14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第十四章 统计 14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 屈服强度和抗拉强度 问题 1：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本检查它们的抗拉强度(单位：kg / mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为 125 kg / mm2． 结合上述数据，判断哪种钢筋的质量较好？ 如图，将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上； 由图可知，乙样本的最小值 100 低于甲样本的最小值110，乙样本的最大值 145 高于甲样本的最大值 135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 从图中可看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中；这说明甲比乙稳定. 思考：当两组数据的离散程度差异不大时，还能用极差判断吗？ 当两组数据的离散程度差异不大时，极差不容易得出结论；此时可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差． 结合离差有关的讨论，每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差的平方和越小，稳定性就越高. 由于两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差. 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差. 根据上述方差的计算公式可以算得甲、乙两个样本的方差分别为 50 和165，故可以认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋. 例 1：甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量 (单位：t / hm2) 如表所示，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 [(9.8 - 10)2 + (9.9 - 10)2 + (10.1 - 10)2 + (10 - 10)2 + (10.2 - 10)2]÷5 = 0.02. 乙品种的样本平均数也为 10，样本方差为 [(9.4 - 10)2 + (10.3 - 10)2 + (10.8 - 10)2 + (9.7 - 10)2 + (9.8 - 10)2]÷5 = 0.244. 因为 0.244 > 0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定. 例 2：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换. 已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如表所示，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差． 分析：用每一区间的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命. 解：各区间的组中值分别为 465.5，495.5，525.5，555.5，585.5，615.5，645.5，675.5. 由此算得平均数约为：465.5×1% + 495.5×11% + 525.5×18% + 555.5×20% + 585.5×25% + 615.5×16% + 645.5×7% + 675.5×2% = 568.4 ≈ 568 (天). 这些组中值的方差为：×[1×(465.5 - 568.4)2 + 11×(495.5 - 568.4)2 + 18×(525.5 - 568.4)2 + 20×(555.5 - 568.4)2 + 25×(585.5 - 568.4)2 + 16×(615.5 - 568.4)2 + 7×(645.5 - 568.4)2 + 2×(675.5 - 568.4)2] = 2128.59 (天2). 故所求的标准差为 ≈ 46 (天). 答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为 568 天，标准差约为 46 天. 一般地，若取值为 x1，x2，…，xn 的频率分别为 p1，p2，…，pn，则其方差为 p1 (x1 - )2 + p2 (x2 - )2 + ··· + pn (xn - )2. 从 例2 可以看出，样本数据中在 [ 568 - 46×2，568 + 46×2 ] 外的只有 3 个，也就是说，区间 [ - 2s， + 2s ] 几乎包含了所有数据. 例 3：某校从在校学生中，用分层抽样的方法抽取男生 32 人，女生 18 人. 测得他们的身高后，计算得到男生身高的样本平均数为 173.5 cm，方差为 17 cm；女生身高的样本平均数为 163.83 cm，方差为 30.03 cm. 求所有 50 个身高数据的样本方差. 解：记男生样本为 y1，y2，…，y32，平均数为 男，方差为 s2男； 记女生样本为 z1，z2，…，z18，平均数为 女，方差为 s2女； 所有数据样本的平均数为 总，方差为 s2总；样本总量为 50. 所有 50 个数据的平均数为 总 = + = ×173.5 + ×163.83 ≈ 170.02 (cm) . 根据方差的定义，计算所有数据的样本方差： 总 总 总 因为其中的数据是未知的，需要把上面的式子转化为各层样本方差、样本平均数和样本量的函数. 经过计算可得 s2总 ≈ 43.24 (cm2) . 一般地，如果总体分为 k 层，第 j 层抽取的样本为 xj1，xj2，…，xjnj，第j 层的样本量为 nj，样本平均数为 j，样本方差为 s²j，j = 1，2，…，k. 记 ，那么，所有数据的样本方差为 结合本课所学，回答下列问题： 1. 结合“甲乙两种钢筋抗拉强度”的例子，说明离散程度统计量的作用； 2. 计算方差时，原始样本数据、频率分布表数据、分层抽样数据的计算有什么区别？分别需要重点关注哪些条件？ 3. 某工厂要判断两种零件的尺寸稳定性，已知两组零件的尺寸平均数一致，你会选择极差还是方差作为判断依据？为什么？ Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $