精品解析：天津市南开中学2025-2026学年度第二学期质量监测（一）高一数学试卷

南开中学2025-2026学年度第二学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请将答题纸交回. Ⅰ卷（共60分） 一､选择题（共60分，每题5分） 1. 的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以其虚部为1． 2. 下列命题正确的是（ ） A. 模相等的两个共线向量是相等向量 B. 若且，则 C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】模相等的两个共线向量可以是相等向量或相反向量，A选项错误； 且，若，则，不一定共线，B选项错误； ，不一定等于，C选项错误； 若，则，D选项正确； 3. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B. 正三棱锥的每个面都是正三角形 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误. 【详解】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：D 4. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案. 【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 5. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为 . 6. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 8. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得：，即， 由于，故，又，则或. 9. 在中，，且为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，利用平面向量基本定理表示，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由题意得： ， 又， 所以 . 10. 点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 11. 已知等腰梯形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的加减法结合数量积运算律计算求解. 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， 且， 又因为且，所以为等边三角形， 所以， 从而， 故选：B． 12. 如图，几何体是由两个四棱锥与组合而成，两四棱锥的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为，的中点，与交于点，与交于点．若四棱锥的外接球体积记为，四棱锥的体积记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记正方形的中心为，的外心为，外接球球心为，根据列方程可求得外接球半径，然后可得.证明，，进而证明四边形是平行四边形，可得E为线段的中点，分析四棱锥的底和高，可得所求，然后可得比值. 【详解】 记正方形的中心为，的外心为，外接球球心为，连接， 则平面，平面，平面，平面， 所以 因为平面，所以，所以四边形为矩形， 设，则， ， 因为，所以，解得， 所以外接球的半径，所以. 连接，，如图，因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又，所以四边形是矩形， 所以，， 又，分别为AB，CD的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又对角线，所以点E为线段的中点. 连接，交EF于点N，过点作于M， 由题意知，故， 又，，，平面，所以平面， 故，又，，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 同理可得点F为线段的中点，所以，， 在中，，则，所以， 因为， 所以. 所以. 故选：C. Ⅱ卷（共100分） 二､填空题（共40分，每题5分） 13. 计算________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，根据平面向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解. 【详解】如图所示： 因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点， 所以, ， 所以. 又因为， 则. 故答案为： 15. 已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 【答案】19 【解析】 【分析】由题意可得方程的另一个根为，然后利用根与系数的关系可求出的值，从而可求出 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，解得， 所以， 故答案为：19 16. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式求解. 【详解】如图所示，为正四棱台，连接， 由，得， 过作，为垂足；过作，为垂足， 则，， 又，在中，得， 所以正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为4和16， 体积. 故答案为：28 17. 正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定旋转体是母线且同底的两个圆锥构成的几何体，进而可得. 【详解】由题意知，为等腰三角形，且， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积． 故答案为：. 18. 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形， 其中，设，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题先利用图中的等边三角形的全等关系，得出相应向量的线性关系，通过三角形法则，将目标向量转化为其他两个向量和的形式，从而求出对应系数的和. 【详解】解：由图可知，，， 因为，所以，， 由，，， 所以， 又，所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 化简得， 整理得，所以，， 因此，. 19. 如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，先利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理求得结果. 【详解】在中，， 所以. 所以根据正弦定理得，即，解得. 因为，所以是等边三角形，所以. 在中，， 根据余弦定理得，代入数据得 ，解得， 即. 20. 已知在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，．若，AE与BF交于点N，，则的值为__________．若，则的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设、，用、作为一组基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，从而求出、，即可得解；用、作为基底表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算可得. 【详解】当时，即为的中点， 因为、、三点共线， 设，则 ， 因为、、三点共线， 设，则， 又、不共线， 根据平面向量基本定理得，解得， 所以，又，则， 所以； 因为， ， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 三､解答题（共50分） 21. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约有3000至5000年历史.考古工作者在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，求该玉琮的体积和表面积. 【答案】体积，表面积. 【解析】 【分析】玉琮的体积可分为两部分来计算，一部分是圆筒，大圆柱减去内部小圆柱的体积，一部分是外侧正方体的部分，即正方体的体积减去内部圆柱体的体积；玉琮的表面积可分为内外两部分，内部为圆柱的侧面积，外部圆柱侧面积的一部分和正方体的部分表面积之和. 【详解】由题图可知，该组合体体积中圆筒的体积为， 正方体部分的体积为， 所以该组合体的体积为， 该组合体内部表面积为，外部侧面圆筒部分表面积为， 正方体部分侧面积为，上下底面积相同各为， 所以该组合体表面积为. 22. 在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可求答案； （2）利用正弦定理求出，结合余弦定理可求答案； （3）先利用倍角公式求出，再利用和角公式可求答案. 【小问1详解】 因为, 根据正弦定理得， 整理得, 根据余弦定理, 可得， 又因为,（是的内角）, 所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得， 由（1）知，结合， 由余弦定理得，. 【小问3详解】 由已知得， ， . 23. 在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． （1）若，求； （2）若，求BC的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合余弦定理可求得的长，在中，利用余弦定理即可求解； （2）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，进而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以， 设，所以， 即，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得：. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 所以，化简得， 解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 所以. 24. 欧阳南德与上官琐艾曾为纪念高中时代而设计属于他们的徽章，如今，他们仍不忘母校，于是设计了蕴含校徽及“NK”元素的第二枚徽章.在这枚徽章（如图1）的设计图中，已知四边形为正方形，，，线段与交于点，且，. （1）若，. ①求的值； ②连结，求的面积. （2）如图2，点，分别为线段，上的动点，满足，四边形寓意“一只自由翱翔但又方向坚定的纸飞机，正好比他们在南开牵起的青春”.设与的面积分别为与，当时，求的值. 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】(1)①利用余弦定理求得，用正弦定理即可得到的值； ②利用正弦定理得到，得到，连接，可得，且，从而求得，根据几何关系得到，利用三角形的面积公式即可求解； (2)设，利用正弦定理可得：，，利用三角形面积公式代入化简可得，利用和差化积公式打开化简即可求解. 【小问1详解】 ①在中，因为，，， 由余弦定理可得：， 即， 所以， 由正弦定理可得：，即. ②由正弦定理可得：，即， 因为，所以， 则 连结， 因为，，线段与交于点，且，. 所以四点共线，则，且 ， 所以， 因为， 所以 【小问2详解】 设， 所以， 在中，由正弦定理可得：，即， 同理， 所以，， 由，可得， 化简得：，两边同除以 ，并用和差角公式展开，得， 即 ， 解得：或， 因为， 所以， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2025-2026学年度第二学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请将答题纸交回. Ⅰ卷（共60分） 一､选择题（共60分，每题5分） 1. 的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 下列命题正确的是（ ） A. 模相等的两个共线向量是相等向量 B. 若且，则 C. D. 若，则 3. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B. 正三棱锥的每个面都是正三角形 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 4. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 在中，，且为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知等腰梯形中，，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，几何体是由两个四棱锥与组合而成，两四棱锥的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为，的中点，与交于点，与交于点．若四棱锥的外接球体积记为，四棱锥的体积记为，则（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷（共100分） 二､填空题（共40分，每题5分） 13. 计算________． 14. 已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则__________. 15. 已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 16. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 17. 正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______． 18. 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形， 其中，设，则__________. 19. 如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 20. 已知在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，．若，AE与BF交于点N，，则的值为__________．若，则的最小值是__________． 三､解答题（共50分） 21. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约有3000至5000年历史.考古工作者在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，求该玉琮的体积和表面积. 22. 在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 23. 在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． （1）若，求； （2）若，求BC的长． 24. 欧阳南德与上官琐艾曾为纪念高中时代而设计属于他们的徽章，如今，他们仍不忘母校，于是设计了蕴含校徽及“NK”元素的第二枚徽章.在这枚徽章（如图1）的设计图中，已知四边形为正方形，，，线段与交于点，且，. （1）若，. ①求的值； ②连结，求的面积. （2）如图2，点，分别为线段，上的动点，满足，四边形寓意“一只自由翱翔但又方向坚定的纸飞机，正好比他们在南开牵起的青春”.设与的面积分别为与，当时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $