精品解析：黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学校2025-2026学年下学期八年级期中测试（数学）

虹桥中学初二学年（下）期中测试（数学） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项是整数，属于有理数，不符合要求； B选项是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； C选项， 是整数，属于有理数，不符合要求； D选项是有限小数，属于有理数，不符合要求； 2. 如图，与为同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【详解】解：、含有三个未知数，不符合题意； 、符合二元一次方程组的定义，符合题意； 、未知数项的次数是 ，不符合题意； 、未知数在分母上，不是整式方程，不符合题意； 故选： ． 4. 如图，小明将写有“知”“识”“拓”“展”的四张卡片分别放入平面直角坐标系中，则写有“拓”的卡片遮住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，掌握第一象限，第二象限，第三象限，第四象限是解题关键．由直角坐标系可知，写有“拓”的卡片在第四象限，即该象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0，据此即可得到答案． 【详解】解：由直角坐标系可知，写有“拓”的卡片在第四象限， 遮住的点的坐标 故选：C 5. 如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 ，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义，结合得出，根据对顶角相等即可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处，则下列结论错误的是（　　） A. BD∥CF B. AE = CF C. ∠A = ∠BDE D. AB = EF 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形平移的性质逐一推导即可判断． 【详解】解：∵将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处， ∴A，E，C，F四点共线，， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处， ∴， ∴，即， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∵将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处， ∴， ∴D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了图形平移的性质，熟练掌握图形的平移性质是解题的关键． 7. 如图是一张长条形纸片，其中 ，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若∠1＝∠2，则的度数为（　　） A. 72° B. 36° C. 60° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠性质用含∠2的式子表示，再根据平行线的性质得∠2=∠3，然后根据三角形内角和定理求出∠2，最后根据平行线性质得出答案． 【详解】如图，根据折叠，可得， ∴． ∵ ， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2=∠3， ∴， 解得∠2=60°． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，根据三角形内角和定理列出关于∠2的方程是解题的关键． 8. 如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，以点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正方形的边长，再根据作图可知，即可求得答案． 【详解】解： 正方形 的面积为5， ， 以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E， ， 点E表示的数为． 9. 在平面直角坐标系中，点 的坐标为，点 在轴上，线段 长度的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂线段最短的性质求解． 【详解】解：∵点 在轴上，根据直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴ 长的最小值等于点P到y轴的距离， ∵点P的坐标为， ∴点P到y轴的距离为，即 长的最小值为 ． 10. 下列命题：①对顶角相等；②如果，那么；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中假命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的性质、平方根的概念、平行公理、垂线段的性质，逐一判断命题真假即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②若，则或，因此命题“如果，那么”是假命题； ③平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．若点在已知直线上，无法作出平行于已知直线的直线，原命题缺少条件，因此是假命题； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题； 综上，假命题共有 个． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 实数的相反数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的相反数，的相反数是，据此求解． 【详解】实数的相反数为， 故答案为：． 12. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】∵32＝9，9＜10， ∴3＜， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 13. 已知二元一次方程．用含 的代数式表示，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，按照解方程的一般步骤，把含有 的项改变符号后移到等号右边即可．解题关键是熟练掌握解二元一次方程的一般步骤． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知直线，将一块含 角的直角三角板 ，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 【答案】##48度 【解析】 【分析】根据直角三角板得到，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ 是直角三角板， ， ， ． 15. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 16. 若m，n为有理数，且，则的算术平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得，，所以，即可根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是． 17. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在 上）， 为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 阅读下列材料：我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题，已知一个整数的立方是，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道他是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 由，确定是一个两位数； 由于0到9十个数字中只有9的立方末位是9，确定的个位上的数是9；③如果划去后面的三位得到数，而，，确定的十位上的数是3，所以． 根据材料解决问题：若一个整数的立方是，则这个整数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】按照题干给出的确定立方根的方法，先确定该数的位数，再确定个位数字，最后确定十位数字，即可得到结果． 【详解】解： ，， 可得，因此是两位数． 由于到 十个数字中只有 的立方末位是 ，因此的个位上的数是 ． 划去后面的三位得到数 ，而，， 可得，因此的十位上的数是 ． 因此这个整数为． 19. 如果点在 轴上，那么点 的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据在 轴上的点的纵坐标为列方程，利用平方根的性质求出 或，分别代入求出点 横坐标即可． 【详解】解：∵点在 轴上， ∴， 解得： 或， 当 时，，点 坐标为； 当时，，点 坐标为； 综上所述：点 的坐标为或． 20. 如图，线段 和 表示两面镜子，且直线直线 ，光线 经过镜子 反射到镜子 ，最后反射到光线．光线反射时， ，，下列结论： ①直线直线； ②的平分线所在直线与的平分线所在直线平行； ③的平分线所在直线垂直于直线 ； ④如果，那么． 其中正确的是______（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据，，得出，即可证明；如图，分别是的平分线与的平分线，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，即可证明；根据角平分线的定义以及平角的定义可得，结合可得，根据得出，根据平角的定义得出，即，即可得出． 【详解】解：， ， 又，， ， 又，， ， ，∴结论①正确； 如图，分别是的平分线与的平分线 ∴， ∵ ∴ ∴即 ∴，故②正确 ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确 ∵， ∴ ∴，即 ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题（21-22题各6分，23题8分，24-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的加减运算法则计算； （2）利用求一个数的算术平方根，有理数的乘方运算法则以及求一个数的绝对值进行计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 22. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先两边同除以2，得到，再根据立方根的定义，求得，即可得到答案； （2）再与①相加，可求得，再将代入①求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，得， ，得， ， 把代入①，得， ， 原方程组的解是． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形 的三个顶点坐标分别为，，．现将三角形 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）三角形的面积为____________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）、、 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）根据网格得出点的坐标； （3）借助网格得出三角形的底和高，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，、、； 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 24. 如图，已知， ，垂足分别为 、 ，，求证：． 请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 解： ， （已知） （ ） （ ） _____（ ） 又（已知）， （ ） ． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】利用平行线的判定和性质以及垂直的定义进行证明． 【详解】证明： ， （已知） （垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （内错角相等，两直线平行） ． 25. 我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 （1）数对的开方对称数对为______和______； （2）若数对的一个开方对称数对是，则_______； （3）若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （2）根据“开方对称数对”的定义解答即可； （3）根据“开方对称数对”的定义分两种情况解答即可； 【小问1详解】 解：∵，， ∴数对的开方对称数对为和； 【小问2详解】 解：∵，，数对的一个开方对称数对是， ∴； 【小问3详解】 解：∵数对的一个开方对称数对是， ∴根据“开方对称数对”的定义，需要分两种情况讨论： 当，时，，，此时； 当，时，，，此时； ∴的值为或． 26. 已知：如图，四边形为长方形，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点 的坐标为 （1）直接写出点 的坐标为__________； （2）有一动点 从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 向终点运动，当直线 将长方形的周长分为两部分时，求点 的运动时间； （3）在（2）的条件下，点 为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点 的坐标． 【答案】（1） （2）秒 （3）点 的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质以及给出点的坐标求解； （2）求出长方形的周长，确定 的长，即可求出时间； （3）根据三角形的面积，分四种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为长方形， ∴， ∵点的坐标为，点 的坐标为， ∴点 的坐标为； 【小问2详解】 解：∵四边形为长方形，且点的坐标为，点 的坐标为， ∴， ∴四边形的周长为， ∵直线 将长方形的周长分为两部分， ∴， ∴， ∴点 的运动时间为（秒）； 【小问3详解】 解：由得，，由得，， ①当点 位于轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； ②当点 位于 轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； 综上，点 的坐标为或或或； 27. 课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点是 外一点，连接 、 ，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点作 ________，________， 又， ． （2）【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知，试说明 ，，之间的数量关系，并证明． （3）【深化拓展】如图3，直线，直线 分别交直线 、 于点、 ，点 在直线 、 之间，点 、 在直线 上，点 在直线 上方，分别连接、 、、、 、，且，，，，， 平分，点 在直线 上，连接，，，求的度数． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质求解； （2）过点 作，利用平行线的性质证明； （3）利用平行线的判定和性质得出角之间的关系，假设未知角度，利用三角形内角和定理以及角之间的数量关系列出方程求解． 【小问1详解】 解：过点作 ，， 又， ． 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2所示，过点 作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 令，则，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹桥中学初二学年（下）期中测试（数学） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，与为同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明将写有“知”“识”“拓”“展”的四张卡片分别放入平面直角坐标系中，则写有“拓”的卡片遮住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线 ，相交于点 ， ，垂足为 ，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将△ABC沿边AC所在直线平移至△EDF处，则下列结论错误的是（　　） A. BD∥CF B. AE = CF C. ∠A = ∠BDE D. AB = EF 7. 如图是一张长条形纸片，其中 ，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若∠1＝∠2，则的度数为（　　） A. 72° B. 36° C. 60° D. 65° 8. 如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，以点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点 的坐标为，点 在 轴上，线段 长度的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 下列命题：①对顶角相等；②如果，那么 ；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中假命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 实数的相反数为________． 12. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）． 13. 已知二元一次方程．用含 的代数式表示 ，则_______． 14. 已知直线，将一块含 角的直角三角板 ，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 15. 已知，则_______． 16. 若m，n为有理数，且，则的算术平方根是_______． 17. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在 上）， 为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 18. 阅读下列材料：我国著名数学家华罗庚先生在飞机上看到一个智力题，已知一个整数的立方是，求这个整数．他迅速得出答案是39．你知道他是怎样迅速准确地计算出来的吗？由，确定是一个两位数；由于0到9十个数字中只有9的立方末位是9，确定的个位上的数是9；③如果划去后面的三位得到数，而，，确定的十位上的数是3，所以． 根据材料解决问题：若一个整数的立方是，则这个整数是_______． 19. 如果点在 轴上，那么点 的坐标为_______． 20. 如图，线段 和表示两面镜子，且直线直线，光线 经过镜子 反射到镜子，最后反射到光线．光线反射时， ，，下列结论： ①直线直线； ②的平分线所在直线与的平分线所在直线平行； ③的平分线所在直线垂直于直线； ④如果，那么． 其中正确的是______（填序号） 三、解答题（21-22题各6分，23题8分，24-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形 的三个顶点坐标分别为，，．现将三角形 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）三角形的面积为____________． 24. 如图，已知， ，垂足分别为 、 ，，求证：． 请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 解： ， （已知） （ ） （ ） _____（ ） 又（已知）， （ ） ． 25. 我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 （1）数对的开方对称数对为______和______； （2）若数对的一个开方对称数对是，则_______； （3）若数对的一个开方对称数对是，求的值． 26. 已知：如图，四边形为长方形，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点 的坐标为 （1）直接写出点 的坐标为__________； （2）有一动点 从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 向终点运动，当直线将长方形的周长分为两部分时，求点 的运动时间； （3）在（2）的条件下，点 为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点 的坐标． 27. 课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点是 外一点，连接 、 ，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点作 ________，________， 又， ． （2）【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知，试说明 ，，之间的数量关系，并证明． （3）【深化拓展】如图3，直线，直线 分别交直线 、于点、 ，点 在直线 、之间，点 、 在直线 上，点 在直线 上方，分别连接 、 、、、 、，且，，，，， 平分，点 在直线 上，连接，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $