江苏省江都中学等校2025-2026学年高一下学期4月26日周练数学试卷

**基本信息** 高一数学周测试卷聚焦向量、三角函数与解三角形，以赵爽弦图文化情境和分层设问设计，实现基础巩固与综合能力检测，体现数学眼光与思维的培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量共线、三角公式、三角形性质|基础概念辨析，如向量共线条件、三角恒等变换| |多选题|3|向量基底、三角等式、解三角形多解问题|易错点考查，如向量夹角为钝角的条件| |填空题|3|向量模范围、三角求值、三角形最值|综合应用，如锐角三角形中边的最小值| |解答题|5|三角恒等变换、向量垂直与模、解三角形综合、文化情境题|分层设问，如赵爽弦图结合三角与向量，考查数学文化与推理能力|

高一数学周练4月26日 一、单选题 1．向量与共线，则的值为（     ） A．-4 B．4 C．9 D．-9 2．已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．给出下列命题，正确的有（   ） A．若，，则 B．若，共线，则存在实数，使得 C． D． 4．若，则（    ） A．1 B． C． D． 5．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（   ） A． B．5 C． D． 7．在中，内角的对边分别为，则一定为（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 8．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（     ） A．若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 B．若存在非零向量使得，则 C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是 D．已知向量，，则在上的投影向量是（0，1） 10．下列等式成立的有（     ） A． B． C． D． 11．在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（     ） A．若，，则 B．若，且时，满足条件的三角形有两解，则 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围是 D．若，，则该三角形内切圆面积的最大值是 三、填空题 12．已知，，则______． 13．设平面向量满足：，，，，则的取值范围是__________. 14．在锐角中，，，分别是角，，的对边，且，则的最小值是______． 四、解答题 15．已知，均为锐角，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 16．已知向量，，在同一平面上，且， (1)若与垂直，求的值； (2)若（其中），当取最小值时，求向量与的夹角大小. 17．在中，． (1)若，求的值和的面积； (2)若，求角的大小； (3)若的周长为，求的面积． 18．在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形. (1)图1中直角三角形的两锐角分别为，，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值； (2)图2中的面积为，的面积为， （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若，设，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月21日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D A A C AD BD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】由向量与共线，得， 所以. 2．A 【分析】由同角三角函数关系结合，利用两角和的正弦公式展开即可求解. 【详解】因为，所以 ， 又，故， 由同角三角函数平方关系： ， 又 ， 则. 3．C 【详解】若，则命题不一定成立，故A错误； 若，则不存在实数，使得，故B错误； 由加法法则可知，，等号成立时同向或中至少有一个为零向量，故C正确； 分别表示与共线的向量，不一定相等，故D错误. 4．B 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式化简，结合已知条件即可求解. 【详解】 故选：B. 5．D 【详解】，， ， 因为，，所以， 因为在上单调递增，所以， 综上：. 6．A 【分析】根据、，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【详解】， ， 所以可得， 于是有. 7．A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 8．C 【详解】试题分析：由题设,即,也即,所以,又因,故,即;因为,故,故建立如图所示直角坐标系,则,则由题设可知,直线且,所以,即,应选C. 考点：三角变换向量的数量积公式直线的方程及基本不等式的综合运用. 【易错点晴】本题将向量的数量积公式和三角变换及基本不等式等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将,再运用已知得到,即.再将向量的数量积公式化为,从而求得,.最后通过构建平面直角坐标系求出直线且,然后运用基本不等式使得问题获解. 9．AD 【分析】对于A选项，由共线向量定理列方程直接求解；对于B选项，可判断出；对于C选项，取特殊值时， ，的夹角为，否定结论；对于D选项，直接求出在上的投影向量，即可判断. 【详解】对于A选项，由共线向量定理列方程，，所以，解得：或，则实数.故A选项正确. 对于B选项，因为，所以，即.故B错误； 对于C选项，当时，，，此时与，的夹角是钝角矛盾，C选项错误. 对于D选项，在上的投影向量是，D选项正确. 故选：AD. 10．BD 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，，B对； 对于C选项， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：BD. 11．BCD 【分析】由正弦定理及比例的性质判断A；由正弦定理及大边对大角，判断B；由三角形的内角和及两角和差的余弦、正弦公式化简，并利用正弦函数的单调性求得其取值范围，判断C；根据直角三角形内切圆半径的特征及辅助角公式求得内切圆半径的最大值，即可求得内切圆面积的最大值，判断D. 【详解】对于A，若，，则由正弦定理知，， 所以，所以A不正确； 对于B，若，且，且满足条件的三角形有两解，则，为锐角或钝角. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以B正确； 对于C，若为锐角三角形，且，则， 所以 . 因为，所以，所以. 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即的取值范围是，所以C正确； 对于D，若， 则由正弦定理得. 因为， ， 所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 因为，所以. 的内切圆半径为， 当时，取得最大值，此时的内切圆半径取得最大值， 所以该三角形内切圆面积的最大值是，所以D正确 12． 【分析】先根据的范围求出的范围，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后结合二倍角公式和诱导公式求出的值. 【详解】已知，则，所以. 又因为，所以. 根据三角函数平方关系，可得： 可得： 因为，所以. 再根据二倍角公式，可得： ① 又因为 ② 联立①②求解，因为，所以，. 由①得，代入②可得： 设（），则，两边同时乘以得： ，解得或，即或. 由于，则可以再缩小，因此. 因此.由于， 而 ， ， 则. 故答案为：. 13． 【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解. 【详解】依题意，设，，， 则， 由，则，整理得， 显然，否则，，与已知矛盾， 故，可得， 由，即，故，解得， 故. 故答案为：. 14．7 【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可． 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以，因为为锐角三角形，所以， 进一步可得，解得， 得到 ， 令，则， 所以， 由基本不等式， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为7． 15．(1) (2) 【详解】（1）由，展开得， 整理得. 因为均为锐角，所以，所以. 由两角和的正切公式， 代入得. 又，，故， 因此. （2）已知，为锐角，所以， 所以，由（1）知，则， 故. 由两角差的正切公式得： . 16．(1)； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示计算作答. （2）表示出的坐标，再利用模的坐标表示探求取最小值条件，借助向量数量积求解作答. 【详解】（1）因，，则，，而与垂直 于是得，解得， 所以. （2）由，，及，得， 于是有，则当时，取最小值， 此时，而，即有，， 所以向量与的夹角为 17．(1)，； (2) (3). 【分析】（1）由余弦定理求的值，利用面积公式求解三角形的面积 （2）求得，，利用，求解即可. （3）由的周长为，可得，结合余弦定理可得，并求得，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理可得， 即， 整理得， 解得(负根舍去)； 因为， 所以， 所以； （2）因为，， 所以，， 所以 ， 又因为， 所以； （3）因为的周长为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 即， 所以， 解得， 又因为， 所以； 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）将改为，将改为，利用两角和差的正余弦公式和二倍角公式整理化简，得到，利用诱导公式和二倍角的正切公式得到，从而得到； （2）由是边上靠近点的三等分点得到， 由和求出，利用正弦定理得到和，结合和得到； （3）由求出，由是锐角三角形得到，利用正弦定理得到，求出，利用正弦函数的图像和性质得到，利用三角形的面积公式，结合的范围得到面积的取值范围. 【详解】（1），， ， ，，，，，，， ，，，，， ，； （2）是边上靠近点的三等分点，， ，，， 在中，，，， 在中，，，， 则， ，， ，， ； （3），， 是锐角三角形，，，， ，，，， ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 面积的取值范围是. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知直角三角形的两直角边分别为，，进而根据面积关系得，再结合求得，最后结合两角差的余弦公式求解即可； （2）（i）由题意知，的边长分别为，，设，进而结合余弦定理求得，再结合余弦定理求解，最后计算数量积即可； （ii）设，根据面积关系得，，在中，根据由余弦定理得，进而得，再结合正弦定理得，最后求解余弦值即可. 【详解】（1）因为图1中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25， 所以小正方形的边长为3，大正方形的边长为5， 因为直角三角形的两锐角分别为，， 所以直角三角形的两直角边分别为，， 所以，即， 因为，， 所以， 所以， ， 解得，， 所以. （2）（ⅰ）因为的面积为，的面积为， 所以，， 所以的边长为，的边长为， 因为，设， 所以，在中，由余弦定理得， 即， 所以，解得或（舍）， 所以，， 所以， 所以； （ⅱ）设， 因为，所以，即， 由题意知，， 所以，在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，解得， 所以， 所以，在中，由正弦定理得，即，解得， 因为， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $