解三角形专题训练（十一）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

高一数学专题训练十一 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列说法中正确的说法为（   ） A．若，，则 B．在中，若，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 8．如图，边长为3的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的可能取值为（    ） A． B．1 C． D．2 三、填空题 9．在中，是边上一点，，，，，则_____. 10．中，角，，所对的边分别为，，，若的面积是2，则的最小值是________. 四、解答题 11．已知与，点与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点， . (1)若平分，求的长； (2)若，求的值. 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A． (2)已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学专题训练十一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C C C D BC ABC 1．A 【详解】， . 2．A 【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可． 【详解】 ． 3．C 【详解】由，得， 所以. 4．C 【分析】根据判断即可. 【详解】因为，所以 所以，即， 所以这样的三角形解的个数为2个，如图. 5．C 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ， 故. 6．D 【详解】，，. 中，，，，， 由正弦定理得，解得， 扇形区域面积为. 7．BC 【分析】利用共线向量的意义判断选项A和D；利用正弦定理判断选项B；利用数量积的运算律及性质判断选项C. 【详解】对于A，当时，对任意向量均有，因此向量不一定共线，A错误； 对于B，在中，，B正确； 对于C，由，得， 整理得，且向量是非零向量，因此与共线且反向，C正确； 对于D，当时，满足，对，均有，即的值有无数个，D错误. 8．ABC 【分析】求出外接圆半径并在圆心处建立直角坐标系，设，利用可将用、表示出来，然后利用两角和的正弦公式及三角函数的有界性求出的范围. 【详解】连接与AB交于点D，因为是边长为3的等边三角形， 所以且D为的中点，则,,， 建立如图所示直角坐标系， ,,， 因为为半径为的圆上任一点，可设， ，，， 因为， 所以， 则 ， 因为，所以，所以的可能取值为、1、. 9． 【分析】法一：根据余弦定理求解即可；法二：先根据勾股定理逆定理得到，进而求得结果. 【详解】法一：在中，，，， 由互补角余弦值互为相反数得 由余弦定理得 即，故 法二：在中，，故 故 10． 【分析】先由三角形面积公式得与的关系，再用余弦定理代换目标表达式，接着通过基本不等式放缩，随后设斜率转化几何意义，最后利用直线与单位圆相切求最值，得出最终结果. 【详解】在中，，得，即. 由余弦定理. 所以. 由基本不等式，当且仅当时取等号. 代入得. 令，，所以 则表示单位圆上的点与连线斜率,， 直线与单位圆相切时，. 解得，即. 故，即. 因此. 两处等号可同时成立，故最小值为. 11．(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定理判断三角形类型，确定边长关系，再结合余弦定理直接求解. （2）利用坐标将几何问题代数化，利用向量点积公式计算夹角余弦值，进一步得出正弦值. 【详解】（1）因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在中，是的平分线且过对边的中点， 故是等腰三角形，即， 在中，由余弦定理得， ， 所以，， 则在中，，，， 由余弦定理得 ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以. （2）以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知坐标为， 因为，，得坐标为， 又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为， 设点坐标为，由和，得出点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 12．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，因为，所以； （2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分， 所以， 因为， 所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由， 得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8； 由余弦定理得， ， 令，则， 因为 ，当时，的最小值为， 则的最小值为， 所以周长的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $