安徽合肥市第八中学2025-2026学年第二学期高一年级期中检测数学试题

合肥八中2025-2026学年第二学期高一年级期中检测 数学解析卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.若a是第四象限角，则点P(cosa,tana)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】由于α是第四象限角， 所以cosa>0,tana<0, 故点P(cosa,tana)在第四象限. 故选D. 2.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=DC,M是AD的中点，若BM=1BA+uBC,则λ+u=() A是 B.1 c D. 【答案】C 【解析】M是AD的中点，BM=BA+BD, 又~BD-DC,∴BD-BC, 从而得到BM=BA+8C,进而可知入=子u=子入+u=子 故选C. 3.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【答案】C 【解析】根据正弦定理得a:b:c=2:3:4,设a=2x,b=3x,c=4x, C最大，osC-4-2四4-长0，C为纯角 2ab 22x3x 故选C. 第1页，共12页 4.下列说法中正确的是() A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 B.用一个平面去截圆锥，一定会得到一个圆锥和一个圆台 C.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得到的几何体是由一个圆台和两个圆锥组 合而成的 D.球的截面可以是椭圆 【答案】A 【解析】A、有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何 体叫棱柱，符合棱柱的定义，正确 B、用平行于底面的平面去截圆锥，一定会得到一个圆锥和一个圆台，用其它平面去截圆锥，不会得到一个 圆锥和一个圆台，故错误； C、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆柱和两个圆锥组 合而成的，故错误： D、球的截面一定是圆，故错误； 故选A, 5.如图，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°， 45°，且A,B两点间的距离为40，则该建筑物的高度为() 45入 30 A.(20+20V3)m B.(20+10V3)mC.(40+20V3)mD.(30+15V3)m 【答案】A 【解析】在△PAB中，∠PAB=30°，∠APB=45°-30°=15°， AB=40m,sin15°=sin(45°-30)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=V6-V2, 4 由正弦定理，得PB-40=20V6+V②m, 所以建筑物的高度为P8sm45°=20(6+V2)×受-(20+20V3)m. 故选A. 第2页，共12页 6.如图，己知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，O为其中心， E 则OC·AP的取值范围是() A.(-2,4 B.(-2,6) C.(-4,2) D.(-4,4) 【答案】B 【解析】由正六边形的对称性可知OC·AP=AB·AP,易知正八边形的每个内角120.设AP与AB的夹角为0， 则AP·AB=|AP1·|AB|cos0,所以当|AP |cos0最大时，AP·AB取得最大值；当|AP|cos0最小时，AP·AB取 得最小值.如图，可知当P与C重合时，|AP|cos0取得最大值，|AP |cose0=AB+BCcose60°=3，此时AP AB=6.当P与F重合时，|AP|cos0取得最小值，此时|AP|cos0=AFcos120°=-1，此时AP.AB=-2, 故AP·AB的取值范围为(-2,6) 故选B 7.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，点M,N分别为AB和B1C1的中点，则三棱锥A1-MNC与四棱锥A1-B1CCB 的体积之比为() A.1:3 B.1:4 C.23 D.1:2 【答案】B 【解析】连接BV因为M是AB的中点，所以A1MNc=VAMN=VcA1BN=VA-CBN 又VA:CBN=V%-B,GcB, 所以LVA-MNG=X-B,GCB=A-B,G6B,所以VMNc%-BGcB4 故选B 8.已知O为正△ABC内的一点，且满足OA+1OB+(1+)OC=0,若△OAB的面积与△0BC的面积的比 值为4，则的值为() A.4 B.5 C.2 D.3 【答案】D 【解析】由于0A+10B+(1+)0C=0,即0A+0C+1oB+0G)=0. 如图所示，D,E分别是对应边的中点， 第3页，共12页 Q 由平行四边形法则知0A+0C=20E,1OB+0C)=210D, 故OE=-λOD,∴DE/AB, 在正△ABC中，SADB=SaEC=AaC, S△A0B:SAOBC=S△EBC:S△OBC=ED:OD=4:1,则1=3. 故选D 二、选择题：本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9关于复数红=号+停为虚数单位)，下列说法正箱的有( ) A.z=1 B.复数z对应的点在第二象限 C.z2-7 D.复数z是方程x2+x+1=0的一个根 【答案】ACD 【解析】 3i, 对于A:因为复数2=计 所以z= +( =1.故A正确； 对于B:因为复数位=受-1，所以位对应的点为（停，-到）位于第四象限，故B错误： 2 对于C:因为复数e=-计91，所以2=(（+-=z赦C正确： 对于D:因为复数红=+受1，所以1+z+2=1+(-+)+(是)=0.故D正确， 故选：ACD 10.已知函数f)=cos2竖+受sinwx-o>0),则() A.f(x)=sin(x+ B.fx)在区间O,之)上单调递增 第4页，共12页 C.若f(x)的图象关于直线x=-对称，则ω的最小值是2 D.若f)在区间0，)上有且只有一个最大值，则ω的取值范围是（⑤，争 【答案】AC 【解折】解：因为f的=cog2受+sinox-是=cos0x+X号smax=sin(ωx+月，A正确： 因为0<x<无，所<wx+号<？所以f)在区间0，易上不单调，B错误： 因为f)的图象关于直线x=一对称，所以-写ω+若=km+2所以ω=-3k-1,kEZ 6 又因为ω>0，所以k<一3所以当k=-1时，ω取得最小值，最小值是2，C正确： 因为0<x<,所以<ox+石<on+名，因为f(x)在区间(0，m)上有且只有一个最大值， 所以<om+名≤受所以<ω≤务D错误： 故选AC. 11.在锐角△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且c2+bc=2AB·CB.则下列说法正确的是() A.A=2B B.角B的范围是孕 C若D是△ABC边BC上的一点，满足D亚=DC,AD=8,simB-号则b十c可以等于16 IABI ACI D的取位范国是（受，码 【答案】ABD 【解析】解：对于A,由c2+bc=2AB·CB=2 accosB,得c+b=2aosB及正弦定理 sinC sinB sin(A+B)+sinB 2sinAcosB, 所以sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B), 因为0<A+B<π，A,B∈(0，， 所以B=A-B,得A=2B,故A正确： 对于B,由锐角△ABC中，A=2B, 0<B< 0<A-2B< ,可得<B<平故B正确； 0<C=π-3B< 第5页，共12页 对于C,由题意，在锐角△ABC中，由丽D=DaC,可知AD为∠BAC的平分线， IABI ACI' 3 设∠B=∠BAD=∠CAD=日，则sinB= 所以cos9-青sin28=2sin6c0s0=装 由S△ABC=S△ABD+S△ACD, 得号bcsin29=2x8×c×sin9+2×8xb×sin9, 号c=号b+o), 所以紫=+日b+c=50+d)低+月≥20，故b+c不可能等于18.故c错误： B D,sinc sin (T-3)sin3B sinacos28+cosBsin28 2co cos B=2cosBom 1 sinA sin2B sin2B sin2B 2cosB 设t=cosB,好<B<年得te(受， 又y=2t-在te(受，上单调递增， 则值域为（受，，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.若复数z=(m2-m)+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数=. 【答案】0 【解析】因为m为实数，且复数z=(m2-2m+(m2-3m+2)i是纯虚数，所以m2-m=0,且m2-3m+ 2≠0，解得m=0. 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4 asinBsinC,b2+c2-a2=8,则 △ABC的面积为. 【答案】 【解析】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. bsinc csinB 4asinBsinC, 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4 sinAsinBsinC, 第6页，共12页 由于0<B<π，0<C<π， 所以sinBsinC≠0， 所以smA=京则A=若或彩 由于b2+c2-Q2=8>0,故A为锐角，所以A=石 由coSA= b2+c2-a2 2bc 得3、8 2=2c,解得bc=8v3 3 所以5a4ac=besina=-2故：5aAc-29 3 故答案为： 2w3 14.如图，从正四面体的4个项点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体 .若该多面体的表面积是7√3，则该多面体外接球的表面积是一· 【答案】号π 【解析】【分析】 本题考查了多面体的外接球，球的表面积，属于难题， 求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面面体的棱长，即 可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【解答】 解：由题意可得多面体的枝长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为， 则其表面积为4×3×a2=√3a2,由图易知该多面体与原正四面体相比较， A 表面积少了8个边长为a的正三角形的面积， 所以该多面体的表面积为V3a2-8×渠×G)-7N@2-7V3,，所以a=3. 9 如图，O1是下底面正六边形ABCDEF的中心，O2是上底面正三角形MNG的中心， 第7页，共12页 B 由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心0在原正四面体的高PO1上， 0,6=1x×号号，0,0=号P0,= 32-3××到- 设球0的半径为R,在Rt△OO4中，0A2=01A2+00?,所以R2=1+00?, 在Rt△OOG中，0G2=002+02G2, 所以R2=062+(25-00,°=言+(2-00，)， 所以00+1-+(5-00，)广，解得00，-9，所以R-V00+1- 2 4 所以该多面体外接球的表面积S=4rR2= 2π. 故答案为：号 四。解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 已知向量a=(-2,2),b=(1,m),且b+与向量(2,6)共线. (I)求m的值： (Ⅱ)若d-1与2a-垂直，求实数的值. 【答案】解：(1)b+a=(-1,m+2), 因为b+d与(2,6)共线，所以6×(-1)-2(m+2)=0,解得m=-5 (2)由(1)知b=(1,-5),所以川a1=2V2,1b1=V26,a.b=-2×1+2×(-5)=-12 由a-16与2a-万垂直，得d-1可·(2a-可=22-(1+2)a.6+12=0, 所以16+12(1+20+261=0，解得1=-若 16.(本小题15分) 已知A(cosa,sina),B(cosB,sinB),其中a,B为锐角，a>B,己知ABl=可 5 第8页，共12页 (1)求cos(&-β)的值； (2)若=60°，求cosβ的值. 【答案】解： (a)油Al-罗，得《cosa-cos9+(6ma-sm-, 5 2-2(cosacos8+sinasing)=cos(-B)= (②)：cos(60-)=套，a,B为锐角，a>Bsin(60-B)=号 cosB=cos[60°-(60°-B)]=cos60°cos(60°-B)+sin60°sin(60°-B)= 4+3v3 10 17.(本小题15分) 如图一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积： (2)设圆柱的底面半径x,当x为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少 【答案】解：(4如图：圆锥的母线1-，V维=r2h=π*4=等 1 S圆锥表=S侧+S底=rl+πr2=V17n+π (2)记圆柱的表面积为S,圆锥高为h, 0A/0A1,=2a☆即= OA 解得h=4(1-x),其中0<x<1: 2π(-3x2+40)=-6π(x-32+8, 0<x<1,当x=时，Sma=受 18.(本小题17分) 己知点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)是函数f(x)=2sin(ωx+p)(ω>0,0<p<π)图象上的任意两点，且角p的 终边经过点P(-1,V3),若fx)-fx2=4时，Ix-x2的最小值为号 第9页，共12页 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)的对称中心及在[0，π]上的减区间； (3)若方程3fx)-f)+m=0在x∈(-写孕内有两个不同的解，求实数m的取值范围。 【答案】解：(1)角p的终边经过点P(-1,V3),tanp=-V3, 0<0<m“0=号 由f(x)-f(x2=4时，x1-x2的最小值为， 得7-号即号-答w=3.f)-2sm6x+, (2令f=2sm(3x+=0,即3x+=km,keZ,即x=-,kez, 所以函数f)的对称中心为受-号，0)，k∈Z 令2km+号53x+号2km+受，ke2,相2-话5x6+6kez, 又因为x∈[0，小，所以f(x)在[0，上的减区间为001，晋，1，k∈乙： (3)xe(号，3,3x+号e(0,),0<sin(3x-孕≤1.设f)=t,则te0,2, 因为当t=2时，方程f(x)=2sn(3x+)=2只有一个解，不符合题意， 所以上述问题等价于方程3t2-t+m=0在(0,2)仅有一根或有两个相等的根. -m=3t2-t,t∈(0,2).作出曲线C:y=3t2-t,t∈(0,2)与直线l:y=-m的图象. 10 =3r- t=君时，y=-是t=0时，y=0:t=2时，y=10. 当-m=-2或0≤-m<10时，直线与曲线C有且只有一个公共点. “m的取值范围是：m=或-10<m≤0. 19.(本小题17分) 第10页，共12页 在斜三角形ABC中，内角AB,C的对边分别为ab,c,记元=a+b (1)若=2，求cosC的最小值： (2)若c0s(A-B)-cosC= √3 ,且C为锐角，求2的最大值： tan A+tan B （3)若tan 4 tan-f),请写出f2)的解析式. A 2 【答案】1)cosC的最小值为)：2)九的最天值为3：3)（刀三二1 元+1 【解析】 【分析】(1)由余弦定理结合基本不等式可得可求出coSC的最小值， (2)利用三角恒等交可得C=子利用余弦定理可得c=心+6-b,利用2：-a c2 二，结合基本不 等式可求最大值； (3)由已知可得sinA+sinB=sinC,运用三角恒等变换可得an AB九-1 tan 2a22+1 【小问1详解】 因为2=2，所以a+b=2c, 所以由余弦定理得 oc士c特9al2面 、s4 2_≥4 2ab 2ab 2ab 2ab 2 当且仅当a=b时取等号，所以c0sC的最小值为2： 1 【小问2详解】 因为cos(A-B)-cosC= √5 tan A+tan B 所以os(4-B)-cos[π-(A+B]= √5 sinA,sin B, cos A cos B √5 所以os(A-B)+cos(4+B)=sin Acos B+in Bcos, cos Acos B 第11页，共12页 所以2c08Aco8B= 5 mCA+B,所以2sinA+2)）=V5,所以sinC=V5 cos Acos B 因为0<C<,所以C=, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abc0sC=2+b2-ab, 所认 =atb)d+b+2ab 1+ 3ab =1+ 3 -≤1+ 3 —=4 C2 a2+b2-ab a2+b2-ab a b b a -1 2./0b -1 \b a 当且仅当a=b时取等号，所以2≤2，所以2的最大值为2： 【小问3详解】 因为a+b=c,所以由正弦定理可得sinA+sinB=sinC, 于接m生24与+4-48-4- 2 22 所以2sim4+Bcos4,B=22sin4+B cos+B,所以cos4,B=元cos4+B 所以cos? 2 2 2 2 2 nAB、 +sin三sin==2(cos -COS -sin二sin-), 2 2 22 202 2 2 A,B元-1 2sn红2生2coe号cos所以m- 22 22九+1 A,B-1 所以f(2)=tam二tan 2元+1 第12页，共12页合肥八1中2025-2026学年第二学期高一年级期中检测 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若a是第四象限角，则点P(cosa,tana)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=DC,M是AD的中点，若BM=1BA+HBC,则1+H=() A B.1 c Da 3.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 4.下列说法中正确的是() A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 B.用一个平面去截圆锥，一定会得到一个圆锥和一个圆台 C.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得到的几何体是由一个圆台和两个圆锥 组合而成的 D.球的截面可以是椭圆 5.如图，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为 30°，45°，且A,B两点间的距离为40，则该建筑物的高度为（) A.(20+20V3)m B.(20+10W3)m C.(40+20v3m 458 30 D.(30+15V3)m 6.如图，已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不含边界）， O为其中心，则OC·AP的取值范围是() A.(-2,4 B.(-2,6) C.(-4,2) D.(-4,4) 第1页，共4页 7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M,N分别为A1B和B1C1的中点，则三棱锥A1-MNC与四棱锥A1-B1C1CB 的体积之比为() A.1:3 B.1:4 C.2:3 D.1:2 8.已知O为正△ABC内的一点，且满足0A+10B+(1+)0C=0,若△OAB的面积与△OBC的面积的 比值为4，则的值为() A.4 B.5 C.2 D.3 二、选择题：本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.关于复数=+受1为虚数单位)，下列说法正确的有() A.z=1 B.复数z对应的点在第二象限 C.z2-7 D.复数z是方程x2+x+1=0的一个根 10已知函数f网)-cos2学+受smwx-u>0).则() A.f(x)=sin(ωx+2 B.f()在区间(O,上单调递增 C.若fx)的图象关于直线x=-对称，则ω的最小值是2 D.若f(x)在区间0，)上有且只有一个最大值，则ω的取值范围是G,争 11.在锐角△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且c2+bc=2AB·CB.则下列说法正确的是 () A.A=2B B.角B的范围是G,孕 C若D是△ABC边BC上的一点，满足巴_DCAD=8,SimB-景则b十c可以等于1G D的取值范围是（受，2得 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.若复数z=(m2-m)+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数=一 第2页，共4页 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4 asinBsinC,b2+c2-a2=8, 则△ABC的面积为 14.如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面 体若该多面体的表面积是73，则该多面体外接球的表面积是· 四。解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 已知向量a=(-2,2),b=(1,m),且b+a与向量(2,6)共线. (1)求m的值： (2)若a-1b与2a-b垂直，求实数1的值. 16.(本小题15分) 已知A(cos,,sinm）,B(cosf,sinE),其中a,B为锐角，a>B,已知ABl= (1)求cos(a-)的值： (2)若a=60°，求cosβ的值. 17.(本小题15分) 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积： (2)设圆柱的底面半径为x,当x为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少， 第3页，共4页 18.(本小题17分) 己知点A(1,f(1),B(x2,f(x2)是函数f(x)=2sin(ωx+p)(w>0,0<p<π)图象上的任意两点，且角 p的终边经过点P(-1,V3),若fx)-f(x2l=4时，x1-x的最小值为 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)的对称中心及在[0，π上的减区间； (3)若方程3f)-f)+m=0在x∈(-号孕内有两个不同的解，求实数m的取值范围。 19.(本小题17分) 在斜三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,记2=a+b (1)若=2，求cosC的最小值： (2)若cos(A-B)-coSC= 5 ,且C为锐角，求2的最大值： tan 4+tan B (3)若tan二tam三=f(),请写出f(2)的解析式. 2 2 第4页，共4页