广东揭阳市揭东区第三中学2025-2026学年第二学期高二级阶段练习卷2【选择性必修第三册第6章 计数原理】

2025-2026学年度第2学期揭东三中高二级阶段练习卷2 考查内容：选择性必修第三册第6章 计数原理 一、单选题 1.某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 2．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 4．在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（    ）种.    A．4 B．5 C．6 D．8 5.将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 6.如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 7.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 8.讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。学号为1-7号的7名学生，按照学号1-7的顺序依次取书，每名学生只能从其中一摞的最上面取一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 二、多选题 9.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（　　）    A．种 B．种 C．12种 D．32种 10.已知的展开式中第3项与第7项的系数相等，则（   ） A． B．的展开式中项的系数为56 C．奇数项的二项式系数和为128 D．的展开式中项的系数为 11.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 三、填空题 12.已知，若．则实数__________． 13.为确保学生身心健康，全面发展，高中课程内容覆盖学科教学、体育、艺术等类别，我校按照教育部的指导，安排上午四节课，下午三节课，现在安排我班一天中语文、英语、物理、政治、体育各一节，数学两节，要求两节数学课都排在上午或下午、且连续，体育课排在下午，则不同的排法有________种． 14.高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 四、解答题 15.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 16.已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． (1)求和的值； (2)求展开式中系数最大的项． 17.已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）. (1)求的展开式中的系数； (2)令，证明能被7整除； (3)若，求实数. 18.为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 19.已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第2学期揭东三中高二级阶段练习卷2 考查内容：选择性必修第三册第6章 计数原理 一、单选题 1.某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解析】15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有3个奇数和2个偶数．通过按日期分步，分2类， 第一类：，第二类：，共27种. 故选：B． 2．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D. 3．已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【详解】由题意先将丙、丁排列有种站法， 再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊， 有种站法， 根据分步乘法计数原理， 得共有种不同的站法. 故选：A. 4．在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（    ）种.    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】接通电源使灯泡发光的方案可分为两类：第一类，闭合中的一个开关，共2种方法； 第二类，闭合中的一个开关，共3种方法.根据分类加法计数原理可知. 故选：B 5.将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 【答案】B 【解析】将捆绑在一起，视为一个整体，不考虑的位置，则有（种）排法， 当在两端时，有（种）排法， 所以满足要求的排列方法有（种）. 故选：B 6.如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】D 【解析】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 7.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的是（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 【答案】D 【详解】由题意，，所以， 则所有奇数项的二项式系数和为，故A错误， 令，得所有项的系数和为，故B错误， 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误， 因为展开式通项为， ， 要使展开式中的项为有理项，则为整数， 此时，3，6，9，12，共有5项，故D正确. 故选：D. 8.讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。学号为1-7号的7名学生，按照学号1-7的顺序依次取书，每名学生只能从其中一摞的最上面取一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 【答案】C 【解析】根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把、、按从小到大自左向右顺序填进去， 剩下四个空将、、、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种. 故选：C. 二、多选题 9.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（　　）    A．种 B．种 C．12种 D．32种 【答案】AB 【解析】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出： ①要走的路程最短必须走5步，且不能重复； ②向东的走法定出后，向南的走法随之确定， 所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可， 故不同走法的种数有种． 故选：AB 10.已知的展开式中第3项与第7项的系数相等，则（   ） A． B．的展开式中项的系数为56 C．奇数项的二项式系数和为128 D．的展开式中项的系数为 【答案】ACD 【详解】因为的展开式通项为（且）， 所以的展开式的第项的系数为， 依题意可得，所以，故A正确； 因为的展开式通项为（且）， 所以项的系数为，故B错误； 奇数项的二项式系数和为，故C正确； 根据二项式定理，表示个相乘， 所以在这个因式中，其中个选择，个选择，个选择， 所以的展开式中项的系数为，故D正确； 故选：ACD 11.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 【答案】ABC 【详解】A：展开式各项的二项式系数之和为，则，故A正确； B：当为偶数时，中间项的二项式系数最大，由，第4项作为中间项，其二项式系数最大，B正确； C：当时，展开式通项为，令，解得，此时常数项为，C正确； D：由题设，令，则，解得或，D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12.已知，若．则实数__________． 【答案】1或 【详解】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 13.为确保学生身心健康，全面发展，高中课程内容覆盖学科教学、体育、艺术等类别，我校按照教育部的指导，安排上午四节课，下午三节课，现在安排我班一天中语文、英语、物理、政治、体育各一节，数学两节，要求两节数学课都排在上午或下午、且连续，体育课排在下午，则不同的排法有________种． 【答案】264 【详解】（1）若两节数学排在下午，有两种情况，1,2节或2,3节，剩下一节对应体育， 第二步，上午4节课全排列即可，有，故共有种， （2）若两节数学排在上午，有1,2或2,3或3,4，共3种排法， 第二步，排体育，易知有3种排法， 第三步，剩下4节课，全排列，有，故共有， 所以共有种， 故答案为：264 14.高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 【答案】40 【解析】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有, 因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法， 则根据分步计数乘法原理满足条件的出场顺序共有种， 故答案为：40. 四、解答题 15.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【详解】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 16.已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． (1)求和的值； (2)求展开式中系数最大的项． 【详解】（1）因为展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有7项，即. 令，所以所有项的系数和， 因为，解得； （2）的展开式的通项为 ，， 设展开式中第项的系数最大， 则，解得， 因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 17.已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）. (1)求的展开式中的系数； (2)令，证明能被7整除； (3)若，求实数. 【详解】（1）方法1：展开式中仅有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，， 方法2：，解得，得. 的通项公式：， 令，得的系数. （2） 所以能被7整除. （3） ， ∴. 令得， . 18.为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【详解】（1）先将3名男生排在一起，有种排法， 再将2名女生排在一起，有种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有种排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法． （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法． 19.已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）令，得①. （2）令，得②， 由①②，得， 所以. （3）因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以. （4）， 两边分别求导，得， 令，得. 学科网（北京）股份有限公司 $