2026年高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）（一）

**基本信息** 聚焦高考新Ⅰ卷命题趋势，通过集合运算、函数零点判断等基础题与立体几何折叠证明、抛物线定值探究等综合题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、三角函数图像平移等|基础巩固，如第4题考查图像变换与对称性，体现数学眼光| |多选题|3/15|立体几何轨迹、椭圆与圆的最值等|能力提升，如第10题正方体轨迹与角度问题，考查空间观念| |填空题|3/15|二项式定理、双曲线离心率等|创新应用，如第14题双切线问题，体现数学语言表达| |解答题|5/70|解三角形、数列证明、导数不等式证明等|综合探究，如第19题抛物线定值与定圆证明，关联高考逻辑推理要求|

《2026高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B D D B C B BD BCD BD 1．B 【详解】已知，则， 解得，集合，已知，． 2．B 【详解】由题意，所以. 3．B 【详解】依题意，当直线与直线不相交时，，解得或， 当时，直线与直线平行， 当时，直线与直线平行， 因此，则或，所以“”是“”的充分不必要条件. 4．D 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即，因为，所以，. 5．D 【详解】第一次摸到的是白球，余下1白2黑的3个球，所以第二次摸到黑球的概率为. 6． B 【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即，① 又因为，所以，② 由①②解得，，所以. 7．C 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则，由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根，所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 8．B 【详解】， ， 因为等边三角形的边长是， 所以， 所以，又， 故， 即. 9．BD 【详解】对于A，因为，，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，又， 则，所以与相互独立，故B正确， 对于C，因为，则，又， 所以，故C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，，故D正确. 10．BCD 【详解】，又， 所以点P在线段上； ，又， 所以点Q在线段上； 选项A：，，所以A错误； 选项B：当点P在上，点Q在线段中点时，取最小值为，所以B正确； 选项C：当点P在上时， 因为，平面，所以平面，平面，所以， 又因为，所以平面，平面，所以又，平面，所以平面，平面所以，故C正确； 选项D：与所成角即与所成角，即为，显然当点P在上时，最大，为，故D正确； 11．BD 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得， 即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 12．6 【详解】的展开式中的系数是． 13．/ 【详解】当时，为等腰直角三角形，，这与双曲线定义矛盾； 当时，为等腰直角三角形，， 根据勾股定理，得， 再根据双曲线定义得，即， 化简得. 当时，为等腰直角三角形 ， 根据勾股定理，得， 再根据双曲线定义得，即， 化简得. 14．1 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 15．【详解】（1）由已知及正弦定理得， ∵，C∈(0，π)，sinC≠0， ∴，即，∵B∈(0，π)，∴； （2）由余弦定理得，解得或(舍)． ∴. 16．【详解】（1）因为， 所以当时，，解得， 当时，，所以，即. 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，.所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 17．【详解】（1）证明：取中点，连接， 四边形是梯形，，是的中点，且， 可得，所以， 又由，且是的中点，可得，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：在中，由，且为的中点，可得， 在中，由，且为的中点，可得， 因为，所以，可得， 又因为，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 设，则，可得， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 即，解得或（舍去）， 所以，且，且，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，可得， 则，直线与平面所成角的余弦值为. 18．【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上可得： 当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：因为是函数的极值点，可得，解得， 若时，，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意，所以. （3）解：设， 则， 因为，因为，， 所以存在唯一，使，且， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以当时，， 又由，所以当时，. 19．【详解】（1）抛物线的准线方程为． 根据抛物线定义，，所以．因此，抛物线的方程为． 将代入抛物线方程：，又，故． （2）①方法一（利用作差法及重心坐标公式证明）： 设，，则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值． 方法二（设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合重心坐标公式证明）： 因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为，显然．设，． 联立，整理得．所以. 已知，所以的重心的纵坐标， 所以，解得．因此，直线的斜率，为定值． ②因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得．所以. 设为的中点，则： ，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以．所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得. 方法一（求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动）： 令，代入方程，解得，因此，直线经过定点． 因为，于，所以在以为直径的定圆上． 方法二（求出的方程，与直线方程联立，得到点坐标，取特殊点求出圆的方程，再将点坐标代入验证即可）： 由于，，所以的方程为，即， 联立，得 即． 令，则，， 令，则，， 令，则，， 求得经过，，的圆方程为， 代入的坐标符合，所以在定圆上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）（一） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，，则“”是“”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 5．袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（  ） A．245 B．244 C．242 D．241 7．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D． 10．在棱长为2的正方体中，点P满足，点Q满足，其中，，则下列选项正确的是（    ） A．P，Q的轨迹长度相等 B．的最小值为 C．存在P，Q，使得 D．与所成角的正切值的最大值为 11．已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 三、填空题 12．若的展开式中的系数是20，则实数的值为_____． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则C的离心率为_____________． 14．已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为__________. 四、解答题 15．已知、、分别为内角A、B、C的对边，． (1)求； (2)若，，求的面积． 16．设数列的前项和为，若． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和记为，求． 17．如图1，四边形是梯形，，，是的中点，将沿折起至，如图2，点在线段上.    (1)若是的中点，求证：平面平面； (2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值. 18．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 19． 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求和的值； (2)，为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 学科网（北京）股份有限公司 $