第十章二元一次方程组 单元测试卷-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期

2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二元一次方程组） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．二元一次方程（   ） A．有且只有一个解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解 3．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 4．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 5．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 6．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 7．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 8．若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 9．为打造一公园风光带，现有一段长为340米的人行步道修建任务，由A，B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天修建12米，B工程小组每天修建10米，共用时30天．设A工程小组修建人行步道米，B工程小组修建人行步道米，依题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．若关于的方程组与的解相同，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知，则_______ ． 12．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为_______ 13．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 14．若，则的值为_______． 15．若正整数m、n满足，则______． 16．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 18．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 19．解下列方程组： (1) (2) 20．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 21．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 22．某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 23．某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 24．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二元一次方程组） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组的定义为：由一次方程组成，且方程组中共含有两个未知数的整式方程组，叫做二元一次方程组. A中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； B中方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； D中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组． 2．二元一次方程（   ） A．有且只有一个解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解 【答案】B 【详解】解：∵方程是二元一次方程，含有两个未知数且无其他附加限制条件， ∴任取一个的合理取值，都能得到对应的值， 因此该方程有无数个解． 3．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的变形，利用等式的基本性质对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到答案． 【详解】对①移项，得，故A错误，B正确； 对②移项，得，故C，D错误． 4．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可． 【详解】解：方程组可变形为， ∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得． 5．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得：， ∴一元一次方程可化为， 解得：． 故选：A． 6．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可看出：小长方形的个长一个宽，小长方形的个宽一个长，设出长和宽，列出方程组即可得答案． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为． 7．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设桌子高度和木块长宽为未知数，根据两种放置方式列二元一次方程组，将两方程相加消去长宽差，直接算出桌子高度为． 【详解】解：设桌子高度为，长方体木块的长为，宽为， 根据两个放置方式可列方程：， 将两个方程相加，得：， 解得， 即桌子高度为． 8．若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 9．为打造一公园风光带，现有一段长为340米的人行步道修建任务，由A，B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天修建12米，B工程小组每天修建10米，共用时30天．设A工程小组修建人行步道米，B工程小组修建人行步道米，依题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题干中提取两个等量关系：一是A、B两队修建的总长度等于任务总长340米，二是两队的工作时间之和等于总用时30天，根据等量关系列方程组即可． 【详解】解：设A工程小组修建人行步道米，B工程小组修建人行步道米， 修建任务总长为340米，两队修建长度之和等于总任务长度， ， A工程小组每天修建12米，修米需要天，B工程小组每天修建10米，修米需要天，总用时为30天， ， 因此可列方程组为． 10．若关于的方程组与的解相同，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，体现了整体思想，直接两式相加求出a+b的值是解题的关键． 联立不含的两个方程求出的值，把的值代入另外两个方程，两式相加即可得到的值． 【详解】解：联立， 解得：， 代入另外两个方程得：， 两式相加得：， 所以：． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 12．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为_______ 【答案】 【详解】解：把代入二元一次方程， 得， 解得． 13．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，由题意得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：3，． 14．若，则的值为_______． 【答案】6 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边对应项系数相等求出和的值，最后代入计算的值． 【详解】解：展开等式左边，得． 由题意得 ． 根据等式两边多项式对应项系数相等，可得． 解得 ， 将代入，得． 15．若正整数m、n满足，则______． 【答案】2或4 【分析】本题考查二元一次方程的整数解．根据m、n是正整数，结合方程找到合适的解即可． 【详解】解：∵m、n是正整数，， ∴是正偶数，也是正偶数， ∴是正偶数， 又∵是正整数， ∴， 解得， 所以可取2或4． 当时，；当时，，两种情况均符合题意， ∴或， ∴或． 16．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【答案】－10 【分析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据新定义运算，列出关于a，b，c的方程组，通过消元法求解a，b，c的值，再代入计算5△7的值． 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 18．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 【答案】a，b的值分别为3，0 【分析】本题考查了二元一次方程组求解，准确的计算是解题的关键． 根据关联点的定义，把代入方程组中，即可求解． 【详解】解：由题意得，把代入方程组中， 得，， 解得． 19．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是根据方程组的特点，选择合适的消元方法（代入消元法或加减消元法）消元求解． （1）用代入消元法，将代入消去，先求再求； （2）用加减消元法，两式相减消去，先求再求． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， ， ∴． 把代入①，得， 方程组的解为． （2）解： ②-①，得， ∴． 把代入①，得 方程组的解为 20．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 21．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【详解】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 22．某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 23．某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 【答案】(1) 每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是 (2) 这些机器人内的总搬运量是 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）中求出的结果计算即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是， 则有， 解得， 答：每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是； （2）解：， 答：这些机器人内的总搬运量是． 24．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 【答案】(1)3月的快递费用共需174元 (2)该商家省内体积重是，省外体积重是 【分析】本题考查有理数混合运算与二元一次方程组的实际应用. （1）先根据轻抛件计费规则确定各包裹的计费重量，再结合顺丰的收费标准分别计算各部分费用，求和得到总费用； （2）设省内和省外的体积重分别为未知数，根据总体积和费用差列出二元一次方程组，求解即可得到结果． 【详解】（1）解：计算省内乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省内乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 总费用（元）； 答：3月的快递费用共需174元； （2）解：， 设该商家省内体积重为，省外体积重为， 由体积重公式可得总体积满足， 整理得， 计算顺丰总费用：， 计算德邦总费用：， 由顺丰比德邦便宜50元，可得， 整理得， 联立方程组得 解得， 答：该商家省内体积重是，省外体积重是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $