23.1 一次函数的图象和性质 期末复习一本通 —— 清单・练・测 全程通关2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十三章 一次函数 23.1 一次函数的图象和性质 知识点1 一次函数的定义 一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数且k≠0）的函数是一次函数． 注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 ．b为任意实数．当b的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数． 知识点2 一次函数的图象和性质 1．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了．一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 2．一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小． 3．一次函数图象经过的象限 知识点3 一次函数图象的平移 1．一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位．左加右减． ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b ． ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b ． 2．一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位．上加下减． ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a ． ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a ． 知识点4 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为；（2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 常见类型 （1）两点型：直接运用待定系数法求解；（2）平移型：由平移前后k不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可 知识点5 一次函数与一元一次方程的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解． （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解． 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标． 知识点6 一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围． 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围．如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为． 知识点7 一次函数与二元一次方程组的关系 1．二元一次方程组（都不为0，且，都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标． 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线． 2．用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化为一次函数与． （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标． （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解． 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解． 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解．如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 3．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 5．某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．把直线向上平移得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 10．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为___________． 尾长（） 6 8 10 体长（） 11．已知一次函数的图像经过和，则的值为________． 12．当时，直线（为常数，）在直线的上方，则的取值范围为______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 14．2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 40 50 (1)请补全上表信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数关系式； (3)请根据（2）中所求的函数关系式，估算这种漏水状态下12小时的漏水量． 15．如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点． (1)求两条直线对应的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．若点在第四象限，则正比例函数的图象经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 4．把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象经过点，且该一次函数的图象经过第二象限．若点在该一次函数的图象上，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 10．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 11．点，是函数的图象上的两点，若，则______． 12．若一次函数在的范围内，y的最大值比最小值大8，则k的值为_______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 14．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 15．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．关于正比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象经过点 B．随的增大而减小 C．图象不经过第二、四象限 D．图象经过原点 2．小明在学习画一次函数的图象时，列表如表： x … 0 1 2 … y … 6 4 1 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．6 B．4 C．1 D． 3．如图，直线是一次函数的图象．若点在直线上，则的值是（   ） A． B． C． D．7 4．已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 5．如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，点P在x轴上．要使的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．直线关于轴对称的图形是直线，则直线的函数表达式为___________． 10．若方程组无解，且一次函数的图象过点，则的图象与x轴的交点坐标为________． 11．已知正比例函数经过点，点P在第二象限，且在该正比例函数的图象上，点B的坐标为，且，则点P的坐标为______． 12．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． (1)求点A的坐标； (2)求所在直线的表达式． 14．如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 15．如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十三章 一次函数 23.1 一次函数的图象和性质 知识点1 一次函数的定义 一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数且k≠0）的函数是一次函数． 注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量系数为 1 ．b为任意实数．当b的值等于 0 时，一次函数变成正比例函数． 知识点2 一次函数的图象和性质 1．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了．一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 2．一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小． 3．一次函数图象经过的象限 知识点3 一次函数图象的平移 1．一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位．左加右减． ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b ． ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b ． 2．一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位．上加下减． ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a ． ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a ． 知识点4 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为；（2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 常见类型 （1）两点型：直接运用待定系数法求解；（2）平移型：由平移前后k不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可 知识点5 一次函数与一元一次方程的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解． （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解． 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标． 知识点6 一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围． 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围．如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为． 知识点7 一次函数与二元一次方程组的关系 1．二元一次方程组（都不为0，且，都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标． 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线． 2．用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化为一次函数与． （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标． （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解． 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解． 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解．如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 2．正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象性质，需根据函数图象经过的象限确定k的取值范围，再从选项中选取符合条件的数值即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限 ∴ 观察选项，只有3满足的条件． 故选C． 3．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入即可求出直线与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ， 即直线与轴的交点坐标为． 4．根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得． ∴当时，得． 故选：C． 5．某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行时一次函数的k相等，用待定系数法设出解析式，代入已知点坐标求出参数即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数图象与直线平行， ∴设该一次函数解析式为， ∵函数经过点， ∴将代入解析式得，解得， ∴该一次函数解析式为 ． 6．已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 7．把直线向上平移得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，设向上平移 d 个单位，则直线的解析式为，利用点在直线上和条件求解即可． 【详解】解：设向上平移d个单位得到， ∴ 直线的解析式为， ∵ 经过点， ∴，即， 又 ∵ ， ∴， ∴ 直线的解析式为， 故选： D． 8．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线：与直线：交于点，得到交点的横坐标为1，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：直线：与直线：交于点，且交点的横坐标为1， ∴关于的不等式的解集是； 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的标准形式和特点是解题关键． 正比例函数的形式为（），故函数表达式中的常数项必须为零，据此进行计算即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，可知，解得． 故答案为：． 10．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为___________． 尾长（） 6 8 10 体长（） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据列表求一次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由题意，y是x的一次函数，设函数关系式为，利用待定系数法，选取数据点代入求解k和b． 【详解】解：设函数关系式为， 将和代入得， ， 解得， ∴与之间的关系式为． 11．已知一次函数的图像经过和，则的值为________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出和的值，再计算即可． 【详解】解：一次函数的图像经过和， ∴ 解得， ． 12．当时，直线（为常数，）在直线的上方，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，先求得时一次函数的函数值，再将对应点代入得到临界的值，结合一次函数性质即可求解． 【详解】解：把代入得． 将点代入，得 ， 解得． 当时，（）的值大于一次函数的值， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点P的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 14．2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 40 50 (1)请补全上表信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数关系式； (3)请根据（2）中所求的函数关系式，估算这种漏水状态下12小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画正比例函数图象，求正比例函数关系式， 对于（1），根据量杯中的水量是时间的2倍可填表，再平面直角坐标系中描点，连线即可； 对于（2），根据表格中的规律可知是正比例函数，再将一个点的坐标代入求出答案； 对于（3），将12小时化成720分钟，再代入关系式可得结果. 【详解】（1）解： 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 图象如图所示： （2）解：根据图象可设该正比例函数为， 将代入，得， 解得， ∴函数关系式为：； （3）解：因为（分）， 所以当时，， 所以漏水量为. 15．如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点． (1)求两条直线对应的函数表达式． (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时x的取值范围为 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴； 把点，点代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：由观察图象可知，当时x的取值范围为． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 2．已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的比例系数k的符号判断函数增减性，再比较横坐标大小即可得到的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ y随x的增大而减小， ∵ 点，，都在直线上，三个点的横坐标满足， ∴ ． 3．若点在第四象限，则正比例函数的图象经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，各象限点的坐标特征；根据题意得出，进而根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：由点在第四象限可知，，， 则， 根据正比例函数图象的性质得，的图象经过第一、三象限． 故选：A． 4．把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，正比例函数的性质．先根据点的平移规律求出平移后点的坐标，再利用点在直线上则坐标满足直线方程的性质，列方程求解的值． 【详解】解：∵点向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4 ∴平移后点的坐标为，即 ∵点在直线上 ∴点的横、纵坐标满足，即 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限． 【详解】解：∵直线（b为常数，），, ∴直线经过第二、三、四象限， ∵直线（k为常数，）, ∴其图象经过第一、三象限， ∵两个函数图象都经过第三象限， ∴交点在第三象限． 故选：C． 6．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把代入直线求出的值，从而得到点坐标，再根据“两函数图像的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解”可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解是． 7．一次函数的图象经过点，且该一次函数的图象经过第二象限．若点在该一次函数的图象上，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数过点M得到k与b的关系，再结合一次函数过第二象限得到k的取值范围，依次将各选项点坐标代入，验证是否满足条件即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数 的图象过点， ∴，可得 ∵一次函数图象经过第二象限， 当时，需要才能经过第二象限，即，得 当时，无论b取何值，一次函数都经过第二象限 因此符合条件的k满足 对各选项依次验证： A、代入得，联立，解得，符合条件，可能； B、代入得，联立，解得，符合条件，可能； C、代入得，联立，解得，不符合条件，不可能； D、代入 得，联立，解得，符合条件，可能． 8．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求原直线解析式，再根据平移的性质确定参数的值，最后代数求解． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 假设直线的解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得， ∴， 将直线向上平移2个单位长度后可得，， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，常数项为零，求出m的值，得到函数表达式，再根据一次函数的性质比较a和b的大小． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以， 解得， 则函数为． 因为， 所以y随x的增大而减小， 又因为，所以． 故答案为：． 10．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点与一元一次方程解的关系，方程的解为两个一次函数图象交点的横坐标，结合已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵函数和图象交点的横坐标，就是方程的解． ∴由题意得，方程的解为． 11．点，是函数的图象上的两点，若，则______． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可用含，，的代数式表示出，，结合，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k值． 【详解】解：∵点，是函数的图象上的两点， ∴，， ∵，即， 解得：． 12．若一次函数在的范围内，y的最大值比最小值大8，则k的值为_______． 【答案】2或 【分析】根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，分别求出对应范围内的最大值与最小值，再依据最大值比最小值大8列方程求解的值. 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当时，一次函数中随的增大而增大， 在范围内，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 根据题意得：， 解得； 2. 当时，一次函数中随的增大而减小， 在范围内，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 根据题意得：， 解得：， 综上，的值为2或． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得； （2）将直接代入（1）中的结果即可得； （3）将直接代入（1）中的结果即可得． 【详解】（1）解：由题意可设，， ， ， 当时，，当时，， ，解得， ， 即与之间的函数关系式为； （2）解：将代入得：； （3）解：将代入得：， 解得． 14．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 15．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点的坐标，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与不等式，一次函数的交点问题，一次函数与二元一次方程组，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，方程的解是，不等式的解集是， 故答案为：，，； （3）解：由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， 由函数图象可知，当时，；当时，， ∴不等式组的解集是． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．关于正比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象经过点 B．随的增大而减小 C．图象不经过第二、四象限 D．图象经过原点 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质．根据，可知图象经过第一、三象限，且随的增大而增大，同时所有正比例函数图象必过原点，进行判断即可． 【详解】A． 当时，，点在图象上，正确，不符合题意； B． 因，随的增大而增大，而非减小，此说法错误，符合题意； C． 正比例函数的图象经过第一、三象限，不经过第二、四象限，正确，不符合题意； D． 所有正比例函数均过原点，正确，不符合题意； 故选B． 2．小明在学习画一次函数的图象时，列表如表： x … 0 1 2 … y … 6 4 1 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．6 B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质． 一次函数中x每增加1，y的变化量相同．求出各段中y值的变化可得变化量，进而可知算错的函数值． 【详解】解：一次函数中x每增加1，y的变化量相同． 由表格，当x从增加到0时，y从6变为4，变化量为； 当x从0增加到1时，y从4变为1，变化量为； 当x从1增加到2时，y从1变为，变化量为； 可知当从增加到时的变化量不同， ∵从到与从到时，的变化量均为， ∴点，，在同一直线上， ∴算错的函数值是6． 故选：A． 3．如图，直线是一次函数的图象．若点在直线上，则的值是（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解及函数上点的坐标特征，解题关键是先通过直线上已知点求出解析式，再代入点的坐标计算函数值． 先根据直线经过的两点求出一次函数解析式，再将点代入解析式求出的值，最后结合选项判断． 【详解】解：由图可知直线经过点和，代入得： 解得： ∴直线的解析式为． 将点代入解析式： ． 故选：B． 4．已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，可得，据此求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ∴，，，， ， ∴， 故选：D． 5．如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，分别确定点和点的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得的取值范围，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，， ∴当直线过点时，， 当直线过点时，， ∴， ∴不可能为， 故选：C． 6．已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，点P在x轴上．要使的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用对称性求解等知识，找关于x轴对称点，连接，交轴于点P，即点A，B，P三点共线时，的值最小，此时，设直线的解析式为：，利用待定系数法求出一次函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解：找关于x轴对称点，连接，交轴于点P， 即点A，B，P三点共线时，的值最小， 此时， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 则设直线的解析式为：， 令，则， ∴， 故选C． 8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 在中，，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．直线关于轴对称的图形是直线，则直线的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意得到与坐标轴的交点，进而推出其关于轴对称的坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，即可解题． 【详解】解：对于直线，当时，； 当时，； 直线过点与点， 点与点关于轴对称的坐标为与， 设直线的解析式为， 将与代入，可得， 解得， 则直线的函数表达式为； 故答案为：． 10．若方程组无解，且一次函数的图象过点，则的图象与x轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点． 方程组无解表明两直线平行，斜率相等得出，利用一次函数过点求解即可． 【详解】解：方程组可化为，无解时，两直线平行，斜率相等，即， 一次函数过点，代入得， 将代入，得，即，解得：． ∴函数解析式为， 令，即，解得：， ∴的图象与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 11．已知正比例函数经过点，点P在第二象限，且在该正比例函数的图象上，点B的坐标为，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，正比例函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．设正比例函数的解析式为，再把代入求出k的值，设出P点坐标，画出图形，结合列式求解即可． 【详解】解：设正比例函数为， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：． 设 如图所示， ， 解得， ∴； 故答案为． 12．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，先根据题意得出，两点的坐标，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． (1)求点A的坐标； (2)求所在直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求解正比例函数解析式． （1）过点A作轴于点D，求解，，进一步可得． （2）设直线的表达式是，把点A的坐标代入，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点D， ∵是边长为4的等边三角形， ∴，， 在中，， ∴． （2）解：设直线的表达式是， 把点A的坐标代入，得， 解得， ∴直线的表达式是． 14．如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题． (1)求直线的函数表达式． (2)求此时点的运动时间． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)此时点的运动时间为 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解可得． （2）根据，求出时x的值，即可得的长，再除以P点运动的速度即可求出点的运动时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 将点和点代入上式，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：由（1），可得直线的函数表达式为． 令，则， 解得， 即， ． 答：此时点的运动时间为． 15．如图，把一次函数（，为常数，）．在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴及上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图1就是函数的“”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“”形图象； (2)在（1）的条件下，根据图象2，下列关于该函数性质的说法正确的有______．（填序号） ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，函数表达式为，当时，； ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0； (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点A，与直线相交于，两点（点在点的左侧）， ①点的坐标为______；点的坐标为______． ②求的面积． (4)如图3，已知，，若一次函数（）的“”形图象与线段有二个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)作图见解析 (2)①②③ (3)①，；②20 (4)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）对于一次函数，先求与坐标轴交点，令，则；令，则．画出的图象，再将轴下方部分沿轴向上翻折，得到“”形图象． （2）从图象对称性、不同区间函数表达式及最值点三方面，依据“”形图象性质与翻折规则进行判断． （3）①由一次函数解析式确定点A的坐标即可，然后联立求出交点坐标， ②结合图形利用分割法求三角形面积即可； （4）对k的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①从图象看，沿直线对折，图象左右两部分能完全重合，所以该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，①正确． ②当时，图象在轴下方，翻折后函数表达式为；当时，图象在轴及上方，函数表达式为，②正确． ③．观察图象可知，在自变量取值范围内，最低点是，即当时有最小值，③正确． 故答案为：①②③； （3）①∵一次函数的“”形图象与轴交于点， ∴，对于（部分）可得，即． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 联立， 将代入得： ． 解得， 把代入得 ， ∴． 故答案为：，； ②过作轴于，过作轴于， 则，，，，． ． （4）当时，一次函数过定点，要使“”形图象与线段有两个交点，当直线过时， ， 解得， 所以． 当时，当直线过时，， 解得， 所以． 综上所述：或． 学科网（北京）股份有限公司 $