广东东莞市东莞中学松山湖学校2025-2026学年度第二学期第一次段考高一年级数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以向量复数、立体几何、解三角形为主体，通过台风移动路径、圆锥小虫爬行等真实情境与动态翻折问题设计，考查空间观念、运算能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量复数（1题）、立体几何直观图（2题）、解三角形面积（4题）|结合正方体展开图（5题）考查空间角，体现几何直观| |多选题|3/18|复数性质（9题）、菱形向量运算（10题）、正四棱台体积与二面角（11题）|正四棱台综合题（11题）梯度设计，考查推理能力| |填空题|3/15|向量共线（12题）、正三棱柱外接球（13题）、平行四边形向量数量积（14题）|外接球问题（13题）融合空间想象与运算| |解答题|5/77|复数纯虚数（15题）、正三棱柱线面平行（17题）、翻折问题表面积与线面角（19题）|翻折动态问题（19题）考查探究能力，呼应数学思维要求|

2025-2026学年度第二学期第一次检测数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C C C A D 题号 9 10 11 答案 ABC AD ACD 二、多项选择题 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15.解：（1）由已知复数为纯虚数，设（且）， 2分 所以＝＝＝＝＋. 4分 又因为是实数，所以，解得，即. 6分 （2）因为，所以， 9分 又因为复数所表示的点在第一象限，所以解得， 12分 即实数的取值范围为. 13分 16.（1）因为，， 所以，，得， 3分 所以 6分 （2）因为， 9分 ， 12分 所以， 14分 因为，所以，即与的夹角为 15分 17. （1）如图，连接，交于点，连接， 2分 在正三棱柱中，因为四边形为矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以有， 4分 又平面，平面，所以平面. 6分 （2）在正三棱柱中，有平面， 7分 因为平面，所以, 8分 因为为正三角形，是的中点，所以 9分 因为,所以平面. 10分 所以即为直线与平面所成的角 11分 又因为,设，则 12分 因为所以, 13分 在中，,. 14分 所以，即直线与平面所成的角为. 15分 18.解：（1）由正弦定理得， 1分 又，所以， 即， 2分 所以，所以， 3分 又，所以，所以，即， 4分 而，所以； 5分 （2）根据正弦定理，得， 所以，， 6分 可得， 8分 由为锐角三角形可得，解得， 9分 所以，可得，， 10分 所以的周长的取值范围是． 11分 （3） 由（1）知，因为，所以，即为的角平分线， 12分 因为，，， 所以有，即， 14分 根据余弦定理，得，即， 15分 所以，解得，整理得， 16分 又，所以为等边三角形，因为为中点，所以， 所以有，即． 17分 19.【详解】（1） （i）     。 ………………………………………………………………………. 2分 （ii）在  中，  ，  。 设  ，  ，则  。  ，  。 在  中，  ； 在  中，  。  。 联立  ，解得  。  ，  。………………………………… 5 分 翻折后，  ，  。  。  。 由 (i) 知  平面  ，  ，  。  平面  ，  ， 又    平面  ，  。  ，  。 ……….. 7分 （2）取的中点，的中点，连接可知. 由（1）知. 8分 设点在平面上的射影为，则由， 可得，从而，在直线上. 9分 设直线由平面所成的角为，则. 10分 可知分别在左右对称位置时，长度相同， 而当在右侧时，较长，此时较小， 因此只需考虑在上或在左侧的情况. 12分 过作，则， 设，则，， ，， 13分 ， ，. 14分 设，则， ， 15分 ，，当且仅当， 即时取等号，， 16分 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 17分 数学参考答案 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2025-2026学年度第二学期第一次段考 高一年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共 4 页。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5．考生必须保证答题卡的整洁。 第I卷（选择题） 一、单选题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 向量对应的复数为，向量对应的复数为，则＋对应的复数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，为水平放置的的直观图，其中，则原平面图形中（     ）． A． B． C． D． 3. 如图, 已知,, , 则下列等式中成立的是（ ） A. B. C． D. 4．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中， 直线与所成角的大小为（   ）      A． B． C． D． 6. 在气象台 A 的正西方向km 处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为25 km/h，距台风中心 100 km 以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到台风的影响时长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，圆锥的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 8.点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的(     ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 二、多选题 (本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C．若，则的最大值为2 D．若是关于的方程的根，则 10.边长为的菱形中，若，点在直线上，， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11.已知正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为8，且，E为棱AA1上一点，则下列说法正确的有（   ） A．该正四棱台的体积为112 B．二面角的正切值为 C．若平面B1D1E，则E为棱AA1中点 D．面B1D1E截该棱台内最大的球所得的截面面积的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题 (本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量，，．若，则实数的值为_______. 13．已知正三棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 14.如图，在平行四边形中， 分别为的中点，与交于点.若，则的余弦值为_______. 四、解答题（本大题共5小题，第15题满分为13分，第16、17满分为15分，第18、19题满分17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）已知复数为纯虚数，是实数，是虚数单位． （1） 求复数； （2） 若复数表示的点在第一象限，求实数m的取值范围． 16．（15分）已知， （1）求的值； （2）求与的夹角. 17． （15分）如图，正三棱柱中，，是的中点， （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成的角. 18. （17分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）当为锐角三角形时，求周长的取值范围； （3）若为边上一点，，，证明：． 19．（17分）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)当平面平面时， （i）求证：； （ii）求该几何体的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $