苏泰州·一模）如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 8．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，D，E分别是，上的点，将沿着折叠，使点A落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ________ ．    10．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点13 相似三角形综合模型 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 比例线段、平行线分线段成比例 题型02 八大经典相似几何模型 题型03 折叠旋转中的相似构造 题型04 动点分类相似讨论 题型05 相似大题证明计算综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：相似三角形是江苏中考数学的核心几何工具模块，是解决几何证明、计算、压轴题的关键桥梁，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在8-15分，以选择、填空和中档解答题形式出现，也是压轴题的高频考点。 1.高频考点分布： · 比例线段、平行线分线段成比例：基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-3分； · 八大经典相似模型：中档题高频考点，是压轴题的基础模型，占3-4分； · 折叠旋转中的相似构造：图形变换与相似结合的考点，占2-3分； · 动点分类相似讨论：区分度考点，常以压轴题形式出现，占3-5分； · 相似大题证明计算综合：解答题高频考点，占4-6分。 2.命题特点： · 基础题以比例线段、平行线分线段成比例的直接应用为主； · 中档题以相似三角形的判定与性质为核心，常结合经典模型考查； · 压轴题常结合折叠、旋转、动点背景，考查相似三角形的构造与分类讨论； · 命题形式灵活，侧重考查几何直观与模型识别能力。 3.高频失分点： · 平行线分线段成比例的应用错误，无法准确写出比例式； · 相似三角形的判定定理混淆，无法根据已知条件选择合适的判定方法； · 经典相似模型识别错误，无法利用模型简化计算； · 动点相似问题中，分类讨论不全面，漏解或多解； · 相似三角形的性质应用错误，如面积比等于相似比的平方记成相似比。 预测2026年：2026年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出模型识别与综合应用： 1.基础题难度不变，仍以比例线段、平行线分线段成比例的基础考查为主； 2.经典相似模型仍为中档题高频考点，背景更灵活，可能结合网格、坐标系考查； 3.折叠、旋转、动点与相似的综合题区分度增强，侧重考查分类讨论与几何推理能力； 4.相似三角形的实际应用情境化试题占比提升，考查建模与应用能力。 题型01 比例线段、平行线分线段成比例 解｜题｜策｜略 ① 核心概念与性质： · 比例线段：若，则ad=bc，合比性质、分比性质、等比性质可简化计算； · 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； · 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，截得的三角形与原三角形相似。 ② 解题技巧： · 遇到平行线，优先考虑平行线分线段成比例，写出对应线段的比例式； · 利用比例的基本性质，可将比例式转化为等积式，再根据需要转化回比例式； · 三角形中出现平行线，可直接利用推论得到相似三角形，简化计算。 ③ 易错点：比例线段的对应关系找错，导致比例式列错；或平行线分线段成比例时，混淆对应线段。 例1（2026·江苏盐城·一模）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，小明在两条横线上画出，且、与中间的另外两条横线交于、、、四点，连接交于点．若，则的长为____． 【答案】 【分析】由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用面积关系求反比例函数的k值，以及平行线分线段成比例定理．过点B作轴，过点C作轴．先证，得到，从而求得点B的横坐标为2，设，同理由，求得点C坐标，最后运用，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B的横坐标为2， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的纵坐标为， 即． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴，即， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴， ∴ ∴． 题型02 八大经典相似几何模型 解｜题｜策｜略 ① 核心模型速记与应用： · A型相似：平行于三角形一边的直线截其他两边，形成的小三角形与原三角形相似； · X型相似（对顶型）：两条直线相交，对顶角相等，且有一组对应角相等，形成的两个三角形相似； · 斜A型相似：非平行的截线形成的相似三角形，利用公共角和另一组等角判定； · 斜X型相似：非平行的两条直线相交，形成的对顶三角形相似； · 一线三等角模型：一条直线上有三个相等的角，形成的两个三角形相似； · 双垂直模型（射影定理模型）：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，与原三角形两两相似； · 手拉手相似模型：两个共顶点的相似三角形，绕顶点旋转后，形成的新三角形也相似； · 半角模型：一个角的半角与原角两边形成的三角形相似。 ② 解题技巧： · 遇到平行线优先考虑A型或X型相似； · 遇到直角三角形斜边上的高，优先考虑双垂直模型； · 遇到直线上有三个相等的角，优先考虑一线三等角模型； · 识别模型后，直接利用相似三角形的性质，写出对应边的比例式，简化计算。 ③ 易错点：模型识别错误，无法找到相似三角形；或相似三角形的对应边找错，导致比例式列错。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 例2（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 例3（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 例3（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 例4（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例5（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1】（2026·江苏苏州·一模）如图，菱形的对角线，交点为，点在上，且，过点作交于点．则的面积为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出菱形的面积及的面积，由及菱形对角线互相平分求出与的比值，再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 【变式4】（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】第1问，连接，利用30度角的直角三角形的性质和解直角三角形计算即可求解； 第2问，连接，利用相似三角形的判定和性质，结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵为的直径，为的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 同理，， ∴，即， ∵， ∴， 整理得， ∴． 【变式5】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 题型03 折叠旋转中的相似构造 解｜题｜策｜略 ① 核心性质： · 折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等，可构造相等的角和边； · 旋转前后的图形全等，对应边、对应角相等，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角； · 折叠、旋转后的图形与原图形结合，易形成一线三等角、双垂直等相似模型。 ② 解题技巧： · 折叠问题中，利用折叠前后的角相等，构造等角，再结合公共角或直角，判定三角形相似； · 旋转问题中，利用旋转角相等和等腰三角形的性质，构造相似三角形； · 设未知数，用含参数的代数式表示相关线段，再利用相似三角形的比例式列方程求解。 ③ 易错点：折叠、旋转中的对应边、对应角找错，导致相似三角形的判定条件错误；或构造相似三角形时，忽略隐含的等角条件。 例1（2026·江苏泰州·一模）如图，等腰，，，点D在边上运动，连接，以为边向右侧作等腰，其中，与边交于点F．当为等腰三角形时，的长为____________． 【答案】1或 【分析】过点作于点，根据已知求得，设，则，证明，得出，即，进而表示出，根据题意分两种情况，①，②，分别讨论，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，则，， ∵，，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵ ∴ ①当时， ∴； 解得：； ②当时， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为：1或 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 例3（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若于点O，，，则的面积是______． 【答案】4.5 【分析】如图，过点A作于点E，求出，由旋转得，，，，利用勾股定理求出，证明出，求出，，进而得到，，然后利用全等三角形对应高相等得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 由旋转得，， 又∵，， ∴， ∴的面积是． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 【答案】 【分析】如图，过点F作交于点M，交于点N，设，则，证明出，表示出，然后利用勾股定理求出，进一步利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点F作交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴， ∵E是中点 ∴ 设，则 由折叠得，，， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴或（舍去） ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，．将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，得到矩形．连接、． (1)当点的对应点落在边上时，求的长； (2)在旋转过程中，设，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点作，连接，过点作，如图所示，由矩形性质求出相关角度和线段关系，在中，由勾股定理求出，结合旋转性质及三角形相似的判定与性质得到相似比，代值求出，最后在中由勾股定理求解即可； （2）过点作、，过点作，构造出矩形，求出矩形的两条邻边长度，在中，由勾股定理列式求解即可得到与之间的函数表达式，再由二次函数性质及点的轨迹为圆分析求解即可得到的最大值． 【详解】（1）解：当点的对应点落在边上时，如图所示： 在矩形中，，， 过点作，连接，过点作，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， 在中，，则由勾股定理可得， 由旋转性质可知，则， ， 则， 解得，， ， 在中，，，则由勾股定理可得； （2）解：过点作、，过点作，如图所示： 四边形是矩形，则， ， 解得， ，， 是的中线，则， 在中，，则由勾股定理可得， 由等面积法可知， ，解得， 在中，由勾股定理可得，则， ， ， 直接开平方得， 即与之间的函数表达式为， ，即抛物线开口向上，且对称轴为轴， 值随着的增大而增大， 将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，则点在以点为圆心、为半径的圆周上，如图所示： 在旋转过程中，设，则为直径，即时，的面积有最大值，为． 题型04 动点分类相似讨论 解｜题｜策｜略 ① 分类讨论思路： · 明确已知三角形的形状和各角的度数，尤其是特殊角（如直角、45°、60°）； · 动点三角形与已知三角形相似时，分情况讨论对应顶点，确定对应角和对应边。 ② 通用解题步骤： · 设动点的运动时间为t，用含t的代数式表示动点的坐标和相关线段的长度； · 确定已知三角形的各边长度和各角的度数； · 根据相似三角形的对应角相等，分情况列出对应边的比例式； · 解方程，结合动点的运动范围，舍去不符合题意的解。 ③ 解题技巧： · 优先利用已知三角形的特殊角，减少分类讨论的情况； · 若已知三角形为直角三角形，优先考虑动点三角形为直角三角形的情况； · 计算时优先化简比例式，避免复杂的运算。 ④ 易错点：分类讨论不全面，漏解或多解；或对应顶点判断错误，导致比例式列错。 例1（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】/0.7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图①，连接，根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到，从而得到，再证得点在线段的垂直平分线上，如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， 可得，再结合直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ， ， ，点G为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中，， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． 故答案为： 【变式1】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 题型05 相似大题证明计算综合 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 审题，明确已知条件和要证明的结论或计算的问题； · 结合图形，识别相似三角形模型，找出相等的角或成比例的边； · 选择合适的相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS），证明三角形相似； · 利用相似三角形的性质，写出对应边的比例式或对应角相等，解决后续问题； · 计算时，结合勾股定理、三角函数等知识，求出未知线段的长度。 ② 解题技巧： · 证明相似时，优先找公共角、对顶角、直角等隐含的等角条件； · 遇到线段的乘积式，可转化为比例式，再找相似三角形； · 复杂图形中，可通过作辅助线构造平行线或直角三角形，形成相似模型。 ③ 易错点：相似三角形的判定定理用错，条件不充分；或相似三角形的性质应用错误，如面积比等于相似比的平方记成相似比。 例1（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 例2（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】作交于点，作交于点，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合的值，可得出当取最大值时，取最小值，根据度的圆周角所对的弦是直径得出点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上，当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，根据相似三角形的判定和性质求出的最大值，求出；当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，求出，即可求解． 【详解】如图，作交于点，作交于点， 在中，， 在中，， 即， 解得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， 故当取最大值时，取最小值． ∵ ∴ ∴点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上， 当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，如图： ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 此时，即的最大值为， 故． 当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，如图： 即的最大值为， 故． 综上所述，的最小值是． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，D、E分别为边上的动点，且，点C关于的对称点为点，连接和． (1)当时，则的值为 ，点C到的距离值为 ； (2)结合点的运动轨迹，求当点落在的角平分线上时，的值； (3)当点D在上移动时，与的重叠面积是否存在最大值，如果存在， 请直接写出此时的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)的值为或 (3)存在，的值为 【分析】（1）证明，推出，即可求出，利用勾股定理求出，设点C到的距离为，则点C到的距离为，根据，求出即可得出结果； （2）连接并延长，交于点M，延长线交于点，分点落在的平分线上，和点落在的平分线上，两种情况讨论即可； （3）设，同理（2）得，，，，，分，点在内部，，点在外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点C到的距离为，则点C到的距离为， ∵， ∴，则， ∴点C到的距离为； （2）解：连接并延长，交于点M，延长线交于点， ∵点C关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴， 设， 情况1：当点落在的平分线上， 过作，垂足为点P，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况2：落在的平分线上， 过作，垂足为点Q，可得， 同理，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． （3）解：存在， 设， 同理（2）得，，，，， ∴， 当时，点在内部，重叠部分面积， 则； ∵函数开口向上，对称轴为y轴， 在范围内，S随n的增大而增大，当时，S有最大值为6，此时的值为； 当时，点在外部，如图， 则重叠部分面积，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 函数开口向下，对称轴为直线 在范围内，当时，S有最大值为8，此时的值为； 综上所述：与的重叠面积存在最大值，此时的值为． 【变式2】（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据正方形得到，证明四边形是平行四边形，即可得到答案； （2）根据正方形的定义得到，证明，得到，即可得到结论； （3）过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，先证明，根据点P是的中点，，正方形，得到，， 设，则，求出，故，证明，即可得到； （4）过点作交于点，交延长线于点，过点作，分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． （20分钟限时练） 1．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，点、分别在、上，，与四边形的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，涉及平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．根据平行线的性质得到，从而得到，再由相似三角形性质：面积比等于相似比的平方得到，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 与四边形的面积的比为， ，解得． 故选：D． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，矩形中，，，E为中点，连接，交于F点，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，，结合题意得出，证明，结合相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是_______米． 【答案】 12 【分析】根据光的反射定律可得入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合垂直定义可证得人与镜子构成的三角形和旗杆与镜子构成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， , 根据光的反射定律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ，，， ． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在等腰中，，，，过点A作的平行线与的延长线交于点E，则长为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质，推导出 ，从而得到；再证明 ，利用相似比表示出；最后利用建立关于的方程求解，进而得出的长． 【详解】解： ， ， 设， 则 解得 ，（不符合题意，舍去） 经检验， 是原方程的解 ． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点交于点，若，，则的长为________． 【答案】 6 【分析】首先根据正方形的性质得到，，再利用同角的余角相等证明，从而证得，利用相似比求出的长，进而求出的长，最后利用相似比求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为6． 7．（2026·江苏泰州·一模）如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】作轴交直线于点F，证明，求出，取的中点M，连接，求出，根据求出最值即可． 【详解】解：作轴交直线于点F， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点M，连接， 则， ， 故， 当且仅当O、M、D三点共线时取等号， ∴的最大值为． 8．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，根据三角形的三边关系得出当点在的延长线时，的长度取得最大值，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点在的延长线时，的长度取得最大值， 由题意得，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，D，E分别是，上的点，将沿着折叠，使点A落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ________ ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接交于点F，证明，进而求解． 【详解】解：如图，连接交于点F，    由题意知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵为的直径， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ，即， 解得：（负值舍去） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $