广东揭阳市揭东区第三中学2025-2026学年第二学期高二级阶段练习卷1（选择性必修第三册第6章 计数原理）

2025-2026学年度第2学期揭东三中高二级阶段练习卷1 考查内容：选择性必修第三册第6章 计数原理 一、单选题 1．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 2．学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 4．若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，常数项为（    ） A．160 B． C． D． 7．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 8．在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 二、多选题 9．下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 11．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 三、填空题 12．已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 13．2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ． 14．一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 四、解答题 15．在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 16．计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 17．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 18．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 19．已知 . (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第2学期揭东三中高二级阶段练习卷1 考查内容：选择性必修第三册第6章 计数原理 一、单选题 1．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【答案】B 【解答过程】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 2．学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解答过程】由题意可知：每人均有3种菜品可供选择， 所以选法的可能方式共有种. 故选：B. 3．（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解答过程】. 故选：D. 4．若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答过程】由，得，解得． 故选：D． 5．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D. 6．在的展开式中，常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】B 【解答过程】由题可得二项式展开式的通项公式为， 令，所以展开式中的常数项为. 故选：B. 7．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解答过程】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 8．在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 【答案】D 【解答过程】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法， 然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为； 若1和5区不同色，一共的涂法种数为 . 故一共的涂色总数为. 故选：D. 二、多选题 9．下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解答过程】对于A，取，则左边，而右边，两边不相等，故A错误； 对于C， 故C正确； 对于B，由二项式定理得：， 令得，，即， 令得，， ，故B正确； 对于D，因为等号左右两边的展开式中的系数相等， 右边展开式中的系数为， 而左边即为， 故左边的系数为， 故，故D正确． 故选：BCD. 10．某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【解答过程】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法的3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC. 11．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 【答案】ACD 【解答过程】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝， 对于A，每次使用法宝有种， 因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种， 则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误； 对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种， 再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中， 则不同的使用法宝的方法有种，故C正确； 对于D，先将7件法宝排列共有种， 再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 【答案】1 【解答过程】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为：. 13．2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ． 【答案】540 【解答过程】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法， 故不同的安排方法种数是． 故答案为：540. 14．一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 【答案】72 【解答过程】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同. 那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色. 由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和. 如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种. 综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种. 而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种. 故答案为：. 四、解答题 15．在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 【解答过程】（1）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （2）当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 16．计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【解答过程】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 17．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 【解答过程】（1）每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为； （2）甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为. （3）甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，而丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 18．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【解答过程】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 19．已知 . (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. 【解答过程】（1）令，有， 令，有， 即， 两式相加除以2，得. （2）当时， ， 所以被4除后的余数为3. （3）因为， 等式两边同时对求导可得 ， 令，可得. 学科网（北京）股份有限公司 $