福建省2026届高中毕业班复习检测练习卷（四）高三数学自编模拟卷

福建省2026届高中毕业班复习检测（四） 2026.02 高三数学参考答案 6 7 8 9 10 11 B C D B D B ABC AC BD 12 13 14 -5 3 2:5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15解，D因为2a+m4B-君引m(爱-cC=-(4- 61 可得2sinB+V3 m(-)e(m 则2sinB= 9pna+8nH-B月5H-Bwt-Bj=oam5-n6n8, 又因为Be0列，则n2≠0，可得V5ceA+im4=2,则sm4+写-1 且4e0网：则A(俗)得4+号- ,所以A-乃 32 6 （2)设a=b=C=2R,则a=2Rsi4b=2 RsinB,.c=2 RsinC, sinA sinB sinc 因为bcosC+ccosB=1,即2 RsinBcosC+2 RsinCcosB=1, 可得2Rsin(B+C)=2 Rsin A=l,即a=1. 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA,即b2+c2-V3bc=1, 又因为b2+c2≥2bc,则2bc-√5bc≤1，解得bc≤2+√5， 当H仅当6=6=56时等号成立，彩8==02生 4 4 所以ABC面积的最大值为2+5 4 第1页共5页 16.?解：(1)12×0.04+13×0.05+14x0.25+15×0.35+16×0.18+17×0.1+18×0.03=15, ∴.估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值为15， (12-15)2×0.04+(13-15)2×0.05+(14-15)2×0.25+(15-15)2×0.35+(16- 15)2×0.18+(17-15)2×0.1+(18-15)2×0.03=1.66, .估计这一地区居民点疏散所需时间t的方差为1.66： .均值为15，方差为1.66. (2):17小时，18小时两组的频率之比为10：3， .在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， X可取0,1,2,3. P(X=0)=CC-28 C%143:P(X-1)=CC-70 C31439 P(X=2)=C5C40 C =43:P(X=3)=c3C5 C143 X的分布列为 X 0 1 3 28 70 40 5 143 143 143 143 17.解：(1)AB=AE=1,BF=2,.BE=EF=√2， BE2+EF2=BF2,.BE⊥EF. :QE=2,QB=√6，.BE2+QE2=QB2, ∴.BE⊥QE.又EF,OEc平面EFPQ,EF∩OE=E, .BE⊥平面EFPQ. (2)连结QF,QF=EF=√2，QP=2,QF2+EF2=QR2,.QF⊥EF. 过点E作EM/1OF,则EM⊥EF. 又BE⊥平面EFPQ,则BE⊥EF,BE⊥EM,EF⊥EMM, 以E为原点，EB,EF,EM所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 第2页共5页 则iao.P0o.59ee回， w-i5-回.-i0.w--9吗 0 设平面PBF的法向量为元=(x,y,Z) BF.元=0， 「-√2x+V2y=0, PF.=0 即 5,-5-0 2 2 取x=1,可得i=(1,1,-1). 设直线QB与平面PBF所成的角为O, OB.n V2 1 则sin8=cos(B, V3x√63 枚直线OB与平面PBP所成角的正弦值为号 18.解：（1)解：易知椭圆左焦点坐标为(-1,0)，则直线1方程为y=√2x+√2， (x2 联立 =1 解得 x=0, 或 y=V2x+v2 ly=v2 (y=、21 2 则点N的坐标为(-多，-号)， (2)证明：易知直线1的斜率存在且不为0，且设为k, 则联立 +-1. 消去y得(32+2)x2+62x+32-6=0, y=k(x+1) X1+x2=- 6k2 设M(x1,),N(x2,2),则 3k2+2 x1·x2= 3k2-6 3k2+2 由EM=AM,EN=AN,且点E的横坐标为O, 得x1=入(x1+1),x2=μ(x2+1), 从而：+=斋+条=2-（清+）-2品 第3页共5页 6k2+2 3k2+2 =2-3266k2+1 =3,.入+μ为定值，且入+μ=3. 3k2+23k2+2 (3)解：假设存在直线：y=k(x+1)满足题意，则△MB的内切圆的半径为 4 又A(-1,0)、B(1,0)为椭圆的焦点， 故△0B的周长为4，从而S,wa-支×45×号-B 1 设M(x1,y1)、N(x2,2), SMwB-AB1-以=k1-x=y3 1 即VG+x)2-4=83 91 由(2)两方程联立得(3k242)x2+6k2x+32-6=0, 得k(-P-4×-1-结化简得45-3-16=0 解得处=号或2-一治（含去）放k=士语 即存在直线：y-土号(c+1)满足题意。 19解，D当a=时，f=士含x(xo0, 则1草会-- 2x2 当e0》2m)时，f0,当e32f0, 所以J()在Q)和(2+)上严格递增，在22上严格递减， 所以)的极大值为)h2 ,极小值为f(2) 3_5n2 22 所以得fa-(2g习 ,所以f(x)是极值差比函数 (2)f)的定义域为(0+0），f'()-=1+交x 1ax2-a+1 假设存在a使f(x)的极值差比系数为2-a, 则X,x2是方程x2-心+1=0的两个不相等的正实数根， △=a2-4>0 则x+x2=a,解得a>2,不妨设x<2,则x2>1, Y2=1 第4页共5页 因为-fc)=a-飞ahx 所以2-a=2-血，从而本m 1-X2X2 h=1,得--2h5=0 x, 令8()=x12hx(x>1D,g付--2x+1_-10 x2 x2 所以g(x)在(1，+∞)上是严格增函数，所以g(x)>g(1)=0, 因此(*)无解，所以不存在a使f(x)的极值差比系数为2-a; ③)由2)知极值差比系数为2血子，即2血 1-X2x2 不妨设0<x<x,令t=是，t∈(0,1)，极值差比系数可化为2-ht, t-1 r-t-之2-12，又9a解相行 1 2 t+--t 令0=2r1e分阳= (t-1)2 设n0=2+1.M0是-1-”--s0 t 所以在[子]上单调递减，当时.)：日h0=0, 从面P0>0,所以p0在行引上单调递落，所以日)产0=)】 即29n2≤p0s2-3h2 所以∫(x)的极值差比系数的取值范围为 2g22-3地2 第5页共5页 福建省2026届高中毕业班复习检测（四） 2026.02 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 设，，若，则 A. 1 B. C. D. 1 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，若正实数，满足 ，则的最小值是 A. 8 B. 2 C. D. 4. 单位向量，满足，则与的夹角为 A. B. C. D. 5. 已知等差数列的公差不为，，若数列也是等差数列，则 A. 24 B. 20 C. 18 D. 15 6. 已知椭圆：，过椭圆的焦点的直线与椭圆交于，两点，设线段的中点为.若，则 A. B. 1 C. 2 D. 9 7. 已知函数，存在唯一的最小值点，则的取值范围为 A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列有关说法正确的是 A. 设随机变量，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 数据17，13，15，27，30，24，19，12，23，14的第70百分位数是23.5 D. 若有4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则 不同的安排方法有72种 10. 已知函数在区间上有且仅有个零点，则 A. 的取值范围是 B. 的图像在上有且仅有个最高点 C. 的图像在上最多有有个最低点 D. 在上单调递增 11. 正方体的边长为1，，，为，，的中点，是平面上的一点，则 A. 平面截正方体所得的截面为五边形 B. 平面与平面夹角的正切值为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. ，交于，绕将上底面旋转的到正方形，连接得到一个十面体，其体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若，则 ． 13. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，分别在边和上，且把的面积分成相等的两部分，则的最小值为 ． 14. 在平面直角坐标系中，点和抛物线，过的焦点且斜率为 的直线与交于，两点.记线段的中点为，线段的中点在上，则的值为 ； 的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的最大值． 16.（15分）当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间取整）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 （1）根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； （2）根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列． 17.（15分）如图1，在矩形中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示.                   图1                                    图2 （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18.（17分）已知椭圆1，过椭圆的左焦点A的直线l与椭圆交于M、N两点（M 点在N点的上方）与y轴交于点E． （1）若直线l的斜率为，求N点的坐标； （2）设λ，μ．求证：λ+μ为定值，并求出该值； （3）若椭圆E的右焦点为B，△MNB内切圆的半径为，求直线l的方程． 19.（17分）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省2026届高中毕业班复习检测（四） 2026.02 高三数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C D C B A D B ABC AC BD 12 13 14 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：（1）因为，， 则， 可得， 则， 又因为，则，可得，则， 且，则，得，所以． （2）设，则， 因为，即， 可得，即． 由余弦定理可得，即， 又因为，则，解得， 当且仅当时等号成立，得， 所以面积的最大值为． 16.解：（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 17.解：（1），，， ，. ，，， .又，平面，， 平面. （2）连结，，，，. 过点作，则. 又平面，则，，， 以为原点，，EF，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则即 取，可得. 设直线与平面所成的角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 18.解：（1）解：易知椭圆左焦点坐标为 （﹣1，0），则直线 l 方程 为 ， 联立 ，解得 或， 则点N的坐标为． （2）证明：易知直线 l 的斜率存在且不为 0，且设为 k， 则联立 ，消去 y 得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则， 由 ，且点 E 的横坐标为 0， 得 x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1）， 从而： ，∴λ+μ 为定值，且 λ+μ＝3． （3）解：假设存在直线 l：y＝k（x+1）满足题意，则△MNB 的内切圆的半径为 ， 又 A（﹣1，0）、B（1，0）为椭圆的焦点， 故△MNB 的周长为 ，从而， 设 M（x1，y1）、N（x2，y2）， 则， 即 ． 由 （2）两方程联立得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0， 得，化简得 45k4+33k2﹣16＝0， 解得 或 舍去 ），故 ， 即存在直线 满足题意． 19.解：（1）当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $福建省2026届高中毕业班复习检测（四) 2026.02 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x0<x+1<4,B={xx-1∈A,则AUB= A.{x0<x<3} B.{x-1<x<4}C.{xl0<x<2}D.{x-1<x<3} 2.设a>0,b>0,若2a+b2i=b+2ai,则ab= A.-1 B-月 c D.1 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增，若正实数a,b满足 f(2a)+fb-6)=0,则+的最小值是 A.8 B.2 c D. 4.单位向量a,b满足I3a-2bl=√7，则a与b的夹角为 A名 B. c D. 5.已知等差数列{an的公差不为0，Q1=12,若数列+1 也是等差数列，则a3= an A.24 B.20 C.18 D.15 6.已知椭圆C:mx2+y2=1,过椭圆的焦点F(V3,0)的直线l与椭圆交于P1,P2两点，设 线段P1P2的中点为P.若P ,- 9) 则m+n= A月 B.1 C.2 D.9 7.已知函数f(x)= (a-1)x+a,x<1 ,存在唯一的最小值点a,则a的取值范围为 0x2+ax-1,x≥1 A.(-o,8) B.(-0,1] C.(-8,1) D.(-∞，-8] 8.已知函数f)=sin(ox+)(ω>0)在区间(-，)上单调递增，且在区间(0，)内 至少有一个零点，则ω的取值范围为 A.(G, B.作，] c.(经，2 D.(G,2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 第1页共4页 9.下列有关说法正确的是 A.设随机变量x~B(6,),则E(2x+1)=5 B.设随机变量服从正态分布N(u,2),若P(飞<-1)=P(飞>9)，则μ=4 C.数据17,13,15,27,30,24,19,12,23,14的第70百分位数是23.5 D.若有4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则 不同的安排方法有72种 10.已知函数f()=sin(ωx+)(u>0)在区间[0,2列上有且仅有5个零点，则 Aω的取值范围是侣，器) B.f(x)的图像在(0，π)上有且仅有3个最高点 C.f(x)的图像在(0,2π)上最多有有3个最低点 D.f()在(0，)上单调递增 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，P,M,N为A1D1,AB,CC1的中点，Q是平面PMN 上的一点，则 A.平面PMN截正方体所得的截面为五边形 B.平面PMN与平面ABCD夹角的正切值为V2 C.若BQ=1,则Q点的轨迹长度为2π D.A1C1,B1D1交于0，绕0将上底面旋转的到正方形EFGH,连接得到一个十面体，其 体积为29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若(2+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+..+a8x8,则a1+a2+..+g= 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,cosB=b cos C,P、Q 分别在边AB和CB上，且PQ把△ABC的面积分成相等的两部分，则PQ的最小值为 14.在平面直角坐标系中，点P(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点F且斜率为k(k>0) 的直线与C交于A,B两点记线段AB的中点为M,线段MP的中点在C上，则k的值为一： IAF·IBF的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第2页共4页 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sinB+sin(A-B-= sim(g-c） (1)求A; (2)若bcosC+ccosB=1,求S△ABC的最大值. 16.(15分)当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居 民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间t(最接近的时间取整)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而 寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求X的 分布列. 17.(15分)如图1，在矩形ABCD中，AB=1,AD=3,点E,F分别在边AD,BC上， 且AE=CF=1.将四边形EFCD沿EF翻折至四边形EFPQ,使得QB=√6，如图2所示. 0 F 图1 图2 第3页共4页 (1)证明：BE⊥平面EFPQ; (2)求直线QB与平面PBF所成角的正弦值. x2,y2 18.(17分)已知椭圆3+ =1,过椭圆的左焦点A的直线I与椭圆交于M、N两点(M 2 点在N点的上方)与y轴交于点E, (1)若直线1的斜率为V2,求N点的坐标： (2)设EM=λAM,EN=AN.求证：+μ为定值，并求出该值： 4 (3)若椭圆E的右焦点为B,△MB内切圆的半径为。求直线I的方程. 19.(17分)定义：如果函数f(x)在定义域内，存在极大值f(x)和极小值f(x2),且存在 一个常数k,使f(x)-f(x2)=k(x-x2)成立，则称函数∫(x)为极值可差比函数，常数k称 为该函数的极值差比系数.已知函数f(x)=x- .-alnx. ①)当时，判断fs)是香为极值可差比函数，并说明理由 (2)是否存在a使f(x)的极值差比系数为2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明 理由； (3)若√2 2 ≤口≤，求了c)的极值差比系数的取值范围， 第4页共4页