第十章 二元一次方程组重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

**基本信息** 本卷为初中数学二元一次方程组单元提高卷，适合单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，融合光伏发电等时代情境与整体思想、模型意识，全面检测抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|二元一次方程概念、代入消元法、解的应用|结合天平平衡（几何直观）、残缺方程组（推理意识）| |填空题|8/16|解的意义、参数问题、实际订房方案|融入沙漠治理情境（时代性）、换元法思想（创新）| |解答题|11/68|加减消元法、整体思想、图形拼图建模|综合题（如27题长方形面积）体现模型意识与运算能力|

第十章 二元一次方程组重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25七年级下·广西防城港·期末）若是关于的二元一次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 4．（25-26七年级下·北京怀柔·期中）如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如果是方程组的解，则a2008+2b2008的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025七年级·全国·专题练习）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，则﹣的值为（    ） A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣3 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的一个解，则的值为_____． 10．（24-25七年级下·福建厦门·期中）关于的二元一次方程的一组解是，则______． 11．（25-26七年级下·广东梅州·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 12．（25-26七年级下·全国·暑假作业）下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是_________，满足方程的是_________，同时满足这两个方程的是_________．故二元一次方程组的解是_________．（填序号） 13．（24-25七年级下·重庆·月考）本周末天气晴朗，小敏和小丽两个家庭共14人相约外出旅游，决定在某特色民宿住宿一晚，该民宿有单人间（可住一人），标间（可住两人），三人间三种房型，她们准备每种房型至少选一间，共预订7间房，如果每个房间都住满，订房方案有________种． 14．（25-26七年级下·全国·单元复习）若关于的二元一次方程组与的解相同，则的值为________． 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）三位同学对下面的问题提出了各自的想法： 若方程组的解是，求方程组的解． 甲：肯定与第一个方程组有关，但看不出有怎样的联系． 乙：把第二个方程组的两个方程进行变形，让两个方程的系数呈现，，与，，排列，这样与第一个方程组就有联系了． 丙：我好像明白乙说的意思了…… 根据三位同学的对话，这个方程组的解是________． 16．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂和乙厂每天生产数量共计1620块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，求甲、乙两厂每天分别生产多少块光伏板？设甲厂每天生产块，乙厂每天生产块，根据题意列出的方程组为_____________________． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25七年级下·山东烟台·期中）请用指定的方法解下列方程组． (1)（代入消元法） (2)（加减消元法） 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 19．（2025七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 20．（25-26七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）解答下列问题： (1)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (2)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (3)找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． (4)根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 23．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 24．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某学校计划采购60副乒乓球拍与盒乒乓球．调查了解的情况如下： 信息1：甲、乙两家商店中，同一品牌的每幅乒乓球拍的销售价格相同，同一品牌的每盒乒乓球的销售价格也相同． 信息2：已知每副乒乓球拍的单价比每盒乒乓球的单价多30元，且购买2副乒乓球拍的费用，恰好与购买5盒乒乓球的费用相等． 【信息运用】 （1）根据调查信息，求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是多少？ 【方案优化】 经过与甲、乙两家商店洽谈后，两商店分别给出了优惠方案： 甲商店：每购买3副乒乓球拍，就赠送2盒乒乓球； 乙商店：购买乒乓球拍和乒乓球均享受八折优惠． （2）请用含的式子分别表示在甲、乙两商店采购所需的费用． （3）当为何值时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同？ 25．（24-25七年级下·山东德州·月考）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知x，y满足，，求和的值．本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则_____，____； (2)“关爱留守儿童，我们在行动”．某爱心公益小组计划为某村留守儿童捐赠一批物资．已知购买20本图画书、3套文具、2个水杯共需118元；购买30本图画书、2套文具、8个水杯共需217元．若该爱心公益小组捐赠了100本图画书、10套文具、20个水杯，那么购买这批物资共需多少元？ (3)对于两x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_________． 26．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读以下材料，回答相关问题： 材料1：对于已知的二元一次方程组（※），我们已经学会用代入消元法或者加减消元法求解，但对于一些x，y系数及常数项的数值较大且互质的情况，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量很大，且易出现运算错误，比如解方程组，采用下面的解法会比较简单： ②－①，得，所以，③ ③，得，④ ①－④，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)解方程组： 材料2：有些方程组只要求一个关于未知数的代数式的值，例如：对于前面的（※）方程，求的值，我们可以先解方程组得x，的值，再代入得到答案，其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．对于一些方程数不足以解出每个未知数的方程（不定方程），这种“整体思想”更为重要，比如已知方程组（▲），求的值，两个方程无法确切解出三个未知数，但①－②可得． (2)对于方程组，利用“整体思想”求的值，若①②可得，则__________，__________． 材料3：从另一个角度考虑，如果联立两个独立的二元一次方程能解出两个未知数，我们可以把其中一个未知数当成“已知数”来解方程，将另外两个未知数用它来表示．例如：对于上述（▲）方程：①－②消去可得，①－②消去可得，代入． (3)已知，且，则__________． (4)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，5块橡皮和6本日记本共需96元，买39支铅笔，6块橡皮和10本日记本共需174元，则购买4支铅笔，16块橡皮和8本日记本共需__________元． 27．（24-25七年级下·广东佛山·月考）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25七年级下·广西防城港·期末）若是关于的二元一次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须是1，得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将①代入②后去括号整理即可得到结果，掌握代入消元法的步骤是解题关键． 【详解】解： ∵将方程①代入方程②消去， ∴把代入②得： ， 根据去括号法则去括号得： ， 因此正确选项为C． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 4．（25-26七年级下·北京怀柔·期中）如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据天平平衡列出方程组，通过消元可得答案． 【详解】解：由题意得，， 得， ∴，即． 5．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如果是方程组的解，则a2008+2b2008的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将方程组的解代入方程组可得关于a、b的二元一次方程组，再求解方程组即可求解． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ①＋②得，a＝1， 将a＝1代入①得，b＝1， ∴a2008＋2b2008＝1＋2＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 6．（2025七年级·全国·专题练习）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，则﹣的值为（    ） A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣3 【答案】C 【分析】把甲的结果代入第二个方程，乙的结果代入第一个方程，分别求出a与b，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入②得： 8＝b﹣2， 即b＝10， 把代入①得： 5a+20＝15， 即a＝﹣1， 则原式＝1﹣1＝0． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法，特别是正确理解题意是解题的关键． 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，根据有张正方形纸板和张长方形纸板，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，由题意，得 ， ，得， ∴的值是5的倍数， 故的值可能是2020． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的一个解，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 将代入，得到，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：1． 10．（24-25七年级下·福建厦门·期中）关于的二元一次方程的一组解是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，掌握二元一次方程解的定义是解决本题的关键．把方程的解代入方程，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程的一组解是， ∴ 解得： 故答案为：． 11．（25-26七年级下·广东梅州·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·暑假作业）下面三组数据： ①  ②  ③ 满足方程的是_________，满足方程的是_________，同时满足这两个方程的是_________．故二元一次方程组的解是_________．（填序号） 【答案】 ①②/②① ②③/③② ② ② 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可． 【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解； 故答案为：①② 将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解； 故答案为：②③ 同时满足这两个方程的为， 则方程组的解为． 故答案为：②，② 13．（24-25七年级下·重庆·月考）本周末天气晴朗，小敏和小丽两个家庭共14人相约外出旅游，决定在某特色民宿住宿一晚，该民宿有单人间（可住一人），标间（可住两人），三人间三种房型，她们准备每种房型至少选一间，共预订7间房，如果每个房间都住满，订房方案有________种． 【答案】3 【分析】本题考查了三元一次方程组应用，不等式的整数解的问题，正确理解题意是解题的关键． 设单人间、标间、三人间的数量分别为，由题意得：，然后分类讨论解方程组即可． 【详解】解：设单人间、标间、三人间的数量分别为， 由题意得： 化简得，， 当，，则， ∴订1间单人间，5间标间，1间三人间； 当，，则， ∴订2间单人间，3间标间，2间三人间； 当，，则， ∴订3间单人间，1间标间，3间三人间， ∴订房方案有三种， 故答案为：3． 14．（25-26七年级下·全国·单元复习）若关于的二元一次方程组与的解相同，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，准确计算是正确解答此题的关键． 两个二元一次方程组有相同的解，首先从每个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，再把求出的解分别代入方程，，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 把代入方程①可得：， 解得：， 方程组的解为， 把分别代入，， 可得：， 解得：， 把代入得： ， 故答案为：4 ． 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）三位同学对下面的问题提出了各自的想法： 若方程组的解是，求方程组的解． 甲：肯定与第一个方程组有关，但看不出有怎样的联系． 乙：把第二个方程组的两个方程进行变形，让两个方程的系数呈现，，与，，排列，这样与第一个方程组就有联系了． 丙：我好像明白乙说的意思了…… 根据三位同学的对话，这个方程组的解是________． 【答案】 【分析】通过变形待求解方程组，使其结构与已知解的原方程组一致，利用换元的思路建立等量关系，即可求解． 【详解】解：将变形得：， ∵方程组的解是， ∴， 解得． 16．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂和乙厂每天生产数量共计1620块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，求甲、乙两厂每天分别生产多少块光伏板？设甲厂每天生产块，乙厂每天生产块，根据题意列出的方程组为_____________________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际列二元一次方程组，设甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板，由题意列出方程组即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板，由题意得： ， 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25七年级下·山东烟台·期中）请用指定的方法解下列方程组． (1)（代入消元法） (2)（加减消元法） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：, 由②得，， 将③代入①得，, , 解得， 将 代入③得，， ∴原方程组的解为； （2）解：方程, ，得 ， 由得， 解得， 将代入①得，, 解得， ∴原方程组的解为． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 19．（2025七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 【详解】（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 20．（25-26七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】运用加减消元法解出，，得出，根据，得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解： ， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 【详解】解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）解答下列问题： (1)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (2)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (3)找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． (4)根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 【答案】(1)二元一次方程的解有无数组． (2)二元一次方程的解有无数组． (3)同时满足方程和． (4)二元一次方程组的解为 【分析】（1）（2）根据二元一次方程解的性质，可知二元一次方程有无数组解，通过给赋值求得到解； （3）通过尝试或联立方程找同时满足两个方程的解； （4）根据前面的探究得出方程组的解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解有无数组． （2）解：二元一次方程的解有无数组． （3）解：联立方程，将两式相加得，代入得，则： 同时满足方程和． （4）解：二元一次方程组的解为 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的解，掌握二元一次方程有无数组解，二元一次方程组的解是同时满足两个方程的解是解题的关键． 23．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 24．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某学校计划采购60副乒乓球拍与盒乒乓球．调查了解的情况如下： 信息1：甲、乙两家商店中，同一品牌的每幅乒乓球拍的销售价格相同，同一品牌的每盒乒乓球的销售价格也相同． 信息2：已知每副乒乓球拍的单价比每盒乒乓球的单价多30元，且购买2副乒乓球拍的费用，恰好与购买5盒乒乓球的费用相等． 【信息运用】 （1）根据调查信息，求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是多少？ 【方案优化】 经过与甲、乙两家商店洽谈后，两商店分别给出了优惠方案： 甲商店：每购买3副乒乓球拍，就赠送2盒乒乓球； 乙商店：购买乒乓球拍和乒乓球均享受八折优惠． （2）请用含的式子分别表示在甲、乙两商店采购所需的费用． （3）当为何值时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同？ 【答案】（1）每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是50元和20元； （2），； （3） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次方程的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． （1）设每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别为x元、y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据两商店的优惠方案列代数式即可； （3）根据（2）的得到甲、乙两商店采购所需的费用，再根据甲、乙两家商店采购所需费用相同列关于a的方程求解即可． 【详解】解：（1）设每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别为x元、y元， 由题意可得：，解得：， 答：每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是50元和20元． （2）甲商店采购所需的费用：； 乙商店采购所需的费用：； （3）当，解得：． 所以当时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同． 25．（24-25七年级下·山东德州·月考）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知x，y满足，，求和的值．本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则_____，____； (2)“关爱留守儿童，我们在行动”．某爱心公益小组计划为某村留守儿童捐赠一批物资．已知购买20本图画书、3套文具、2个水杯共需118元；购买30本图画书、2套文具、8个水杯共需217元．若该爱心公益小组捐赠了100本图画书、10套文具、20个水杯，那么购买这批物资共需多少元？ (3)对于两x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_________． 【答案】(1)； (2)购买这批物资共需670元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． （1）由得：； 由，得，进而求解即可； （2）设的图画书单价为m元，文具的单价为n元，水杯的单价为p元，根据题意列出方程组整体求解即可； （3）根据新定义运算法则列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的图画书单价为m元，文具的单价为n元，水杯的单价为p元， 依题意，得：， 由可得， ∴． 答：购买这批物资共需670元． （3）解：依题意，得：， 由可得：， ∴． 26．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读以下材料，回答相关问题： 材料1：对于已知的二元一次方程组（※），我们已经学会用代入消元法或者加减消元法求解，但对于一些x，y系数及常数项的数值较大且互质的情况，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量很大，且易出现运算错误，比如解方程组，采用下面的解法会比较简单： ②－①，得，所以，③ ③，得，④ ①－④，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)解方程组： 材料2：有些方程组只要求一个关于未知数的代数式的值，例如：对于前面的（※）方程，求的值，我们可以先解方程组得x，的值，再代入得到答案，其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．对于一些方程数不足以解出每个未知数的方程（不定方程），这种“整体思想”更为重要，比如已知方程组（▲），求的值，两个方程无法确切解出三个未知数，但①－②可得． (2)对于方程组，利用“整体思想”求的值，若①②可得，则__________，__________． 材料3：从另一个角度考虑，如果联立两个独立的二元一次方程能解出两个未知数，我们可以把其中一个未知数当成“已知数”来解方程，将另外两个未知数用它来表示．例如：对于上述（▲）方程：①－②消去可得，①－②消去可得，代入． (3)已知，且，则__________． (4)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，5块橡皮和6本日记本共需96元，买39支铅笔，6块橡皮和10本日记本共需174元，则购买4支铅笔，16块橡皮和8本日记本共需__________元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先利用，得到，再整理代入消元求解； （2）可得系数方程组，再解方程组即可； （3）先把看成常数，利用加减消元法解方程组，即可求解连比； （4）设铅笔，1橡皮和日记本的单价分别为元，由题意得，，设，再得到关于的方程组求解即可． 【详解】（1）解： 得，， 则 则 将③代入①得，， 解得， 将代入③得，， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组，①②可得 可得 解得； ∴ （3）解： 得，，解得； 将代入②得，，解得， ∴； （4）解：设铅笔，橡皮和日记本的单价分别为元， 由题意得， 设， 则 解得， ∴． 27．（24-25七年级下·广东佛山·月考）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【答案】(1)60 (2)20 (3)63 【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可； （3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为． 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