2026年中考数学一轮复习 高频考点专练21 平行四边形（讲义+练习+测试）(广东专用)

高频考点专练21 平行四边形 (3个知识点+4个题型+1个专练+验收卷) 1. 平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2. 平行四边形的性质:1)对边平行且相等; 2)对角相等、邻角互补; 3)对角线互相平分; 4)平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 3.平行四边形的判定定理: ①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.三角形中位线概念:连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 5.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 拓展: 结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半. 结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 类型1 平行四边形的性质 【例题】 1.(2022 广东 中考真题)如图,在中,一定正确的是( ) A. B. C. D. 【变式】 2.(2025 广东深圳 二模)如图,某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成,若,则该楼梯的坡角的值为( ) A. B. C. D. 3.(2025 广东云浮 一模)如图,在中,是的平分线,延长交的延长线于点.若,,则的长为( ) A.12 B.15 C.18 D.21 4.(2024 广东深圳 模拟预测)如图,的顶点A,C分别在直线上,,若 则的度数为( ) A. B. C. D. 5.(2025 广东惠州 一模)如图,在中,,相交于点,,.过点作的垂线交于点,记长为,长为.求的值( ) A.2 B. C.1 D.没法求出 6.(2025 广东广州 二模)如图,将平行四边形沿对角线折叠,使点落在处.若,,则的度数为( ) A. B. C. D. 7.(2025 广东清远 一模)如题图,在平行四边形中,,,以点D为圆心,任意长为半径画弧,交于点P,交于点Q,分别以P、Q为圆心,大于为半径画弧交于点M,连接并延长,交于点E,连接,则( ) A.平分 B. C. D. 8.(24-25九年级下 广东广州 开学考试)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形的顶点,点在第一象限内.顶点在轴上,经过点的反比例函数的图象交于点.若点为线段的中点,则平行四边形的面积为( ) A. B. C. D. 9.(2025 广东汕头 一模)如图,在平行四边形中,,,,点E是边上的动点,连接,,过点A作于点F.设,,则y与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)( ) A. B. C. D. 10.(2025 广东广州 一模)如图,在平面直角坐标系中,点,,,,,,……都是平行四边形的顶点,点,,……在轴正半轴上,,,,,,,……,平行四边形按照此规律依次排列,则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( ) A. B. C. D. 类型2 平行四边形的判定 【例题】 11.(2016 广东广州 中考真题)如图,利用尺规,在的边上方作,在射线上截取,连接,并证明:.(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法) 【变式】 12.(2025 广东广州 二模)如图,.求证:四边形是平行四边形. 13.(2023 广东清远 一模)如图,在四边形中,,,,垂足分别为,,且.求证:四边形是平行四边形. 14.(2025 广东清远 二模)如图,在中,点E为中点,交于点D. (1)请用无刻度的直尺和圆规作,使,且射线交于点F(保留作图痕迹,不写作法); (2)试判断(1)中得到的四边形的形状,并说明理由. 15.(2022 广东汕头 一模)如图,在中,,O是的中点,点M在的延长线上. (1)作的平分线,连接,并延长交于点D,连接(用尺规作图,并在图中标明相应的字母,保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,判断四边形的形状,并证明你的结论. 16.(2023 广东 模拟预测)如图,的直角边在轴上,,边交轴于点,点在反比例函数第一象限的图像上,所在直线的解析式为,其中点,. (1)求的值; (2)将沿着轴正方向平移个单位长度得到,边与反比例函数的图像交于点,问当为何值时,四边形是平行四边形. 类型3 三角形的中位线 【例题】 17.(2022 广东 中考真题)如图,在中,,点D,E分别为,的中点,则( ) A. B. C.1 D.2 【变式】 18.(2020 广东 中考真题)已知的周长为16,点,,分别为三条边的中点,则的周长为( ) A.8 B. C.16 D.4 19.(2025 广东 中考真题)如图,点,,分别是各边上的中点,,则( ) A. B. C. D. 20.(2025 广东佛山 三模)如图,的对角线相交于点,是的中点,,则的周长为( ) A.13 B.14 C.19 D.28 21.(2025 广东深圳 二模)如图,在中,,为的中位线,连接.若,则的度数为( ) A. B. C. D. 22.(2025 广东韶关 一模)如图,在等腰中,,AD平分,点E为AC的中点,则DE的长等于( ) A.8 B.6 C.4 D.5 23.(2025 广东梅州 模拟预测)如图,在等边三角形中,是边上的中线,延长至点E,使,点F,G 分别是 ,的中点.若 则的长为( ) A.2 B. C. D.4 24.(2025 广东广州 一模)如图,在中,,为中线,,,若,,则_. 类型4 平行四边形的性质和判定 【例题】 25.(2012 广东广州 中考真题)如图,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB交BC于点E,且EC=3,则梯形ABCD的周长是【 】 A.26 B.25 C.21 D.20 【变式】 26.(2025 广东珠海 一模)如图,点在的对角线上,过点作,.已知,,,则四边形的面积是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 27.(22-23八年级下 广东深圳 期末)如图,,直线与直线之间的距离为4,点是直线与外一点,点到直线的距离为2,点,分别是直线与直线上的动点,以点为圆心,的长为半径作弧,再以点为圆心,的长为半径作弧,两弧交于点,则点与点之间距离的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 28.(2025 广东深圳 二模)如图,一束激光射入水面,在点A处发生折射,折射光线在杯底形成光斑B点.水位下降时,光线保持不变,此时光线在点C处发生折射,光斑移动到D点.因水面始终与杯底平行,则折射光线.若,,则的度数为_. 29.(2025 广东深圳 模拟预测)如图,等腰中,,、、分别是,,的中点,则的周长为_. 30.(2020 广东广州 中考真题)如图,点A的坐标为,点在轴上,把沿轴向右平移到,若四边形的面积为9,则点的坐标为_. 满分:100分 得分:_ 一、单选题(每题3分,共36分) 1.(2025 湖北 中考真题)如图,平行四边形的对角线交点在原点.若,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 2.(2025 江苏无锡 中考真题)在中,、分别是、的中点.若,则的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.(2025 贵州 中考真题)如图,在中,,以为圆心,长为半径作弧,交于点,则的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.(2025 四川资阳 中考真题)三角形的周长为,则它的三条中位线组成的三角形的周长是( ) A. B. C. D. 5.(2025 广东 中考真题)如图,点,,分别是各边上的中点,,则( ) A. B. C. D. 6.(2025 山西 中考真题)如图,在平行四边形中,点是对角线的中点,点是边的中点,连接.下列两条线段的数量关系中一定成立的是( ) A. B. C. D. 7.(2025 四川广元 中考真题)如图,在平行四边形中,,对角线,交于点O,点P是的中点,连接,点E是的中点,连接,则的长是( ) A.1 B. C.2 D.4 8.(2025 江苏宿迁 中考真题)如图,在中,,点、、分别是边、、的中点,则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 9.(2025 安徽 中考真题)在如图所示的中,,分别为边,的中点,点,分别在边,上移动(不与端点重合),且满足,则下列为定值的是( ) A.四边形的周长 B.的大小 C.四边形的面积 D.线段的长 10.(2025 河南 中考真题)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为,的三个顶点均在网格线的交点上,点D、E分别是边、与网格线的交点,连接,则的长为( ) A. B.1 C. D. 11.(2025 黑龙江 中考真题)如图,在中,,点、分别在边和上,且,,连接,点、分别是、的中点,连接,则的长度为( ) A. B. C.2 D. 12.(2025 甘肃 中考真题)如图1,在等腰直角三角形中,,点D为边的中点.动点P从点A出发,沿边方向匀速运动,运动到点B时停止.设点P的运动路程为x,的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到的中点时,的长为( ) A.2 B.2.5 C. D.4 二、填空题(每题3分,共24分) 13.(2025 河北 中考真题)平行四边形的一组邻边长分别为,,一条对角线长为.若为整数,则的值可以为 .(写出一个即可) 14.(2025 新疆 中考真题)如图,在中,的平分线交于点E,若,则 . 15.(2025 江苏淮安 中考真题)如图,在中,对角线交于点O,,点E、F分别为的中点,连接,若,则 . 16.(2025 黑龙江齐齐哈尔 中考真题)如图,在中,,连接,分别以点A,C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点E,F,作直线,交于点M,交于点N,若点N恰为的中点,则的长为 . 17.(2025 甘肃平凉 中考真题)如图,把平行四边形纸片沿对角线折叠,点B落在点处,与相交于点E,此时恰为等边三角形,若,则 cm. 18.(2025 陕西 中考真题)如图,在中,,,.动点,分别在边,上,且,以为边作等边,使点始终在的内部或边上.当的面积最大时,的长为 . 19.(2025 湖南 中考真题)如图,在中,,点是的中点,分别以点,为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧相交于点,,直线交于点,连接,则的长是 . 20.(2025 江苏扬州 中考真题)如图,在中,点,分别是边,的中点,点在线段的延长线上,且,若,,则的长是 . 三、解答题(共40分) 21.(2025 江苏盐城 中考真题,8分)如图,点、在的对角线上.若_,则四边形是平行四边形.请从①;②;③这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由. 22.(2025 四川巴中 中考真题,8分)如图,已知,,,. (1)求证:; (2)求的度数. 23.(2025 江苏苏州 中考真题,8分)如图,C是线段的中点,. (1)求证:; (2)连接,若,求的长. 24.(2025 山东淄博 中考真题,8分)已知:如图:在中,,分别为边,的中点,.求证: (1); (2). 25.(2025 北京 中考真题,8分)在中,,,点在射线上,连接,将线段绕点逆时针旋转得到线段(点不在直线上),过点作,交直线于点. (1)如图1,,点与点重合,求证:; (2)如图2,点,都在的延长线上,用等式表示与的数量关系,并证明. 平行四边形验收卷 满分:120分 得分:_ 一、单选题(每题3分,共42分) 1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( ) A. B. C. D. 2.如图,的顶点A,B,C的坐标分别是,则顶点D的坐标是( ) A. B. C. D. 3.如图,在中,点D为的中点,点H为上一点,连接,点E、F分别为的中点,连接,若,则的长为( ) A.5 B.8 C.16 D.2 4.如图,在平行四边形中,,,,是对角线上的动点,连接,则的最小值为( ) A. B. C. D. 5.如图,在中,D,E分别是边,的中点.将沿折叠,使点A落在平面上的处.下列不一定正确的是( ) A. B. C. D.是等腰三角形 6.如图,中,以点为圆心,长为半径画弧与相交于点,再分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在的内部相交于点,作射线与相交于点;分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于,两点,直线与相交于点.若,,则到的距离为( ) A.1 B. C.2 D. 7.如图,平行四边形的对角线交于点,点分别在的四条边上(不与顶点重合).如下方案中,不能判定四边形是平行四边形的是( ) A.使 B.使,均经过点 C.使经过点,且 D.点分别为各自所在边的中点 8.如图1,中,,为锐角.要在对角线上找点,,使四边形为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案( ) A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是 C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是 9.如图,现有一把直尺和一块三角尺,其中,,AB=8,点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移,使得 ABC移动到,点对应直尺的刻度为0,则四边形的面积是( ) A.96 B. C.192 D. 10.如图,是线段上一点,和是位于直线同侧的两个等边三角形,点分别是的中点.若,则下列结论错误的是( ) A.的最小值为 B.的最小值为 C.周长的最小值为6 D.四边形面积的最小值为 11.如图,,交于点,分别是的中点,选择图中的四个点为顶点画四边形,其中能画出的平行四边形有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 12.如图,正六边形中,是其对角线,点P是边上不与端点重合的动点,下面是两位同学的操作和结论: 嘉嘉 操作:过点P作,交延长线于点M. 结论:一定是正三角形 琪琪 操作:过点P作,分别交、于点Q、N. 结论:的长度不变 则对于这两个结论( ) A.嘉嘉和琪琪均错误 B.嘉嘉和琪琪均正确 C.嘉嘉正确,琪琪错误 D.嘉嘉错误,琪琪正确 13.如图,在平面直角坐标系中,已知点在轴正半轴上,且,点在轴负半轴上,且.若点是象限内的一点,则使得以,为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为( ) A. B. C. D.或 14.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,如图1,在正方形纸板中,.为对角线.E,F分别为的中点,连接,分别交于O,N两点,P,H分别为的中点,连接,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板,将这副七巧板拼成如图2所示的图形,则点Q到之间的距离为( ) A. B.4 C. D. 二、填空题(每题3分,共12分) 15.如图,在中,为的中点,过点且分别交于点.若,则的长为_. 16.如图,将沿(点分别在边上)折叠,使点与点重合,点落在平面上点处.若,,,则的长为_. 17.如图,在中,,,.动点,分别在边,上,且,以为边作等边,使点始终在的内部或边上.当的面积最大时,的长为_. 18.如图,在平行四边形的外侧,作等腰直角三角形,,且,,.取的中点,连接. (1)的长为_;(2)线段的长为_. 三、解答题(共66分) 19.(9分)如图,在中,D为的中点,连接. (1)用尺规作图法在的延长线上找一点E,连接,使得;(保留作图痕迹,不写作法,标明字母) (2)在(1)的条件下,连接,求证:四边形为平行四边形. 20.(9分)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称. (1)求证: AEF是等边三角形; (2)若AB=2,求 AFD的面积. 21.(9分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形.的顶点均落在格点上. (1)线段的长为_; (2)若点为半圆弧的中点,点为边上一点,且直线恰好平分这个图形的面积.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点和点,并简要说明它们的位置是如何找到的(不要求证明)_. 22.(9分)如图,在平行四边形中, (1)尺规作图:作对角线的中点(保留作图痕迹,不写作图过程); (2)过点作直线分别交,于点,, ①求证:; ②连接,若的外心在上,的周长为24,求平行四边形的周长. 23.(10分)如图,在中,点E在上,点P是上一点,分别与于点F,G,. (1)若,判断四边形的形状,并说明理由; (2)若,求证:; (3)若,直接写出DG的长. 24.(10分)如图,反比例函数的图象经过点,过点A作垂直y轴于点B, 的面积为5. (1)求k和m的值; (2)已知点在反比例函数图象上,直线交x轴于点M,求的面积; (3)过点C作轴于点D,连结,证明:四边形是平行四边形. 25.(10分)将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中,点,点,点在第一象限,且. (1)填空:如图①,点的坐标为_,点的坐标为_; (2)若为轴的正半轴上一动点,过点作直线轴,沿直线折叠该纸片,折叠后点的对应点落在轴的正半轴上,点的对应点为.设. ①如图②,若直线与边相交于点,当折叠后四边形与重叠部分为五边形时,与相交于点.试用含有的式子表示线段的长,并直接写出的取值范围; ②设折叠后重叠部分的面积为,当时,求的取值范围(直接写出结果即可). 第 1 页 共 20 页 学科网(北京)股份有限公司 $ 高频考点专练21 平行四边形 （3个知识点+4个题型+1个专练+验收卷） 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的性质：1）对边平行且相等； 2）对角相等、邻角互补； 3）对角线互相平分； 4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心． 3.平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4.三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线． 5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 拓展： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 类型1 平行四边形的性质 【例题】 1．（2022·广东·中考真题）如图，在中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 【变式】 2．（2025·广东深圳·二模）如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成，若，则该楼梯的坡角的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，然后由三角形内角和即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ． 故选：C． 3．（2025·广东云浮·一模）如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的顶点A，C分别在直线上，，若 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的外角，平行线的性质，延长交于点，平行线的性质得到，平行四边形的性质，得到，利用外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5．（2025·广东惠州·一模）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．求的值（   ） A．2 B． C．1 D．没法求出 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是2， 故选：A． 6．（2025·广东广州·二模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质及三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得到，然后根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， 故选：． 7．（2025·广东清远·一模）如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知平分，故选项A正确， 则， 在平行四边形中，，， ∴，，故B不正确， 则， ∴， ∴，则， 故无法判断选项C，D是否正确． 故选：A． 8．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，点在第一象限内．顶点在轴上，经过点的反比例函数的图象交于点．若点为线段的中点，则平行四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数求解，涉及了平行四边形的性质、中点坐标等知识点，设点，可推出点；根据求得；作，即可求解； 【详解】解：设点， ∵点，点， ∴点， ∵点为线段的中点， ∴点； ∵点、点均在反比例函数的图象上， ∴，解得：； 作，如图所示： 则， ∴平行四边形的面积， 故选：D 9．（2025·广东汕头·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数关系式，含30度角的直角三角形的性质，过D作，交延长线于H，根据平行四边形的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H， 平行四边形中，，， ，，， ， ， ， ， 又 ， ， ． 故选C． 10．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 类型2 平行四边形的判定 【例题】 11．（2016·广东广州·中考真题）如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析． 【分析】根据“等圆中，等弧所对的圆心角相等”作图即可；再根据“内错角相等，两直线平行”可判定两直线平行，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形的性质进行平行的证明． 【详解】解：如图，AD，CD为所做 因为 所以AE∥BC 因为AD=BC 所以四边形ABCD为平行四边形 所以CD∥AB． 【点睛】本题考查尺规作图；平行四边形的判定及性质． 【变式】 12．（2025·广东广州·二模）如图，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定等知识，熟知平行四边形的判定方法、证明三角形全等是关键； 根据平行线的性质可得，即可证明，得出，进而证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 13．（2023·广东清远·一模）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键 ．由已知条件易证，根据全等三角形的性质得到，从而得证，由平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 14．（2025·广东清远·二模）如图，在中，点E为中点，交于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断（1）中得到的四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作一个角等于已知角，平行四边形的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）解：如答图所示，为所求， （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 由（1）得， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． 15．（2022·广东汕头·一模）如图，在中，，O是的中点，点M在的延长线上． (1)作的平分线，连接，并延长交于点D，连接（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)平行四边形，证明见解析． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，推出，利用“”易证，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下： 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题关键掌握全等三角形的判定和性质与平行四边形的判定． 16．（2023·广东·模拟预测）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图像上，所在直线的解析式为，其中点，． (1)求的值； (2)将沿着轴正方向平移个单位长度得到，边与反比例函数的图像交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求得所在直线的解析式为，进而求出点的坐标，即可求出的值； （2）由于，故当时，四边形是平行四边形，由题意可得点的横坐标为，得到点的纵坐标，由，解方程即可求得． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴当时，， ∴，， ∵点在反比例函数第一象限的图像上， ∴， ∴的值为． （2）当时，， ∴，， ∵沿着轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴当时，四边形是平行四边形， 由（1）得反比例函数的解析式为， 由题意可得点的横坐标为， ∴点的纵坐标， ∴， 解得：，且符合题意； ∴当为时，四边形是平行四边形． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的判定．正确地作出图形是解题的关键． 类型3 三角形的中位线 【例题】 17．（2022·广东·中考真题）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解． 【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴， ∵BC=4， ∴DE=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键． 【变式】 18．（2020·广东·中考真题）已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（    ） A．8 B． C．16 D．4 【答案】A 【分析】由，，分别为三条边的中点，可知DE、EF、DF为的中位线，即可得到的周长． 【详解】解：如图， ∵，，分别为三条边的中点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的关键． 19．（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 20．（2025·广东佛山·三模）如图，的对角线相交于点，是的中点，，则的周长为（   ） A．13 B．14 C．19 D．28 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，求出的长是解题的关键．根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，点E为边的中点， ，， ． 故选：D． 21．（2025·广东深圳·二模）如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件得出为等腰三角形和顶角的度数，再根据三角形中位线的性质得出和，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵为的中位线， ，且， ， 故选：C． 22．（2025·广东韶关·一模）如图，在等腰中，，AD平分，点E为AC的中点，则DE的长等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和中位线定理的性质，根据已知条件求出 【详解】解：在等腰三角形中，，AD平分，为的中位线，对应的第三边为即可求解． D为的中点（等腰三角形三线合一）． 点E为的中点， 为连接两边中点的线段，符合中位线定理． 根据中位线定理，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于其一半， 此处，D是的中点，E是的中点， 为的中位线，对应的第三边为． ， 故选D． 23．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在等边三角形中，是边上的中线，延长至点E，使，点F，G 分别是 ，的中点．若 则的长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，进而可得，，在中，利用三角函数求得，根据三角形中位线的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵F，G 分别是 ，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 24．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，为中线，，，若，，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得出，根据三线合一的性质得出，然后根据三角形中位线定理即可求出． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶4． 类型4 平行四边形的性质和判定 【例题】 25．（2012·广东广州·中考真题）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【   】 A．26 B．25 C．21 D．20 【答案】C 【详解】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质． ∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴BE=AD=5． ∵EC=3，∴BC=BE+EC=8． ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4． ∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．故选C． 【变式】 26．（2025·广东珠海·一模）如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，根据平行四边形的判定及性质解答即可． 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， ∴四边形，四边形为平行四边形， 由条件可知，，， ∴，， ∴， 故选：B． 27．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据作图可知四边形是平行四边形，连接，根据垂线段最短，得到当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即可得出结论． 【详解】解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形，    ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴点到直线的距离为2， 连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短， 即：； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．解题的关键是根据作图得出四边形是平行四边形． 28．（2025·广东深圳·二模）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为______． 【答案】74 【分析】本题考查平行线的性质，平行四边形的判定，三角形外角的性质，熟练它们的性质是解题的关键． 由三角形的外角性质求出，判定四边形是平行四边形，推出． 【详解】解：，， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 29．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，等腰中，，、、分别是，，的中点，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半成为解题的关键． 先根据三角形中位线的性质可得，，，，从可得四边形是平行四边形，易得、，然后再求得四边形的周长即可． 【详解】解：、、分别是、、的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ，， 四边形的周长为：． 故答案为：． 30．（2020·广东广州·中考真题）如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．      【答案】(4，3) 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3)， 故答案为：(4，3).    【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系. 满分：100分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共36分） 1．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 4．（2025·四川资阳·中考真题）三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线，能熟记三角形的中位线的内容是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据三角形的中位线得出，再根据的周长是求出即可． 【详解】解：如图， ∵中，D、E、F分别为的中点， ∴， ∵的周长是，即， ∴的周长是， 故选B． 5．（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 6．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：． 7．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 9．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 10．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 11．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 12．（2025·甘肃·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ，点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ，点D为边的中点， ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共24分） 13．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 15．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 18．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 【答案】5 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 19．（2025·湖南·中考真题）如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得垂直平分，则点D为的中点，据此可证明是的中位线，则可得到． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴点D为的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 20．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（共40分） 21．（2025·江苏盐城·中考真题，8分）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【详解】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 22．（2025·四川巴中·中考真题，8分）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 23．（2025·江苏苏州·中考真题，8分）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 24．（2025·山东淄博·中考真题，8分）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 25．（2025·北京·中考真题，8分）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴. 平行四边形验收卷 满分：120分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共42分） 1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 2．如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)， ∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度， ∴A到D也应向右移动4个单位长度， ∵点A的坐标为(0，1)， 则点D的坐标为(4，1)， 故选:C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 3．如图，在中，点D为的中点，点H为上一点，连接，点E、F分别为的中点，连接，若，则的长为（    ） A．5 B．8 C．16 D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键：由点E、F分别为的中点，可得到为的中位线，由此可得到，结合点D为的中点，可得到，即可． 【详解】解：∵点E、F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵点D为的中点， ∴； 故选B． 4．如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，过点作于点，则，由直角三角形性质可得，通过勾股定理得，，由点在对角线上运动，当时，取得最小值，再利用等面积法即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点在对角线上运动，是锐角三角形， ∴当时，取得最小值， 由平行四边形的性质知，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 5．如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可得当时，，再根据轴对称的性质可得垂直平分，即可判断选项B；由三角形中位线定理判断选项C；再由折叠的性质和平行线的性质得，最后根据等腰三角形的判定即可判断． 【详解】解：选项A：如图，当时，∵D是边的中点， ∴，故符合题意， 选项B：由题意得，点A、关于对称， ∴垂直平分， ∴，故不符合题意； 选项C：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，故不符合题意； 选项D：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、轴对称的性质、三角形中位线定理、平行线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 6．如图，中，以点为圆心，长为半径画弧与相交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线与相交于点．若，，则到的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，等角对等边，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，有平行四边形的性质和平行线的性质可得，由作图方法可得平分，则，据此可证明得到，由作图方法可得垂直平分，则，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可得平分， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得垂直平分， ∴， 过点P作， ∴， ∴到的距离为， 故选：B． 7．如图，平行四边形的对角线交于点，点分别在的四条边上（不与顶点重合）．如下方案中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．使 B．使，均经过点 C．使经过点，且 D．点分别为各自所在边的中点 【答案】C 【分析】本题围绕平行四边形，判断四边形是否为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理（如两组对边分别相等、对角线互相平分等 ），结合已知条件对每个选项逐一分析，本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形全等、中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理（如两组对边分别相等、对角线互相平分 ）是解题的关键． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， （），（）． ， ∴四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形； 的对角线交于点均经过点 ．则四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形； 经过点，，的位置未知，故不能判定四边形是平行四边形； 点分别为各自所在边的中点，则据中位线定理可判定四边形是平行四边形， 故选：． 8．如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 【答案】A 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又 分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 9．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（    ） A．96 B． C．192 D． 【答案】B 【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：依题意为平行四边形， ∵，，AB＝8，． ∴平行四边形的面积= 故选B 【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 10．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴ ， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时 ，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为 ，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 11．如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形的中位线的性质，如图，连接，，，，证明，再进一步结合平行四边形的判定方法求解即可. 【详解】解：如图，连接，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 综上：能画出的平行四边形有4个； 故选C 12．如图，正六边形中，是其对角线，点P是边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点P作，交延长线于点M． 结论：一定是正三角形 琪琪 操作：过点P作，分别交、于点Q、N． 结论：的长度不变 则对于这两个结论（   ） A．嘉嘉和琪琪均错误 B．嘉嘉和琪琪均正确 C．嘉嘉正确，琪琪错误 D．嘉嘉错误，琪琪正确 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判断，平行四边形的判定与性质等知识，根据正六边形的性质可求出，，根据平行线的性质可得出，，则可证是正三角形，即可判断嘉嘉的结论；证明四边形是平行四边形，得出，即可判断琪琪的结论． 【详解】解：∵正六边形，是其对角线， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是正三角形， 故嘉嘉正确， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即的长度不变， 故琪琪正确， 故选：B． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，且．若点是象限内的一点，则使得以，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了坐标与图形，平行四边形的性质， 首先得到，，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， 如图，当是平行四边形的边时，且． 点可以看作是由点先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 点可以看作是由点按同样的平移方式得到，或者点是由点按同样的平移方式得到， 点的坐标为或，即或． 当是平行四边形的对角线时，的中点与的中点重合， 同理可得． 又点在象限内， 点的坐标为或． 故选：D． 14．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图1，在正方形纸板中，．为对角线．E，F分别为的中点，连接，分别交于O，N两点，P，H分别为的中点，连接，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这副七巧板拼成如图2所示的图形，则点Q到之间的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和平行四边形的性质，根据相关性质求出线段的长，进而即可求出答案． 【详解】解：由，结合正方形的性质可得， 图形⑦中边上的高为， 图形⑥为平行四边形，其中边上的高为， 图形④是正方形，其边长为， 由此累加可求得点Q到之间的距离为． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共12分） 15．如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________．    【答案】10 【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键． 16．如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形，折叠的性质得到，，如图所示，过点作于点，设，则，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的性质，折叠的性质是关键． 17．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 18．如图，在平行四边形的外侧，作等腰直角三角形，，且，，．取的中点，连接． （1）的长为______； （2）线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可得，，进而根据勾股定理即可求解； （2）取的中点，连接，证明，进而证明在上，根据中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：（1）∵平行四边形， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：． （2）取的中点，连接， ∵，， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵是的中点，是的中点 ∴，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴在上， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（9分）如图，在中，D为的中点，连接． (1)用尺规作图法在的延长线上找一点E，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作； （2）证明：∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 20．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）若AB=2，求△AFD的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）S△ADF=． 【分析】（1）先根据轴对称性质及证△ADE为直角三角形，由F是AD中点知AF=EF，再结合AE与AF关于AG对称知AE=AF，即可得证； （2）由△AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于AG对称知∠EAG=30°，据此由AB=2知AE=AF=DF=、AH=，从而得出答案． 【详解】解：（1）∵AB与AG关于AE对称， ∴AE⊥BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴AE⊥AD，即∠DAE=90°， ∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线， ∴AF=EF=DF， ∵AE与AF关于AG对称， ∴AE=AF， 则AE=AF=EF， ∴△AEF是等边三角形； （2）记AG、EF交点为H， ∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称， ∴∠EAG=30°，AG⊥EF， ∵AB与AG关于AE对称， ∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°， ∵AB=2， ∴BE=1、DF=AF=AE=， 则EH=AE=、AH=， ∴S△ADF=×． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形，轴对称的性质，解题的关键是掌握直角三角形有关的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质及平行四边形的性质等知识点． 21．（9分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求 【分析】本题考查了无刻度作图，勾股定理，作平行四边形，掌握图形性质是解题的关键； （1）根据勾股定理即可求解； （2）取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点，则点即为所求，根据平分了四边形，找到使得的点，即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得， 故答案为：． （2）如图，点和点即为所求； 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求； 理由如下，连接，设交于点， ∵是的中点 ∴弓形的面积相等， 则使得平分四边形， ∵是的中点， ∴平分了四边形， ∵是平行四边形， ∴ ∴，则 ∴，即即为所求， 故答案为：取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点． 22．（9分）如图，在平行四边形中， (1)尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②48 【分析】本题考查了三角形的外心的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接交于点，利用平行四边形的性质知点为对角线的中点； （2）①利用即可证明； ②利用外心的性质求得，推出，再利用三角形和平行四边形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求点； ； （2）①证明：如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ∴，， ， 在与中， ， ； ②解：如图， 的外心在上， ， ， ， 的周长为24， ， ， ， 平行四边形的周长为． 23．（10分）如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析； (2)见解析； (3)2． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，再结合已知条件运用等量代换可得，即，进而的到，再结合即可证明结论； （2）先证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （3）先说明是等边三角形可得，再结合已知条件可得．；由平行线四边形的性质可得，，即；然后运用直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： ， ， 又∵， ． ， ， ∵， 四边形PCDG是平行四边形． （2）证明：，， ． ， 又， ． ． （3）解：如图：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴．． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ． 24．（10分）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3)见解析 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． （3）证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 25．（10分）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $