精品解析：浙江杭州第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

杭州二中2025学年第二学期高一年级期中考 数学试卷 命题：卞勇 校对：吴越 审核：顾予恒 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若向量，则两向量的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体不是五面体的是（ ） A. 正四棱柱 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 正四棱锥 4. 在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 11. 已知两个面积均为1的和满足：，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则在上投影向量的坐标为______． 13. 设复数，满足，，则=__________. 14. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 16. 十字测天仪是广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域的仪器，用于测量太阳等星体的方位，如图1所示，由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE．然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置． （1）若在某次测量中，横档CD的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长； （2）若在另一次测量中，，横档CD的长度为20，求太阳高度角的正弦值； 17. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 18. 已知的外接圆半径为，角所对的边分别，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，分别为线段上的点，且构成等边，求面积的最小值． 19. 如图1，以边长为1的正六边形的互不相邻的三条边为边分别向外作正方形，并将点重合为，重合为，重合为，得到如图2的八面体． （1）求该八面体的表面积； （2）求该八面体的外接球半径； （3）求该八面体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2025学年第二学期高一年级期中考 数学试卷 命题：卞勇 校对：吴越 审核：顾予恒 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设复数，其中，，为的虚部。 ∵ ， ∴ 该复数的虚部为0，即，解得， 即的虚部为。 2. 若向量，则两向量的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 下列几何体不是五面体的是（ ） A. 正四棱柱 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 正四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征即可判断. 【详解】正四棱柱有两个底面，四个侧面，共6个面，是六面体； 三棱柱和三棱台均有两个底面，三个侧面，共5个面，是五面体； 正四棱锥有一个底面，四个侧面，共5个面，是五面体. 4. 在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，再根据面积公式求出三角形面积. 【详解】由余弦定理得，代入， 整理可得，所以. 故选：B 5. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D， 则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 8. 已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的线性运算把用表示，然后两边平方，根据模长公式和数量积公式即可求解. 【详解】 设为原点，，，， 代入已知等式， ，  整理得：，即， 因为在单位圆上，所以，设与夹角为， 对平方得： ，​ 是不重合的两点，故，即， 代入得： ，开方得， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的定义即可判断A；根据即可判断B；根据，可得，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 故选：AC. 11. 已知两个面积均为1的和满足：，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据象限角的符号可判断A；由两个角的正弦值相等，两角之间的关系及三角形的内角和定理可判断B；由正弦定理及面积公式可判断CD. 【详解】对于A，因为， 所以均为锐角，所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，由上知， ， 所以或，同理，或，或， 所以均不是直角，假设均为锐角，即，，， 则， 与矛盾，所以假设不成立，即中有一个为钝角， 又，所以为钝角， 所以，，，故B错误； 对于C，，化简得， 所以， 即，解得，所以， 由得. 在中，，所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由C知，所以， 由上知， 即，解得， 在中，(R为外接圆半径)， 所以， 所以， 由，知， 所以，解得， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则在上投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量数量积的定义及投影向量的定义求在上投影向量的坐标. 【详解】设向量的夹角为，则在上投影向量为. 故答案为： 13. 设复数，满足，，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 14. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 【答案】32 【解析】 【分析】首先推导出之间的关系，然后代入欧拉公式即可求解. 【详解】设该凸多面体顶点数为，三角形面共个，五边形面共个，总面数，棱数为， 每个顶点处有个面，对应每个顶点连条棱，每条棱由个顶点共用，因此： . 每个三角形含个顶点，每个顶点对应个三角形面，因此： ，​ 同理，每个五边形含个顶点，每个顶点对应个五边形面，因此： ，​ 总面数，代入欧拉公式， 可得， 因此总面数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 把代入，得， 整理得，所以，解得. 16. 十字测天仪是广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域的仪器，用于测量太阳等星体的方位，如图1所示，由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE．然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置． （1）若在某次测量中，横档CD的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长； （2）若在另一次测量中，，横档CD的长度为20，求太阳高度角的正弦值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由题意结合图形，在中用正切函数的定义即可求出. (2)先求出，用余弦定理求出的值，再用同角三角函数的平方关系即可求出. 【小问1详解】 如图1， 由题意得，，，且E是的中点，，， 所以在中，； 【小问2详解】 由题意，，由于E是的中点，且， 所以，且， 由余弦定理得 从而 即太阳高度角的正弦值为. 17. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． 【小问2详解】 解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 18. 已知的外接圆半径为，角所对的边分别，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，分别为线段上的点，且构成等边，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 由（1）得 根据基本不等式，，当且仅当即时取等号． 又因为，所以，此时． 在中，，故由勾股定理，得． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合，可用表示. （2）利用（1）的结论，结合基本不等式，可确定的形状，利用勾股定理可得结论. （3）设等边的边长为，，利用正弦定理，用表示，求出的最小值，进而可得面积的最小值. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 代入已知等式，得． 因为，所以， 两边同时除以得． 即，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图： 由得，设等边的边长为，， 则，， ∵，且在中，， ∴，∴， 在中，由正弦定理可得，， 即， 化简得，（其中为锐角，且）， ∴． 由（2）得，，所以. 19. 如图1，以边长为1的正六边形的互不相邻的三条边为边分别向外作正方形，并将点重合为，重合为，重合为，得到如图2的八面体． （1）求该八面体的表面积； （2）求该八面体的外接球半径； （3）求该八面体的体积． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）先明确八面体的8个面：底面正六边形，顶面正三角形，三个正三角形，，，以及三个正方形，，，再分别求面积并相加． （2）取正六边形的中心为，作，，在底面上的射影，，．由对称性可知，，分别为，，的中心，计算得，又，从而确定外接球球心和半径． （3）按图示将八面体分割为一个中心正三棱柱、三个全等三棱锥和三个全等三棱柱，分别计算体积后相加． 【小问1详解】 （1）由题意，正六边形的边长为，所以 由构造可知，，，均为边长为的正三角形，也是边长为的正三角形，所以这四个正三角形的面积和为 又由构造可知，，，均为边长为的正方形，所以这三个正方形的面积和为 因此该八面体的表面积为 【小问2详解】 （2）取正六边形的中心为，作，，在底面上的射影分别为，，，如图所示． 由对称性可知，，，分别为，，的中心．因为是边长为的正三角形，所以 又，所以为边长为的正三角形． 在直角三角形中， 于是同理可得 而正六边形的外接圆半径等于边长，所以 因此点，，，，，，，，到点的距离均为，故为该八面体外接球的球心，外接球半径为 【小问3详解】 （3）按照上图，将该八面体分割为中心正三棱柱，三个全等的三棱锥，，，以及三个全等的三棱柱，，． 先计算中心正三棱柱的体积. 由于是边长为的正三角形，且棱柱高为，所以 再计算每个三棱锥的体积． 因为为的中心，所以 三棱锥的高为，故 最后计算每个三棱柱的体积． 在中，底面，在底面内，所以． 又因此 由图形关系可知，为直三棱柱，且侧棱，所以 因此该八面体的体积为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $