综合测试卷（考查范围：第六章至第八章）-2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册

选修3综合单元测试卷 （考查范围：第六章至第八章） 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 参考答案 一、单选题 1．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 2．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，， 故. 3．李华新开了一家便利店，开业第一周的营业收入(单位：千元)统计如下： 天数序号X 1 2 3 4 5 6 7 营业收入Y/千元 11 13 18 ※ 28 ※ 35 其中第4天和第6天的数据由于某种原因而模糊，但知道7天的营业收入的平均值是23.已知营业收入Y与天数序号X可以用线性回归方程拟合，且第7天的实际值比预测值小0.6，则预计第10天的营业收入是（    ） A．38.4千元 B．44.8千元 C．46.2千元 D．48.2千元 【答案】D 【详解】由第7天的实际值是，所以预测值为35.6，得　①， 因为回归直线经过中心点，又，，所以②， 联立①②，解得，， 所以预计第10天的营业收入(千元). 4．“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.为了缓解教育的“内卷”现象，2021年7月24日，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，某初中学校为了响应上级的号召，每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了乒乓球，羽毛球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（    ） A．60种 B．78种 C．54种 D．84种 【答案】C 【分析】根据题意，每位同学每年所修课程数按1，1，2或0，2，2，分成三组，再进行排列 【详解】解：由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门， 则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2， 先将4门学科按1，1，2分成三组，有种方式， 再分到三个学年，有 种不同方式， 由分步计数原理得，不同选修方式共有 种， 同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有种， 所以共有36+18=54种， 故选：C 5．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有3个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分取到甲、乙、丙袋三种情况，结合全概率公式计算即可得. 【详解】设事件“取出的是甲袋”，“取出的是乙袋”，“取出的是丙袋”， “取出的是红球”， 则 . 故选：D. 6．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 7．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 【答案】C 【分析】由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式可求得常数项． 【详解】由题意，解得． 展开式通项为， 由得，解得，∴常数项为． 故选：C． 8．某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或．若该动点从原点出发，经过6步运动到点，则有种不同的运动轨迹． A．15 B．14 C．9 D．10 【答案】C 【详解】 试题分析：如上图，该动点从原点出发，按规律运动到或或或或各有一种，运动到有两种，到各三种，……，由此可知它符合二项式系数规律，如此下去可得经过6步运动到点，有种不同的运动轨迹． 考点：排列组合． 二、多选题 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，则，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，令，则， 与B项中所得的式子相加，得，C错误； 对于D，因为， 所以它的展开式中含项的系数为，D正确. 10．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 【答案】ABD 【分析】对于A，分患病者在混检的4人中和患病者不在混检的4人中两种情况分析判断即可，对于B，分患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他两种情况求解，对于C，分患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他两种情况求解即可，对于D，设检测次数为随机变量，则可能取2，3，4，求出相应的概率，从而可求出期望. 【详解】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者， 若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者， 若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A正确； 对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他， 所以其概率为，所以B正确； 对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他， 其概率为，所以C错误； 对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为 2 3 4 所以，故D正确． 故选：ABD 11．设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（    ） X 0 1 2 P A．恒为1 B．随增大而增大 C．恒为 D．最小值为0 【答案】AC 【分析】由概率之和为求出，再由数学期望和方差的公式求解即可. 【详解】因为，解得：， 所以随机变量的分布列如下图， X 0 1 2 P 因为， 恒为1，故A正确；B错误； ， 故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的，能被5整除的6位数_________（用数字作答） 【答案】216 【分析】分个位数为0和5两种情况，结合排列知识求解，相加即可 【详解】能被5整除的6位数个位数为0或5， 当个位数为0时，有个数满足要求， 当个位数为5时，十万位上不能为0，故十万位上的数有4种选择， 万位，千位，百位和十位上，有种情况，故有种选择， 从而能被5整除的6位数个数为. 13．排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 【答案】 【分析】对命题等价转化，再使用排列组合知识即可． 【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）. 此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即． 故答案为：． 14．在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】, 因为的展开式通项为， 令或，解得：或， 所以的系数为：. 故答案为：. 四、解答题 15．随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)性别与使用AI工具的熟练度无关； (2) 0 1 2 3 数学期望为1. 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. （2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16．银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析， 【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解； （2）① 根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解； ②根据题意可得所有可能取值为，结合二项分布求概率和均值即可求解． 【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； （2）以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元， ， 所以，，服从正态分布， ， ， 估计银川市有个市民每年旅游费用支出在元以上； ②由①知，，则， 的所有可能取值为， ，， ，； 所以随机变量的分布列为： 均值为. 17．某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； (2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 【答案】(1) (2)①；②是理想的，理由见解析 【分析】（1）利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可； （2）①利用最小二乘法直接求解即可； ②分别将和代入回归直线方程，由此可得预估值，与检验数据之差的绝对值均不超过2可确定结论. 【详解】（1）记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”， 则 （2）①由题意，，. 1 3 2 4 8 5 则， 即， 所以关于的经验回归方程为. ②当时，； 当时，. 所以该小组所得经验回归方程是理想的. 18．学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 【答案】(1)②合适 (2) 【分析】（1）利用函数①②③的性质及表中的数据，即可求解； （2）先将非线性回归方程转化成线性回归方程，再根据题设条件，利用最小二乘法，即可求解. 【详解】（1）由表格可知，增大时，值整体呈上升趋势但存在局部波动，比较函数①②③， 选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适. （2）对（）两边取以为底的对数可得， 设，则， ， ，所以， 故，即，所以. 19．某公司现有n台电子设备，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为，假设每台电子设备是否被入侵之间相互独立，用随机变量X表示该公司遭遇网络攻击后被入侵的电子设备数，且． (1)求； (2)该公司研发了一款针对网络攻击的防护软件，安装该防护软件后，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为P，经研究发现概率P与某参数有关，依据经验，某团队提出函数模型．现将n台电子设备平均分为8组，进行测试，随机变量表示第i组被成功入侵的电子设备数，将随机变量的测试结果绘制成条形图，记事件，，…，． （i）求；（用P表示，组合数不必计算） （ii）若时，最大，则称是θ的最大似然估计．请判断该函数模型是否存在θ的最大似然估计，若存在，则求出，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在最大似然估计， 【分析】（1）根据题意得知随机变量服从二项分布，根据二项分布概率求解；（2）（i）根据相互独立事件概率求解；（ii）通过利用导数求最值点得出最大似然估计. 【详解】（1）由题意可知，， 因此，，， 故，解得， 所以. （2）（i）由于各组试验相互独立，因此， 因此， （ii）要使最大，即要求最大， 设函数，， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此当时，取最大值，即取最大值， 此时，解得， 所以的最大似然估计是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选修3综合单元测试卷 （考查范围：第六章至第八章） 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 3．李华新开了一家便利店，开业第一周的营业收入(单位：千元)统计如下： 天数序号X 1 2 3 4 5 6 7 营业收入Y/千元 11 13 18 ※ 28 ※ 35 其中第4天和第6天的数据由于某种原因而模糊，但知道7天的营业收入的平均值是23.已知营业收入Y与天数序号X可以用线性回归方程拟合，且第7天的实际值比预测值小0.6，则预计第10天的营业收入是（    ） A．38.4千元 B．44.8千元 C．46.2千元 D．48.2千元 4．“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.为了缓解教育的“内卷”现象，2021年7月24日，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》 ，某初中学校为了响应上级的号召，每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了乒乓球，羽毛球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（    ） A．60种 B．78种 C．54种 D．84种 5．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有3个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 6．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 7．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 8．某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或．若该动点从原点出发，经过6步运动到点，则有种不同的运动轨迹． A．15 B．14 C．9 D．10 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 11．设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（    ） X 0 1 2 P A．恒为1 B．随增大而增大 C．恒为 D．最小值为0 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的，能被5整除的6位数_________（用数字作答） 13．排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 14．在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．（13分）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 17．（15分）某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； (2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 18．（17分）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 19．（17分）某公司现有n台电子设备，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为，假设每台电子设备是否被入侵之间相互独立，用随机变量X表示该公司遭遇网络攻击后被入侵的电子设备数，且． (1)求； (2)该公司研发了一款针对网络攻击的防护软件，安装该防护软件后，每台电子设备在遭遇网络攻击后被入侵的概率为P，经研究发现概率P与某参数有关，依据经验，某团队提出函数模型．现将n台电子设备平均分为8组，进行测试，随机变量表示第i组被成功入侵的电子设备数，将随机变量的测试结果绘制成条形图，记事件，，…，． （i）求；（用P表示，组合数不必计算） （ii）若时，最大，则称是θ的最大似然估计．请判断该函数模型是否存在θ的最大似然估计，若存在，则求出，若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $