精品解析：江西省上高二中2025-2026学年下学期高二第七次阶段性练习数学试题

2027届高二第七次阶段性练习数学试题 一､单选题 1. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 27 【答案】A 【解析】 【详解】由题意及等比数列的性质可得，又是正项等比数列，则，故. 2. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列中，由得， 所以. 4. 随机变量X的取值有0，1，2，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以①， 又因为，所以，即②， 联立①②，解得，， 所以， 所以. 5. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递减数列定义可得，代入计算即可得解. 【详解】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 6. 数列：称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列满足.记该数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推关系变形可得，然后裂项相消法求和即可判断各选项. 【详解】由可得： ，故A错误； 移项可得，故C正确； 同理，故B错误； 移项可得，故D错误； 故选：C 7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ） A. 7或 B. 5或 C. 3或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第n次球在甲手中的概率表达式，由于乙、丙地位对称，求出第n次球在甲手中的概率由对立事件即可得到经过次传球后，球恰在乙手中的概率. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第n次球在乙手中”，“第n次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，可构造等比数列， ， 因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 所以乙、丙地位对称，即，所以经过n次传球后， 球恰在乙手中的概率为. 故选：D. 二､多选题 9. 下列说法中正确的是(多选)（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心． B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位． D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近，正确； 对于C，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少个单位，正确； 对于D，根据平均数的计算公式得，由方差公式可得： ，故错误 10. 某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求得随机变量的期望与方差，设随机变量为面试完成后答对题的数量，根据二项分布的期望与方差公式求得，由题意可得，根据期望与方差的性质可得，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为， ， 所以， ， 记随机变量为面试完成后答对题的数量， 由题意可得随机变量服从二项分布，即， 所以， 由题意可得， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，随机变量与之间没有确定的关系，故C错误； 对于D，，故D正确. 11. 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 三､填空题 12. 若数列的前项和，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知， ． 13. 已知随机变量，且，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正态分布的对称性，求得，由二项分布的性质，结合题意得,从而求得. 【详解】随机变量，且， 所以，即. 因为， 所以. 所以. 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 四､解答题 15. 记等差数列的前n项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质及前项和公式列式求出公差及即可. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设的公差为，则，解得， 由，得，解得， 所以， . 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 16. 如图，在三棱柱中，侧面与侧面均为正方形，E，F分别是，的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 因为侧面为正方形， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）以为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面， 又平面，所以， 又侧面为正方形，所以， 又，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由及题意可得， 所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得 取，则，，所以. 设平面的法向量为， 由得 取，则，，所以. 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足：，；数列的前项和． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， ， 当时， 当时，符合， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， ① ② ①②可得： ， 所以. 18. 某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值并估计记为“优秀”的最低分数； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 【答案】（1），88分 （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出，进而可求出“优秀”的最低分数； （2）先求出每一层的分数，再求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式或超几何的期望公式，即可求出期望； （3）利用正态分布的性质得，根据题设有，再由二项分布的期望计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由图可知， 解得. 因为， 则成绩由高到低的前分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则记为“优秀”的最低分数为88分. 【小问2详解】 样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为， 则的所有可能取值为1，2，3，4． ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 方法一：. 方法二：服从参数的超几何分布，故. 【小问3详解】 由题意得，， 由，所以， 所以 ， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186， 故，所以. 19. 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 【答案】（1）， （2） ①方法一： 设，， 则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值． 方法二： 因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为，显然． 设，． 联立，整理得． 所以. 已知， 所以的重心的纵坐标， 所以，解得． 因此，直线的斜率，为定值． ②因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以. 设为的中点，则： ，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得. 法一： 令，代入方程，解得， 因此，直线经过定点． 因为，于， 所以在以为直径的定圆上． 法二： 由于，， 所以的方程为，即， 联立，得 即． 令，则，， 令，则，， 令，则，， 求得经过，，的圆方程为， 代入的坐标符合，所以在定圆上． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义结合求出，进而得到抛物线方程，将点代入抛物线方程即可求出. （2）①方法一：利用作差法及重心坐标公式证明即可.方法二：设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合重心坐标公式证明即可.②结合①设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，即可求出直线方程. 方法一：求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动.方法二：求出的方程，与直线方程联立，得到点坐标，取特殊点求出圆的方程，再将点坐标代入验证即可. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为． 根据抛物线定义，，所以． 因此，抛物线的方程为． 将代入抛物线方程：，又，故． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二第七次阶段性练习数学试题 一､单选题 1. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 27 2. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 4. 随机变量X的取值有0，1，2，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 数列：称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列满足.记该数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ） A. 7或 B. 5或 C. 3或 D. 1或 8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列说法中正确的是(多选)（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心． B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位． D. 某7个数平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． 10. 某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（ ） A B. C D. 11. 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 三､填空题 12. 若数列的前项和，则________． 13. 已知随机变量，且，，则________. 14. 甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中选修课数量，则的数学期望为______． 四､解答题 15. 记等差数列的前n项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列的前n项和． 16. 如图，在三棱柱中，侧面与侧面均为正方形，E，F分别是，的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列满足：，；数列的前项和． （1）求数列和通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值并估计记为“优秀”的最低分数； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 19. 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $