湖南邵东市第三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

邵东三中2026年上学期高一期中考试数学试卷 第一部分（选题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数x满足1-)=2i,则=（) A.2 B.2 C.1 D.5 2.已知集合A=(2<x<4),B=(b<x<6,则(CRA)UB;（） A.(dxs2或x>3} B.{x4≤x<可 C.(xxs2或4≤x<6) D.{x≤2或3<x<6) 3.己知平面向量a,6满足=2同=1，且ā与的夹角为7，则a+25=（) A.4 B.12 C.2W5 D.V8+4W5 4.已知函数y=冈是定义在R上的奇函数，在Q+o)上是严格减函数，若a=血)， =,c=f),则() A.b>c>a B.c>a>b C.b>azc D.c>b>a 5.已知圆锥的表面积为3πm2,且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（) A.Im B.2m C.√5m D.23m 6.已知平面向量a=(←1，，6=5,1 22 若(a+6)⊥(a-26),则k=（) A.方 B月 C.-2 D.2 7.在V4BC中，角4B,C的边分别为a6,c已知B=60,其外接圆半径R=2 2,则下列判断中 错误的是() A.若A=T,则a=R B.若a=√5，则该三角形有两解 6 C.VABC周长的最小值为6 D.VABC面积的最大值5 8.如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC 于点M、N设AB=mAM,AC=nAN,则2m+n的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，M 有选错的得0分. 试卷第1页，共4页 9.下列命题为真命题的有() A.球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距高那相等 D.现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不 相交 C.若一条直线平行于两个相交平而，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若直线m上的三个点在平面a内，则mc 10.如图所示的圆台00，在轴被面BCD中，MB=BC=AD=CD,CD=4,则（) 0 A.该圆台的高为1 B.该圆合轴截面面积为3√5 C.该圆台的体积为5π D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 11.对于VABC,有如下判断，其中正确的判断是（) A.若a-8,b=10,B=60,则符合条件的VABC有两个 B.若点G为VABC的重心，则GA+GB+GC=0 C.若点P为VABC所在平面内的动点，且亚=) AB AC E(0+o),则点P的 4B cosB ACcosC 轨迹经过VABC的垂心 D.已知0是VABC内一点，若2OA+OB+3OC=0,SAoc,SaMc分别表示△M0C,△MABC的面积， 则S4oc:SM心=1：6 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.i是虚数单位， 则：的值为 13.已知向量ā=(2,1)，6=(-1m),若ā1(a-),向量ā在向量6上的投影向量为 14.如图，已知五边形ABCDE的每个内角都小于π， 4=∠B=∠D=,BC=4W3,AB=E=3则cD+DB的取值范圃是 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步采。 15.(本题满分13分)已知函数f()=2 sinxcosx+2W5cos'x-√5 (1)求函数()的最小正周期： (2)求y()>1在(0，)上的解集。 16.(本题满分15分)已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,6+c2-a=12,且VABC 的面积为3√5. (1)求角A: (2)若a=4,求b+c的值， 17.(本题满分15分)如图，OC为四边形OABC的斜二测直观图，其中0！=3，OC=1, B'C=2. A (I)求平面四边形OABC的面积及周长； (2)若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 18.（本题满分17分) 在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=2 acos B-ccos B. (I)求角B的大小： (2)若b=2,Sc=V5,求VABC周长. (3)若VABC为锐角三角形，且c=2,求VABC面积的取值范围 试卷第3页，共4页 19.新余市作为中国新能厘之都“，動业厦产业在我国市鵝发區中占题重要一凰，我市某光伏 企业计划在2025年利用新技术生产一歌光伏睫趣新被客.遗过市%分所，生产此款设各全年菌 投入固定成本200万元，且年产量：（单位，平合）与勇救入或木()（单位，万元）的关冢 [10°，100-2s00,0ea<90 式为R(d) 540:1620_50l,:二30，由市锡圆历知，写合设各管份为0.S万元。且全年内生 产的设名当年能全部销售究 (I)求2025年的利涧P()(单位，万元)关于年产量y(单位，千台)的画数关系式（利狗-的 售刨-成本)： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利涧最大？最大利洞是多少？ 试卷第4页，共4页高一期中考试数学多考答案 题号 2 4 5 6 7 8 10 答案 B A C 8 C ACD BCD 11 答案 BCD 1.B 2i 2i(1+1) 【详解】因为z=1二0-1+) =-1+1,所以日=√-)+1下=2 2.A 【详解】因为A-{x|2<x<4},所以4A=(xxs2或x之4)， 结合B=(x|3<x<可，所以4AUB=(x1xs2或x>3). 3.C 【详解】已知问=2，=1，夹角日=召 31 则a6=6cos0=2×1x号=1， 所以(a+25)=(a)2+4ā-五+(25)°=4+4+4=12， 所以a+26=V(a+25=2=2W5. 4.A 【分析】根据三角函数的知识可得a=f 2 由函数f(x)为奇函数，且在[0，+∞)上是 严格减函数，可得在R上单调递减，利用单调性即可比较大小 【详解】根据愿煮，a=f(m分)图，8=f(s受)f(号)，c=(m习=（冯）， 3 又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，在[0，+∞)上是严格减函数， 则函数y=∫(x)在R上为单调递减函数， 因为-<0<5<5，所以 2 32 故b>c>a 5:详解】设这个圆锥底面半径为，母线为1，则底面面积为，底面周长为2，侧面展开图的半圆弧长为2和， 由弧度制的定义知=2加，所以1=2r,则侧面积为212=气(2r=202, 所以这个圆锥的表面积为π2+2四2=3m2=3元，所以7=1，则直径为2m. 6。A 【详解】因为(ka+b)⊥(a-2b),，所以(ka+)(a-2b)=0, 展开整理得a+(1-2k)a-b-2l=0, 又因为a=(-4,.6=5,号》 22 故r-(+-4,即-(-1 a6-09+5-0, 2 代入等式得：4k-2×1=0,解得k=2 7.C 【分析】对于ABC,根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D,由面积公式及正弦定理结合基本不等式解 决即可. (详解】对于A,由正弦定理得b。=2R=4y5,解得b=2,所以a=bsi4-2y5=R,故A正确： sinB 3 sinB 3 对于B,由正弦定理得 寻6=a,所以sin4=asinB v5xV3 5, 2= b 2 4 答案第1页，共5页 因为asi血nB=正，b=2,a=5,所以ai血B<b<a,所以该三角形有两解.故B正确： 2 对于C,由b2=a2+c2-2 accosB,得 4=a2+c2-ac=(a+c}2-3ac2(a+c}2-2a+cj}2=a+c, 1 所以a+c≤4，当且仅当a=c=2时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大值为6，故C错误： 对于D,由选项C知，4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c=2时取等号， 故ac=方sn3-cs5,所以VaC面积的最大值为5，妆D正确 8. 【分析】根据C0=2O8,结合平面向量的减法可得出40=2丽+2AC,结合B=mM,AC=n,可得出 2 40=2m+n瓜，利用M、N、O三点共线，可求出2m+n的值 【详解】连接AO,因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点，则CO=2OB, 即而-c=2(而-4可，所以，4而-号而+号c, 又因为峦=m,Ac=n,则o=子mM+n, 因为M、N、O三点共线，设Mo=kN,则AO-M=k(N-M, 所以，AO=(1-k)M+kN,且AM、AN不共线， 所以， 2m=5kn=k,故2m+n=1-k+kl,因此，2m+n=3 31 故选：C 9.ACD 【分析】利用球的定义判断A;利用线面位置关系判断BC:利用平面的基本事实判断D. 【详解】对于A,球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等，A正确： 对于B,第一条直线与平面相交，若另一条直线与平面不相交，则该直线在平面内或与平面平行， 此直线与第一条直线相交或是异面直线，与两条直线平行矛盾，B错误： 对于C直线l11a,l11B,a∩B=a,由111a,得存在过l的平面rna=b,则111b, 由l∥B,得存在过1的平面6nB=c,则c/l1Ib,而cca,则c/1a, 又ccB,a∩B=a,因此a//c//1,C正确： 对于D,直线m上的三个点在平面a内，则mca,D正确. 故选：ACD 10.BCD 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确：代入圆台体积公式可知C 正确：利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确， 【详解】对于A,在梯形ABCD中，O,O即代表圆台的高， 利用勾殷定理计算可得o0,=hD-(CD2 =√5，所以A错误： 对于B,轴裁面梯形ABCD的面积为S=(AB+CD)-0,0,=2+4)×5=35, 因此B正确： 对于C,易知下底面圆的面积为π×22=4π，上底面圆的面积为元×12=π： 所以该圆台的体积为r=（4红+元+V4m元)x5=7W5n,可得C正确： 对于D,将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧BB,CC的长度分别为2元4π，设扇形圆心为O,圆心角为0，OB=r: 由弧长公式可知r=2π0(r+2)=4π，解得0=元，y=2; 所以可得∠AOB=0°， 设E为AD的中点，连接EC,当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短， 易知0E=3,0C=4,且0E10C, 由勾股定理可知EC=√OE2+OC2=5,可知D正确. 故选：BCD 11.BCD 【分析】对于A,很据正弦定理求得sm4,再结合a<6即可判定：对于巴，根据重心为中线交点判断即可：对 于C,根据亚BC=0判断；对于D,设AC,BC的中点分别为E,D,进而得O正=D正，再结合面积公式判断。 答案第2页，共5页 3n动0即8.10 【详解】对于A,由正弦定理可如，a=6 即70，解得12通， 又a<b,所以A<B=60,故A只有一解，所以三角形一解，敢A佛误： 对于B,因为点G为VABC的重心，设AC中点为D,则 GB=-2GDGM+GB+GC=(GM+GC])+GB=2GD+GB=0,故B正确： 对于C,因为P= AB AC 所以 AP.BC=A AB.BC AC.BC Ccos(x-B)AC.BCcosc AB cosB ACcosC AB cosB ACcosC =-pd+c到=0， 因 所以P⊥BC,所以点P的轨迹经过VABC的垂心，故C正确： 对于D,因为201+O+30C=0,所以2(OA+0C)+(O+0C)=0, 设AC,BC的中点分别为E,D,如图，则20死+OD=0,即o死=号D死， 所以82ec-写um写号8c名a,故D正确 11 所 6 12.√3 1 【详解1由题得5-5二回_区-厄. 1+11+i12+12万 17 13. 10'10 【详解】a=(2,1),万=(-1，m)∴.a-b=(3,1-m), 由a⊥(a-b)得ā(a-b)=2×3+1x1-m)=7-m=0,解得m=7, .6=(-1,7): ā.万=2x(-1)+1×7=5,1b2=(-1)2+72=50, 向量a在5上的锐影向指为票5-动-1刀-（品裙） 14.(55,10 【分析】连接BB,CB,由题意可得∠CBE=，则可利用余弦定理求得B,则可得CE,再设∠DCE=0,利用正弦 定理可表示出CD+DE,最后利用辅助角公式及O范围即可得解. 【详解】如图，连接B,CE,在aMBE中，MB=AE=3∠BB=行，则∠AB8 6 所以∠CBE=∠ABC-∠ABB=2红元=元 362 则BB=VAB+AE2-2 AB.AEc0s∠BA=32+32-2x3x3092匹=35， 3 所以CE=VBC2+BE2=5√5， 设∠DcB=0,则∠CED=号-0， CD DE CE 5W5 于是在△CDE中，由正弦定理，得] =10 sin&sin☑CDE sin2r 3 以CD=10sin -0D8=10sn, 答案第3页，共5页 胡为0e0子·虏以号8写登：则号e(0:写引1。 房以C)+k的取值范围是(9a,10 19. 【1(1)圆为/()=2alhr0nr42/5eom'业=5 =n3x+√3040082)-V5 =sh2x4V月00a2a 所以最小正痼期了=2。数。 2 6分 2)由>1将：2(2x+》>1s(2+}7 因为*e0,),所以2x+誓e红7红] 则行2x+肾cg,解将0<号 36 g<2x+旨亭解0晋<x 6 12 所议>1在Q对上的解集是o引受可3分 16. 【详解】(1)&.c=bin4=3万 由余然定理得： a=6°：e32 bccos/4 又02=b2+c2-12 ∴.2b000sA=12,bcc0s4=6, 又：bcsinA=6W5，tanM=V5 又Ae(0,) 6分 (2)由(1)得bc=12,b2+c2=28, (6+c)}=b+c2+2bc=28+24=52, b+c>0,b+c=213. 15分 17. 【详解】(1)把直观图还原为原平面图形，则四边形OABC是直角梯形，其中OA=O=3,OC=20C=2, BC=BC=2,OA1OC,如图所示： 所以平面四边形0ABC的面积为S=号×(2+3)×2=5， .4分 2 周长为L=0A+AB+BC+C0=3+V3-2)2+22+2+2=7+V5;.7分 （2)四形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积”等于圆柱的体积V与圆锥的体积2之和， 即7-=7+%=x2x2+兮x2X1=282,10分 表面积为S=x22+2π×2x2+πx2×√2+1=12π+2√5元=12+25)π 15分 18. 答案第4页，共5页 【详解】(1)由正弦定理，a三b s、c sinA sinB sinC =2R,得： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入原停式：2 Rsin BcosC=22 Rsin Acos B-2 Rsin Ccos B, 整理得sinBcosC+sinCcosB=2 sinAcosB, 因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos BsinC, 所以sinM=2 sinAcosB, 由于A∈(0，)，所以sin4>0,所以1=2cosB三cosB=1 又B∈(0，)，所以B= 4分 (2)因为Sc-cin8=5且B=号所以ac=4, 1 由余弦定理可得b2=a2+c2-2 accosB=(a+c)2-2ac-2 accosB, 则4=(a+c)2-12,解得a+c=4, 所以a+b+c=6,即VABC的周长为6： (3)ocsinn 9分 -1 sinC sin2x-c =V3?3 sin 2n cosC-cos 2x sinC 3 35, sinC sin C 2tan C 2 因为VMBC是锐角三角形，又B= <c 所以 2m-C ,解得严<C<乃 6 0< 3 2 所以tanC∈ 3,+o, 品cso). 从而S,Bc∈ ..17分 19. 【详解】(1)销售额为0.5×1000x=500x万元， 当0<x<30时，W(x)=500x-(（10x2+100x-2500)-200 =-10x2+400x+2300, 当x≥30时，W(x)=500x- 50r41620-8sow2w=-0x+g）30, [-10x2+400x+2300,0<x<30 所7同-{n〔盟）820 8分 (2)当0<x<30时，W(x)=-10x2+400x+2300=-10(x-20)}+6300, 当x=20时，W(x)m=6300万元， 当x230时，m(x)=-40x 405+8300单调递减， x 所以x=30时，W(x)s=6560万元. 综上，当2025年年产量为30千台时， 企业所获利润最大，最大利润是6560万元.. .17分 答案第5页，共5页