精品解析：北京市十一学校顺义学校2025-2026学年第二学期高一年级数学期中试题

北京市十一学校顺义学校2025-2026学年第二学期高一年级数学期中试题 考试时间：120分钟 满分150分 第一部分（客观题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由诱导公式，. 2. 向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，，，根据数量积公式即可求解. 【详解】由图可知，，，， 所以， 故选：C 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】. 故选：A. 4. 下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数周期公式或周期定义判断各选项函数的周期，再结合正、余弦函数的图象与性质判断其在指定区间上的单调性. 【详解】对于A，，周期为，在上单调递减且大于0， 所以在上单调递减，A错误； 对于B，，周期为， 当时，，因为在上先递减再递增， 所以在上先递减再递增，B错误. 对于C，其最小正周期 ，不是的周期，C错误； 对于D，其最小正周期，当时，，在上单调递增， 所以在上单调递增. 5. 若是第四象限角，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 故选B. 6. 函数（）的最小正周期为，则满足 A. 在上单调递增 B. 图象关于直线对称 C. D. 当时有最小值 【答案】D 【解析】 【详解】由函数（）的最小正周期为得，则， 当时，，显然此时不单调递增，A错误； 当时，，B错误； ，C错误；故选择D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称 D. 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象得最小正周期，得，利用五点作图法求出，根据求出，可得B不正确；A不正确；再根据图象变换规律可得C正确；D不正确. 【详解】由图可知，则，则，， 由五点作图法可知，，即，故B不正确； 由，得，得，故A不正确； 由以上得，将的图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，其图象关于轴对称，故C正确； 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象，故D不正确. 故选：C 8. 如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得出的值,以及该函数的最小正周期,利用周期公式可求得的值,进而得出结论. 【详解】由题意可知为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为,所以. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数解析式中参数的计算,考查计算能力,属于基础题. 9. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】因为平面直角坐标系xOy中，点，点 所以 所以 又 所以，即 所以，又因为 所以，即， 故选：A. 10. 关于函数，给出下列四个命题： ①的一个周期是；②曲线关于直线对称； ③在区间上恰有3个零点；④的最大值是2 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期的定义和对称性的定义，判断①②，根据三角函数恒等变换，将零点问题转化为方程的实数根问题，判断③，函数化简为关于的二次函数求最值，判断④. 【详解】①因为， 所以， 与在处不相等， 所以不是的一个周期，故①错误； ② ，即， 所以函数关于对称，故②正确； ③ ，即，得或， ，所以或或，所以函数有3个零点，故③正确； ④因为， 又，所以当时，取得最大值为，故④错误. 真命题的个数为2. 第二部分（主观题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由弧长公式 求解即可 【详解】扇形的弧长 . 12. 在中，，，，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】直接由正弦定理，求解边长b即可. 【详解】解：由正弦定得：，所以. 故答案为：2. 13. 若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称的性质，结合正弦（余弦）值相等的性质进行求解即可. 【详解】因为点关于x轴的对称点为， 所以有， 由可得：， 由可得：或， 显然无实数解， 由， 于是当时，即，符合题意， 故答案为：（答案不唯 一）. 14. 在边长为2的正三角形中，是的中点，是线段的中点．______；若，则______． 【答案】 ①. 1 ②. ##0.75 【解析】 【分析】结合正三角形的性质，根据平面向量数量积的定义计算；用表示出，得出，的值即可求出. 【详解】是的中点，， 是的中点，， ，，故． 是边长为2的正三角形，是的中点， ，且， ． 故答案为：1，． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①对任意的，函数是周期函数； ②存在，使得函数在上单调递减； ③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④对任意的，记函数的最大值为，则． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取时可以判断②，取时可以判断③、④. 【详解】对于①，令，则 ， 所以对任意的，函数是周期函数，故①正确； 对于②，当时，，所以 所以， 当时， 即， 因为，所以，易知在上单调递减， 即存在，使得函数在上单调递减，故②正确； 对于③，当时，令，即，易知定义域为R. 因为 所以图象关于轴对称； 又因为， 所以为奇函数，图象关于原点中心对称， 所以存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确； 对于④，假设④为假命题，则它的否定： “存在，记函数的最大值为，则”为真命题， 由③知，当时， 所以，所以，存在，函数的最大值为，则，所以假设成立，即④为假命题， 故答案为：①②③. 三、解答题：本大题共6小题，共85．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B． （1）求m和的值； （2）求点B的纵坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义与平方公式求解m，利用二倍角公式求解的值即可； （2）根据三角函数的定义结合两角和的正弦公式即可得点B的纵坐标． 【小问1详解】 由题可得点在第四象限， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B， 所以点B的纵坐标为. 17. 在中，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式求解；（2）运用余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 利用二倍角公式得，代入条件 得， 因为，整理得，因为在中，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，代入 得，整理为， 因式分解得 ，边长为正，舍去负根得. 又. 18. 已知函数． （1）求的值 （2）当时，求函数的最小值及对应的值； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数的最大值． 【答案】（1）1 （2）时，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）根据正弦函数的单调性与最值进行求解，可得答案； （3）求出时，的取值范围，结合正弦函数的单调性建立关于的不等式，解之即可求得实数的最大值． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 当时，， 结合正弦函数的性质，可知当即时，最小值为； 【小问3详解】 当时， 由正弦函数的性质可得，函数在为递增函数， 故函数在上单调递增， 所以，解得．又， 所以，实数m的最大值为. 19. 已知向量，，，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值； （3）若（），求的最小值及其相应的值. 【答案】（1）3 （2） （3），最小值 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义即可求解； （2）由数量积的运算律、向量垂直的定义即可列方程求解； （3）由数量积的运算律将所求转换为的函数即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以. 【小问2详解】 因为与垂直，、， 所以，所以， 所以. 【小问3详解】 ． 当时，有最小值. 20. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在上的值域为，求的值. 【答案】（1） （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）首先求得函数，再由整体代入法即可求解； （3）由正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 因为相邻两条对称轴之间的距离为，故， 且，. 所以． 所以． 令， 解得，． 所以的单调递增区间为，． 【小问3详解】 因为， 所以． 因为在上的值域是为， 所以在上的值域为． 所以． 所以． 21. 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点. 函数的所有点构成的集合称为的集. （1）判断是否是函数的点，并说明理由； （2）若函数，求的集； （3）若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集，求证：. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求出，再判断，即可得到结论； （2）由正弦函数的性质可得，，再分、两种情况讨论，结合所给定义，即可得解； （3）由题设知，必存在，使得，结合零点存在定理说明函数必存在零点，即可证明. 【小问1详解】 不是函数的点，理由如下： 设，则，. 因为，所以．所以． 所以不是函数的点． 【小问2详解】 ，对，， 当时，， 所以； 当时，同理，所以； 所以对于任意的都是的点，即函数的集为. 【小问3详解】 因为函数的集满足真包含于， 所以存在，使得且，即. 因为若，则， 所以. ， 因为函数的图象是连续不断地， 所以存在零点，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校顺义学校2025-2026学年第二学期高一年级数学期中试题 考试时间：120分钟 满分150分 第一部分（客观题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是第四象限角，，则（　　） A. B. C. D. 6. 函数（）的最小正周期为，则满足 A. 在上单调递增 B. 图象关于直线对称 C. D. 当时有最小值 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称 D. 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象 8. 如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，给出下列四个命题： ①的一个周期是；②曲线关于直线对称； ③在区间上恰有3个零点；④的最大值是2 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（主观题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为________． 12. 在中，，，，则___________. 13. 若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________. 14. 在边长为2的正三角形中，是的中点，是线段的中点．______；若，则______． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①对任意的，函数是周期函数； ②存在，使得函数在上单调递减； ③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④对任意的，记函数的最大值为，则． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：本大题共6小题，共85．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B． （1）求m和的值； （2）求点B的纵坐标． 17. 在中，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 18. 已知函数． （1）求的值 （2）当时，求函数的最小值及对应的值； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数的最大值． 19. 已知向量，，，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值； （3）若（），求的最小值及其相应的值. 20. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在上的值域为，求的值. 21. 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点. 函数的所有点构成的集合称为的集. （1）判断是否是函数的点，并说明理由； （2）若函数，求的集； （3）若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $