精品解析：湖南长沙市明德中学等校2025-2026学年度高一年级期中考试数学试卷

2025-2026学年度明达集团高一年级期中考试卷 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，M为与交点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题错误的个数是（ ） （1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. （3）一个棱柱至少有6个面. （4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 6. 正方形的边长为1，点D，E分别为，的中点，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8 8. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m 二､多选题 9. 已知向量，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 与向量方向相同的向量是 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C. “，”是假命题 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 三､填空题 12. 写出虚部为的纯虚数为__________. 13. 已知，则向量与的夹角余弦值为__________. 14. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 四､解答题 15. 已知函数 （1）用“五点法”画函数在某一个周期内的图象 （2）求的单调递减区间； （3）当时，求函数的最值及取得最值时的值 16. 已知. （1）若，求实数的值： （2）求与的夹角的余弦值. 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，点为的中点，求． 18. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 19. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且. （1）若分别是的中点，求； （2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； （3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度明达集团高一年级期中考试卷 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得：. 2. 在平行四边形中，M为与交点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】平行四边形的对角线相互平分， . 3. 已知命题，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出，根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解不等式，得，即命题. 因为能推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件. 4. 下列命题错误的个数是（ ） （1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. （3）一个棱柱至少有6个面. （4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】结合棱锥、棱柱、正棱锥、平行六面体的定义与性质，逐个判断四个命题的真假，统计错误命题的个数得到结果. 【详解】命题(1)：棱锥的所有侧面都是三角形，只有底面是多边形。平行四边形是四边形，因此若棱锥存在一个面是平行四边形，该面一定是底面，故这个棱锥一定是四棱锥，命题正确； 命题(2)：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心，所有侧棱长度相等，因此侧面是全等的等腰三角形，命题正确； 命题(3)：棱柱底面边数最少为3（三棱柱），三棱柱有2个底面+3个侧面，共5个面，因此棱柱至少有5个面，命题错误； 命题(4)：平行六面体的所有面都是平行四边形，相对的面对应边相等、对应角相等，因此相对面是全等的平行四边形，命题正确； 错误的命题共1个. 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先应用复数的乘法及减法化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】， 故. 6. 正方形的边长为1，点D，E分别为，的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意可知：，， 所以. 7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有， 所以，即当底面水平放置时，水面高为7.5. 8. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，结合在中，求得,再在中，由正弦定理，求得的长，最后在直角中，结合，即可求解. 【分析】由， 由题意知，所以， 在中，可得, 在中，由正弦定理得， 所以， 在直角中， 故选：D. 二､多选题 9. 已知向量，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 与向量方向相同的向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数量积运算可判断A,B，利用模长公式可判断C，利用向量坐标共线可判断D. 【详解】因为，所以， ，A不正确； ，B正确； 因为，所以，C正确； 因为，所以与向量方向相同的向量是，D正确. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C. “，”是假命题 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 11. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 三､填空题 12. 写出虚部为的纯虚数为__________. 【答案】 【解析】 【详解】复数的一般形式为，虚部为的纯虚数中，，因此答案为. 13. 已知，则向量与的夹角余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，则. 14. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为， 圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则， 在中，由余弦定理可得，所以， 因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 四､解答题 15. 已知函数 （1）用“五点法”画函数在某一个周期内的图象 （2）求的单调递减区间； （3）当时，求函数的最值及取得最值时的值 【答案】（1） 0 0 1 0 0 （2） （3）函数的最大值为，此时;最小值为，此时 【解析】 【小问1详解】 ，令分别取，，，，，得： 当时，，; 当时，，; 当时，，; 当时，，; 当时，，; 填表如下： 0 0 1 0 0 描点、连线，得图如下： 【小问2详解】 由正弦函数的性质可知，当时，函数单调递减; ，解得 的单调递减区间为. 【小问3详解】 ， 令，则 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上，的图象先下降后再上升; 当时，; 当时，; 当时，; ，，即 当时，即时，取得最大值; 当时，时，取得最小值. 当时，函数的最大值为，此时;最小值为，此时. 16. 已知. （1）若，求实数的值： （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据模长求出数量积，结合垂直可求答案； （2）先求，再求，代入夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，即； 因为，所以， ，，解得. 【小问2详解】 ， ， 所以， 设与的夹角为，所以. 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，点为的中点，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解. （2）由余弦定理求出，再由，结合数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及，得， 而，则， 又，即，于是，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理得， 即，而，解得， 由为的中点，得， 所以. 18. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】（1）， （2）当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【解析】 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【小问1详解】 设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. 【小问2详解】 依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 19. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且. （1）若分别是的中点，求； （2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； （3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. 【小问3详解】 设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $