福建厦门集美中学2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测数学试题

**基本信息** 试卷注重基础与能力梯度，结合航行距离、观景架拉索等生活情境，考查数学思维与应用，如解答题19题通过实际问题发展创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、立体几何、向量|基础概念辨析，如复数象限判断| |多择题|3/18|复数运算、向量性质|多角度考查，如正方体动态问题| |填空题|3/15|棱台体积、解三角形应用|实际情境应用，如航行距离计算| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明、数学建模|综合性强，如观景架拉索问题考查最值求解与创新意识|

集美中学2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟：满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1．设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若平面平面，，则与的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．在内 D．无法判定 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知在长方体中，，则和BG所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 5．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 6．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 7．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 8．在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．已知为虚数单位，复数，，则（    ） A．的共轭复数为 B． C．为实数 D．的虚部为-5 10．向量，满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模等于 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与互为异面直线 C．从点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为 D．当为线段中点时，平面截正方体所得截面图形为梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________. 13．一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米. 14．已知复数满足，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共77分） 15．（本题13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 16．（本题15分）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 17．（本题15分）如图，已知在平行四边形中，，，，设向量是与向量垂直的单位向量． (1)求点D的坐标；并判断平行四边形是否为矩形． (2)求单位向量的坐标； 18．（本题17分）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 19．（本题17分）如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，． (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为2的等边三角形，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《集美中学2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A B C C BD BCD 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14．4 15．(1) (2)7 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 17．(1)，平行四边形不是矩形 (2)或 18．(1) (2) (3) 19．(1)； (2)4 (3) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $