广东省中山市第一中学2025-2026学年高三下学期五一假期数学练习卷

广东省中山市第一中学高三下数学练习卷（2026五一假期） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（    ） A． B． C． D． 3.在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.在中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 5.欧拉公式，把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，，则（   ） A． B． C． D． 7.已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中最小项为 10.已知，圆，直线，，且与相交于点，则（    ） A． B．直线与圆相切 C．被圆截得的弦长为 D．若，则 11.已知函数，则（    ） A．方程的解集是 B．当时，恒有 C．函数的值域是 D．函数的零点个数可能为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为_______． 13.某地开展“退耕还林”生态工程.第一年末，某片林区的木材蓄积量为10万立方米，从第二年开始，每年末的蓄积量变化由自然生长和人工补种共同决定：自然生长使得蓄积量变为上一年末的1.1倍，同时人工补种会额外增加万立方米（其中表示年份）.则该林区前年末的木材总蓄积量_______万立方米． 14. 平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在中，角的对边分别，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 16.（15分） 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： (1)当a=25时， （i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率； （ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望； (2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为．若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值． 17.（15分） 已知半径为的球的截面所在圆面面积为，为截面圆的直径，为球的直径， (1)求证：平面平面． (2)若球的半径为，劣弧和劣弧长度之比为，试求、所成的角的余弦值． (3)若和长度之比为，求二面角的平面角的正弦值． 18.（17分） 已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上任意一点，求的内切圆半径的最大值； (3)过点分别作直线与椭圆交于、两点，作直线与椭圆交于、两点，其中点、位于第一象限，直线过点且与轴垂直，直线、与直线分别交于点、，证明：点为中点． 19.（17分） 已知是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点处切线的斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数． 设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 参考答案与试题解析 1.B 【解析】由，即，等价于，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以或，则． 故选： 2.D 【解析】由表可知， 回归直线会经过平均数样本中心点， 代入， 解得， 选． 3.D 【解析】若甲的生肖不是羊，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是羊． 故“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件． 故选： 4.B 【解析】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为， 因为，所以，所以． 故选：B 5.A 【解析】根据欧拉公式，可知， ， ， ， ， ． 故选． 6.D 【解析】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，， 展开得：， 两式相减得：，则：， 即：． 7.B 【解析】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以． 故选 8.D 【解析】设，，，如图： 因为为线段的中点，为线段的中点，所以． 又，所以，即， 化简得①． 因为，所以为线段的中点，故， 因为在上，所以，化简得，解得②． 将②代入①，得，化简得， 所以，又，所以． 故选 9.B,C,D 【解析】对于选项，因为，所以，所以， 故的公差为，错； 对于选项，由A选项可知，数列为递减数列， 当且时，；当且时，． 故当时，最大，对； 对于选项，由上分析可知，当且时，单调递增，此时 当且时，单调递减， 因为，， 故使得成立的最小自然数，对； 故选：． 10.A,B,D 【解析】由题知，令直线的斜率为， 则，，，正确； 圆圆心为，半径， 则到直线的距离， 所以直线与圆相切，正确； 又到直线的距离， 所以被圆截得的弦长为，错； 联立方程，解得， 即， 则，解得，正确． 故选： 11.B,C 【解析】因为是的解，则错误； 函数的周期是，不妨设， 当时，，因为， 则，从而； 当时，，因为，则，从而， 故值域是，正确； 对于，因为， 所以的图象关于轴对称，使得在上的零点个数为偶数， 又显然是的最小值，而且当且仅当即， 这表明零点个数只能为1或偶数，不正确． 故选：． 12. 【解析】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 13. 【解析】木材蓄积量数列满足， 当时，， 则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为：， 所以， 当时，满足， 所以； 由，① 则，② ①－②得： ， 所以， 故答案为：；． 14. 【解析】蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为， 若蚂蚁到原点O的距离为，原点到该点的距离满足， 设蚂蚁右移次、左移次，则，上移次、下移次，则，总步数， 要满足，即，由于都是非负整数，可能的组合必须满足，，此时，，，且， 设左右移动总次数为，上下移动总次数为，则， 由于，需为整数，则m与同奇偶，所以为奇数，同理，也为奇数， 又，可能的组合有、、， 当，时，左右移动1次，满足的方式有2种，即左或右， 上下移动5次，满足的方式有，或，，共种，即选3次上移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移， 其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，种，因此，此情况的路径数为； 当，时，左右移动3次，满足的方式有，或，，共种，上下移动3次，满足的方式同理，共种， 此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共种， 因此，此情况的路径数为； 当，时，与，对称，路径数为240； 满足条件的总路径数有，概率为． 故答案为：． 15. (1) 【解析】由， 得， 即，因为， 所以， 即， 故（舍）或， 由于，所以． (2) 【解析】，由， 得，又， 所以， 解得或（负值舍），故， 又由（1）知， 故的面积为． 16. (1)（i）0.35 （ii） 【解析】（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+25=35， 则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程积分不少于3分的频率为 该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率为0.35 （ii）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为 所以从该校学生科普测试随机抽取一名学生，估计这名学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为 同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为， X的所有可能取值为6 ，7，8 , , , X的数学期望 (2)7 【解析】由表知，10+a+b+23+2=100,则b=65-a, 从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为,则的最大值为69， 100名学生科普测试成绩的平均值记为，要使恒成立，当且仅当, 显然的最小值为各分数段最小值求得的平均分， 因此 解得 所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7 17. (1)证明见解答 【解析】因为为截面所在圆的直径，所以， 又为球的直径，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面， 又平面，所以平面平面； (2) 【解析】由题意，球的半径为，即， 设截面所在圆的半径为，面积为，则，所以， 所以，， 又为球的直径，所以，所以， 又劣弧与劣弧长度之比为，所以， 又，所以，， 又，所以，， 又，，，所以， 又，，，所以，所以， 以为原点，以为轴，以为轴，过点平行于作轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以； (3) 【解析】设截面所在圆的半径为，面积为， 则，解得，即， 因为与长度之比为，， 则，所以，所以，， 又，所以， 又，所以，所以， 以为原点，以为轴，以为轴，过点平行于作轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，解得， 平面的法向量为，则，解得， 令二面角为， 则， 所以． 即二面角的平面角的正弦值为． 18. (1) 【解析】设椭圆的半焦距为，由题意可知，解得， 所以椭圆的方程为． (2) 【解析】设的内切圆半径为，设的面积为， 因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得， 又，所以的面积， 易知当位于短轴的端点时，最大，， 所以，解得，即的最大值为． (3)证明见解答 【解析】易知直线、均不与轴重合， 设直线的方程为，直线的方程为， 设点、、、， 联立，消去并整理可得， 则， 由韦达定理可得，， 同理可得，， 直线的方程为， 令，得 同理可得， 则 ， 所以点为的中点． 19. (1) 【解析】，，则切线方程为； (2) 【解析】设两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以； (3)证明见解答 【解析】，则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 第页(共页) 学科网（北京）股份有限公司 $