福建省2026届高中毕业班复习数学检测（七）

**基本信息** 以杭州亚运会吉祥物等时代情境为载体，通过数列递推证明、立体几何线面垂直、解析几何轨迹方程等综合题设计，梯度考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|三角函数、复数、集合、直线与圆、函数性质|基础题注重概念辨析，如第6题导数比较大小考查数学思维的严谨性| |填空题|3题/15分|排列组合、圆柱圆锥体积、函数零点|第13题圆柱圆锥侧面积与体积综合，体现空间观念与运算能力| |解答题|5题/77分|数列证明、函数单调性、立体几何线面角、解析几何面积、概率分布|第19题以亚运会为背景，结合概率分布与等比数列证明，考查数学语言表达现实世界的应用意识；第17题立体几何证明与线面角计算，发展几何直观与推理能力|

福建省2026届高中毕业班复习检测（七） 2026.05 高三数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A D C B A B D ABD AC BCD 12 13 14 288 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：（1）设等差数列的公差为d，首项为， 则，即， 因为，且，即， 联立方程组，解得，，则， 当时，，当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为 （2）因为，则， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 因为，则， 所以，故结论成立. 16.解：（1）， 若，则在上恒成立，故在上单调递减； 若，令，则（负值舍去）， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，要证，即证，即证， 即证，即证，令，，则， 所以在上单调递增，又， 故，即，即得证. 17.解：（1），，， 由余弦定理得， ，，， 又，，平面， 平面； （2）平面，平面，且， 二面角的平面角为，而， ，为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 由，，，， 设平面的一个法向量， ，令，则，故， 设与平面所成角为，. 即直线与平面所成角的正弦值为． 18.解：（1）因为点是圆上的动点， 所以，，由题意知，， 所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，即，， 所以，所以曲线的方程为．   （2）①由题意知，直线的斜率不可能为，设的方程为，，， 联立，整理得，所以，， 设，因为的内心恒在轴上，所以直线和直线的斜率互为相反数， 即，而，，所以， 即，所以， 整理得，所以，解得， 所以点坐标为． ②由①知，， 因为，且直线过点，所以直线的方程为， 设，，联立，消去得，， 所以，，， 所以， 所以四边形面积， 令，则，且， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值，故四边形面积的最小值为．    19.解：（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为， 所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8， 可得，， ，， ， 所以的分布列： 4 5 6 7 8 （2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子， 向上点数不是3的倍数概率，则 到达第步台阶有两种情况： ①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为， ②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为， 所以（）， 则（）， 所以数列（）是首项为，公比为的等比数列． （ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，，…，， 各式相加，得：，所以（）， 所以活动参与者得到纪念品的概率为 ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $福建省2026届高中毕业班复习检测（七） 2026.05 高三数学参考答案 2 3 6 7 8 9 10 11 B A D C B A B D ABD AC BCD 12 13 14 288 2V3 (0,1)U(1,+∞) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)设等差数列 的公差为以首项为-4， 则g=4+0m-1)d,即s,=[a+0n-d], 因为a2=S2-S=2(a+d)-4=a+2d=3,且S=5(a+4d)=25,即a+4d=5, 联立方程组 a+2d=3 a+4d=5”解得d=1,a-山，则S=1+(m-1)×1=t, 当n≥2时，a.=S。-Sn-1=2--1)2=2n-1,当n=1时，a=1=2×1-1,符合上式 所以数列{a,}的通项公式为an=2n-1. (2)因为a,=21-1,则bn=2(n+1)(a.+1)=2(n+1)×21=4(n+1), 1 11(11 可得64na+D4nn+月 设数列6 虹0)北片a 1 因为4n+ >0,则T.<4 1 所以五b, ,11 第1页共5页 16解：(1)f")=4x-1-42-1 若a≤0，则f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递减： 2G(负值舍去)， 1 若a>0,令4ax2-1=0,则x= 当te0,当(a时.f0, 2后，+0上单调递增： 1 上单调递减，在 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递减： 1 (1 当a>0时，f(x)在0，。 、2Wa 上单调递减，在 上单调递增： 2Wa’ 2)当x>1时，要证g(y)>0,即证>，即证e>er 即证e1>x,即证e4-x>0,令h(x)=e1-x,x>1,则h(x)=e-1>0, 所以h(x)在(L,+oo)上单调递增，又h()=e-1=0, 故h(x)>0,即e1-x>0,即得证. 17.解：(1)AB=2,BC=2√2，∠ABC=45°， 由余弦定理得4C2=AB2+BC2-24B.BC cos45°=4+82x2x25× 24 2 .AC=2,.AB2+AC2=BC2,.AC L AB, 又AC⊥BC,ABBC1=B,AB,BCC平面ABC1, AC⊥平面ABC1: (2)AC⊥平面ABC,CA,ABC平面ABC1,AC⊥CA且AC⊥AB, ∴.二面角C1-AC-B的平面角为∠BAC=60°，而CC=2√2， ·AC=VCC-AC2=V8-4=2=AB,.△ABC,为等边三角形， 以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，△ABC所在平面为xA=平面，建立如图所 示的空间直角坐标系， 第2页共5页 ZA A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),C1,0,3, B 由C=AC→4(1，-2B),BC=（1,0,5),AB=(2,0,0),A4=1,-2,5), 设平面AA4B,B的一个法向量i=(x,y,), AB.i=(2,0,0)(x,y,2=2x=0 4i=(1-2W(y习=x-2y3z=0令y=5,则z=2,故n=(0,5,2, 设BC,与平面A4BB所成角为0，.sin0= BC·2521 BC网 2×√7 7 即直线BC,与平面A48B所成角的正弦值为 7 18.解：(1)因为点M是圆F:(x+1)2+y2=16上的动点， 所以F(-1,0),|M=4,由题意知，1W1+|,月NE|+M1HM=4EE,=2, 所以点N的轨迹是以F(-1,0)、F,(1,0)为焦点的椭圆，且2a=4,2c=2,即a=2,c=1, 所以b=2-c=V5,所以曲线C的方程为+上 43 =1. (2)①由题意知，直线WP的斜率不可能为0，设NP的方程为x=y+1,N(5,),P(x2,y2), 联立=+1 x抄-12整理得(++60-90，所以5*年 设S(x,O),因为△SP的内心恒在x轴上，所以直线SN和直线SP的斜率互为相反数， 即+。=0，而产所以”气”=0， x1-x0 x1-Xo x2-Xo 即y(x2-x)+y2(化1-x)=0,所以y2+1-x)+y,(y+1-x)=0, 整理得2+0-0+=0，所以2+0-x0X0,解得%=4， 所以s点坐标为(4,0). 第3页共5页 ②由①知，12外+FX-为F+.h4+西_12f+ 3t2+4 3t2+4 因为NP⊥QR,且直线QR过点F(-1,0),所以直线QR的方程为y=-t(x+1), 设e.联立2消去y件，+++-12-0. 所以- &2 ,△=64t4-4(4t2+3)(4t2-12)=144(t2+1), 4t2+3 所以Q风=+（←-k,-x=+.144+D_1202+D， 4t2+3 4t2+3 所以四边形RPe面积30)=PQR;12g+.12+)-72+ 2 232+44t2+3(3t2+4(4t2+3)’ 令t2+1=m,则t2=m-1,且∈[1，+o), S(t)=S(0m)= 72m2 72 72 288 (3m+104m-)6+14-) 3+)+4-1) 49 所以 m 22 2 当且仅当，Dm=2时，S0取得最小值288 49 ，故四边形RPQ面积的最小值为288 49 19,解：(1)由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为号，爬两步台阶的概率为}， 所以随机变量X可能取值为4,5,6,7,8， 可得P(X=4) (x=6-c-x=y-c号品 px-8-6 所以X的分布列： 第4页共5页 X 4 5 6 8 16 32 24 8 P 81 81 81 81 81 (2)(1)证明： =1,即爬一步台阶，是第1次掷骰子， 向上点数不是3的倍数概率P= 1 则BD=3 到达第n步台阶有两种情况： ①前一轮爬到第n-2步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为5卫-2， ②前一轮爬到第n-1步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为卫-1， 所以卫.=3P+3P1（n=2,37), 则Pn-卫a-1=- 3D-P2)（n=23,7) 所以数列弘，-P}(n=127)是首项为}公比为-的等比数列。 (ii)因为数列{P-P}是首项为- ’公比为-，的等比数列， 所以P。-P-1= 各式相加， 得：P-P= (川期子到a。 所以活动参与者得到纪念品的概率为 含：片片周测 第5页共5页 福建省2026届高中毕业班复习检测（七） 2026.05 高三数学 ★策马扬鞭，共赴锦绣★ 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知为第二象限角，，则 A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知集合，则 A. B. C. D. 4. 直线与圆交于，两点，则当取最小值时， A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 5. 函数的图像关于直线对称，则 A. B. C. D. 6. 已知为自然对数的底数，，，，则 A. B. C. D. 7. 已知等边的边长为，是所在平面内的动点，且，则的取值范围为 A. B. C. D. 8. 已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，则的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 如下表的5组样本数据为与的线性相关关系，经验回归方程为，则 x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 A. B. 当时，的预测值为 C. 样本数据的分位数为 D. 去掉样本点后，样本相关系数不变 10. 已知函数，则 A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 有且仅有1个零点 11. 现进行如下试验：从1，2，3，…，10中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从1，2，…，中任选一个数，记为，若，则试验结束；依此类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率，则 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相邻，则排法的种数共有 ． 13. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为 ． 14. 函数有2个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）记为数列的前n项和，已知，，是等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，证明： 16.（15分）已知函数，，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，． 17.（15分）如图，在三棱柱中，，，，. （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为， 求直线与平面所成角的正弦值. 18.（17分）已知点是圆上的动点，，线段的中垂线与直线交于点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线的另一交点为，过且垂直于的直线与曲线交于点Q，R． ①若为轴上的一点，且△的内心恒在轴上，求点坐标； ②求四边形面积的最小值． 19.（17分）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记． （1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列； （2）①求证：数列（）是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $福建省2026届高中毕业班复习检测（七） 2026.05 高三数学 衡策马杨鞭，共赴锦绣★ 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知a为第二象限角，tana=- 41 则cosa= A-是 B吉 c D 2.复数z=(1-2)i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知集合A={≤0}， 则AnN= A.{-1,0,1,2,3 B.{x-1≤x<3} C.{x-1<x≤3} D.{0,1,2,3 4.直线y=kx-k+1与圆x2+y2=4交于M,N两点，则当MN取最小值时，k= A.1 B.2 C.-1 D.-2 5.函数y=V3sin(4x+p)+cos(4x+p)(0<p<m)的图像关于直线x=对称，则0= A名 B. C. 7 D. 6已知e为自然对数的底数，a=2b=e2sin片c-品则 A.c>a>b B.a>b>c C.a>c>b D.b>c>a 7.已知等边△ABC的边长为V3,D是△ABC所在平面内的动点，且AD=5,则BD-2CD 的取值范围为 A.[2,6 B.[2,8 C.「4,6 D.[4,8 8.已知二面角a-AB-B的大小为经0∈AB,P∈a,且∠P0A=若Q为B内异于O的任意 一点，则sin LPOQ的最小值为 A月 B. c. D② 4 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如下表的5组样本数据为y与x的线性相关关系，经验回归方程为)=bx+2.8,则 2 U y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 A.b=0.24 B.当x=8时，y的预测值为2.2 C.样本数据y的40%分位数为0.8 D.去掉样本点(3,1)后，样本相关系数r不变 10.已知函数f(x)=n(cosx)-x,则 Af的定义域为+2km<x<+2km,kEZ} B.f(x)是奇函数 C.fx)在(0，)上单调递减 D.y=f(x)+π有且仅有1个零点 11.现进行如下试验：从1,2,3，…，10中任选一个数，记为a1,若a1=1,则试验 结束：否则再从1,2，…，a1-1中任选一个数，记为a2,若a2=1,则试验结束： 依此类推，直至选中1为止.记事件A:=“试验过程中，数字被选到”，P:表示事件A 发生的概率(i=1,2,3,,10),则 A两治 B=品+Po+后 C.P(AglAg)=P(AglA10) D.P(AA)=pp(i,je{1,2,,10}且i≠j) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在 一起，丁和戊不能相邻，则排法的种数共有 13.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为8π， 则圆柱的底面半径为一 14.函数f()=enx+xe_anx-a(aeR)有2个不同的零点，则实数a的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第2页共4页 15.(13分)记Sn为数列{a}的前n项和，已知a=3,S,=25, 是等差数列. (1)求{a}的通项公式： +++< (2)设6，=2(n+1a+1),证明：五+6，++64 16(15分)已知函数f(y=2ax2-2a-hx,g)=1e,其中aeR. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)证明：当x>1时，8(x)>0. 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,BC=2V2,∠ABC=45°，AC1BC1. (1)证明：AC⊥平面ABC: (2)若CC=2√2，二面角C1-AC-B的大小为60°， B 求直线BC,与平面AABB所成角的正弦值. B 第3页共4页 18.(17分)已知点M是圆E:(x+1)2+y2=16上的动点，F1,0),线段M2的中垂线与直 线M交于点N,点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线NF,与曲线C的另一交点为P,过F且垂直于W,的直线与曲线C交于点Q,R. ①若s为x轴上的一点，且△SWP的内心恒在x轴上，求s点坐标； ②求四边形RPO面积的最小值. 19.（17分)杭州亚运会吉祥物为一组名为江南忆的三个吉祥物宸宸”，“琮琮”，“莲莲”， 聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的 热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他 们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次 骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达 第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢 得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶，记队员到达第n步台阶的概率为P,（0≤n≤8)， 记p。=1. (1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列； (2)①求证：数列{P.-P-1}(1≤n≤7)是等比数列； ②求队员赢得吉祥物的概率. 第4页共4页