精品解析：安徽省淮南市西部地区2026春季九年级第一次模拟数学试卷

2026春季九年级第一次模拟 数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 3. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE，若，，点P是BE的中点，点Q在BC上，则下列结论错误的是（ ） A. 菱形ABCD的面积是156 B. 若Q是BC的中点，则 C. D. 若，则 10. 如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：____． 12. 如图，是的直径，是弦，交于点，，则_____°． 13. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 14. 三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． （1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． （2）的面积为_____． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图是两座建筑物和，已知建筑物的高为，从点测得点的俯角为，从点测得点的仰角为，求建筑物的高度．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，，，） 18. 如图，中，，，绕点顺时针旋转与重合，点在轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点 （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）把沿直线翻折到，与反比例函数交于点，求的面积． 五、（本题每小题10，满分20分） 19. 为进一步巩固脱贫工作成果，某县从甲、乙两个乡的脱贫户中随机抽查了户去年脱贫的农户上半年的家庭月人均收入（单位：百元），根据调查的数据，进行整理分析（月人均收入用表示，共分为四个等级：．，．，．，．），下面给出了部分信息 【信息一】甲乡调查户的月人均收入：，，，，，，，，，． 【信息二】乙乡调查户月人均收入是等级的所有数据为：，，，，． 【信息三】 甲、乙两个乡抽取的户家庭月人均收入统计表 地区 平均数 中位数 众数 方差 、等级所占百分比的和 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，____，_____ （2）求的值； （3）甲、乙两个乡去年脱贫分别是户和户，求其中今年上半年家庭月人均收入大于或等于百元的脱贫户共有多少户？ 20. 如图，是的直径，过点作的垂线，连接，交于点，的切线交于． （1）求证：点为的中点； （2）若的直径为3，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？ 【项目分析】 课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究． 欧拉公式 对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数． 设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：① （2）边数计算 每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：② （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③ 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④ （4）代入欧拉公式计算 将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤ 但由③和④相等得：⑥ 把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧ 【项目实施】 因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____． 七、（本题满分12分） 22. 矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 23. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季九年级第一次模拟 数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题关键是掌握常见几何体三视图特征； 由三视图条件分析判断即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：D． 3. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：110000用科学记数法可以表示为， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 5. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明，再证明，再结合对顶角的性质可得答案. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得出答案． 【详解】一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，即 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即，，熟练掌握并会应用是解题的关键． 8. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到，进而得到函数经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解． 【详解】解：令y=0，则， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0）， ∵， ∴， ∴函数经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 9. 如图，E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE，若，，点P是BE的中点，点Q在BC上，则下列结论错误的是（ ） A. 菱形ABCD的面积是156 B. 若Q是BC的中点，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作BM⊥AD于M，过点E作EN⊥BC于N，连接EC，PQ，由四边形BNEM是平行四边形可得BN=ME，由BA=BE可得ME，解Rt△BNE可得EN，进而求得菱形面积，∠EBC的正弦值；解Rt△ENC可得EC，若Q是BC中点，由三角形中位线的性质可得PQ；若PQ⊥BE，由∠EBC的正切值解Rt△BPQ可得PQ； 【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于M，过点E作EN⊥BC于N，连接EC，PQ， ABCD是菱形，则AD∥BC， BM⊥AD，EN⊥BC，则BM∥EN， ∴四边形BNEM是平行四边形， ∴BN=ME， ABCD是菱形，则AD=AB=BC=13，DE=3，则AE=10， BA=BE，BM⊥AE，则ME=AM=AE=5， ∴BN=5，CN=8， Rt△ENB中，EN=， ∴菱形ABCD的面积=BC•EN=156， sin∠EBN=，tan∠EBN=， ∴， Rt△CNE中，CE=， 若Q是BC中点，则QP是△BCE的中位线， ∴QP=CE=， 若QP⊥BE，则Rt△BPQ中，BP=BE=， QP=BPtan∠PBQ=×=， 综上所述： C．，选项错误，符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识；正确作出辅助线是解题关键． 10. 如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，，易得，故点P在的外接圆的弧BC上，当时，AP有最小值，则DE的最小值是． 【详解】解：如图所示， ∵PE⊥AC， ∴是直角三角形， ∵D为AP的中点， ∴DE=AP， ∴当AP最小时，DE最小． ∵是等边三角形， ∴∠1+∠PBC=60º， ∵∠1=∠2， ∴∠2+∠PBC=60º， ∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º， ∴点P在的外接圆的上， 找出的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是， ∴当时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F， 此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=BC==3， ∴PF=FC·tan∠PFC=3×=， AF===3， ∴AP的最小值=AF-PF=3-=2， ∴DE的最小值=AP=×2=． 故选：D． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，是的直径，是弦，交于点，，则_____°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了三角形内角和．连接，利用等腰三角形的性质得到，，即，然后利用三角形内角和计算的度数． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 13. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率．解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴黑色阴影的面积为（）． 故答案为：． 14. 三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】按照，，，，进行分类讨论，结合三角形三边之间的关系，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，，为整数， ∴， （2）当时，，，，为整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，，或（与“”矛盾，舍去） ∴，，或，，，或，，或，，，或，，，或，，，或，，或，，， ∴满足条件的，，共有对． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． （1）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． （2）的面积为_____． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质画出图形即可； （2）利用割补法计算即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 故答案为：． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图是两座建筑物和，已知建筑物的高为，从点测得点的俯角为，从点测得点的仰角为，求建筑物的高度．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，解可得，解可得建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，， 在中，， 在中，， 答：建筑物的高度约为． 18. 如图，中，，，绕点顺时针旋转与重合，点在轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点 （1）求直线和反比例函数的解析式； （2）把沿直线翻折到，与反比例函数交于点，求的面积． 【答案】（1）直线解析式为，反比例函数解析式为 （2）9 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出，进而利用旋转的性质得到，则，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式得到的一元二次方程只有一个实数根，据此求解即可； （2）先由折叠的性质证明四边形是菱形，得到，求出，得到，则． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， 又∵点在轴上， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立得，即， ∵反比例函数与直线仅有一个公共点， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质与判定，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 五、（本题每小题10，满分20分） 19. 为进一步巩固脱贫工作成果，某县从甲、乙两个乡的脱贫户中随机抽查了户去年脱贫的农户上半年的家庭月人均收入（单位：百元），根据调查的数据，进行整理分析（月人均收入用表示，共分为四个等级：．，．，．，．），下面给出了部分信息 【信息一】甲乡调查户的月人均收入：，，，，，，，，，． 【信息二】乙乡调查户月人均收入是等级的所有数据为：，，，，． 【信息三】 甲、乙两个乡抽取的户家庭月人均收入统计表 地区 平均数 中位数 众数 方差 、等级所占百分比的和 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，____，_____ （2）求的值； （3）甲、乙两个乡去年脱贫分别是户和户，求其中今年上半年家庭月人均收入大于或等于百元的脱贫户共有多少户？ 【答案】（1），， （2） （3）户 【解析】 【分析】（1）根据题意可得乙乡抽取的户家庭月人均收入为等级的百分比，可得等级所占的百分比，即可得，根据众数和中位数的定义，可得，； （2）根据方程的计算公式，代入数值计算即可； （3）分别计算两个乡、等级的户数，相加即可． 【小问1详解】 解：乙乡抽取的户家庭月人均收入中： 等级所占的百分比为， 等级所占的百分比为， 、等级所占百分比的和， ∴， 等级（户）， 等级（户），有户月人均收入为百元， 等级（户）， 等级（户）， ∴， 按照从小到大的顺序排列，第个数和第个数均为， ∴； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： （户） ∴其中今年上半年家庭月人均收入大于或等于百元的脱贫户共有户． 20. 如图，是的直径，过点作的垂线，连接，交于点，的切线交于． （1）求证：点为的中点； （2）若的直径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 由题意可得，， 则，， ，， ∵ ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点． （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理，熟练掌握与圆有关的性质以及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，，由题意可得，，进而可得，可得，根据，，可得，进而可得，即可得证． （2）在中，根据勾股定理可求得，再利用，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，． ， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？ 【项目分析】 课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究． 欧拉公式 对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数． 设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：① （2）边数计算 每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：② （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③ 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④ （4）代入欧拉公式计算 将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤ 但由③和④相等得：⑥ 把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧ 【项目实施】 因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____． 【答案】 ；；；；；；；；； 【解析】 【分析】设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，可得总面数，总边数，从五边形的视角，可得顶点数，代入欧拉公式化简可得，从六边形的视角，可得顶点数，根据不同视角所得顶点数相等，可得，解方程组即可得，． 【详解】解：设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数用含，的式子表示为：， （2）边数计算 每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含，的式子表示为：， （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：， 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：， （4）代入欧拉公式计算 将、、代入：，可得：，之间的关系为：，即， 但由和相等得：，即， 把和联立成含有，为未知数的方程组，得， 解这个方程组得：，， 因此，足球的表面必须由个正五边形和个正六边形拼接而成． 七、（本题满分12分） 22. 矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（）证明：连接， 由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （）； （） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）略 （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①，在抛物线上② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 ①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $