山西晋城市第一中学校2025-2026学年高三下学期3月过程性诊断数学试题

**基本信息** 晋城一中高三3月数学诊断卷以科技前沿（AI芯片测试、大模型发展）和数学本质（椭圆光学性质、排列逆序数）为情境，通过分层设计考查数学眼光、思维与语言，适配高三过程性能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、圆锥侧面积、函数最值等基础|注重概念辨析与空间想象| |多选|3/18|统计直方图、函数奇偶性周期性、三角形内切圆|选项分层考查逻辑推理| |填空|3/15|二项式系数、排列逆序数、概率|创新定义（奇排列）与实际应用| |解答题|5/77|解三角形、统计回归、立体几何、函数导数、椭圆综合|科技情境（AI芯片测试）、光学性质应用，体现数学建模与创新思维|

绝密★启用前 晋城一中2025-2026学年高三3月过程性诊断 数 学 考生注意： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．0 3．圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知曲线：（），曲线：的离心率分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，下面结论中不正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．存在点，使为等边三角形 C．过点三点的正方体截面一定是平行四边形 D．有且仅有一条直线与垂直 8．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（128tokens）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（    ） A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为22.5 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟较低 10．已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有个零点 11．如图，在△ABC中，，△ABC的内切圆与相切于点，△ABC的面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值2 C． D．记的内心为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．展开式中的系数为 . 13．在个数字的全排列中，若一个较大的数字排在一个较小的数字的前面，则称它们构成逆序，这个排列的逆序的个数，称为这个排列的逆序数，记为.例如：，，.若为奇数，则该排列称为奇排列，若为偶数，则该排列称为偶排列.请计算： _________.（其中，其中为虚数单位） 14．是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC中，，，． (1)求； (2)点在△ABC外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 16．（15分）近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： (1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； (2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 17．（15分）已知四棱锥的底面为菱形，且底面，为棱上一点，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知函数（），. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，对任意，都有； (3)若方程没有实根，求整数的最小值. 19．（17分）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $晋城一中2025-2026学年高三3月过程性诊断 数学·参考答案 1.D 【难度】0.9 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【详解】对于A,{0}的唯一元素是零，而0≠0，所以②{0}，故A错误； 对于B,兀是无理数，Q是有理数集，故B错误； 对于C,左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误： 对于D,由集合的无序性可得D正确. 2.D 【难度】0.95 【知识点】利用向量垂直求参数 【详解】因为a⊥b, 所以2x+3x=0→x=0. 3.C 【难度】0.75 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r,再利用圆锥的侧面积公式即可得出 结果。 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长1=2，分2r×2r×m60-5-165,解得7-4， 所以圆锥的侧面积为πrl=π×4×8=32π. 4.D 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求己知指数型函数的最值 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数f(x)=2州+k= 2+x,x∈[0,2] 2-xx∈[-1,0) 因为x∈[0,2f(x)=2*+x单调递增，所以1≤f(x)≤6： 因为x∈[-1,0)，f(x)=2-x单调递减，所以1<f(x)≤3： 所以当x=0时，f(x)mn=1;当x=2时，f(x)ms=6: 则f(x)的最大值与最小值之差为6-1=5. 5.C 【难度】0.65 答案第1页，共16页 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解. 【详解】由椭圆C:2+y2=(t>1)可得：+少广=1， x 4=6么-1G=F1,离心率g=P 由双曲线℃：x2-4y2=4可得： -y2=1, 4 a=2,6=G=V4+1=V5,离心率e,= 2 -1 两边时平方：子-5） 化简得：3t2-4=0,计算得：t= 2W5 3 6.C 【难度】0.65 【知识点】数列周期性的应用、数列新定义、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据题意分析可知数列{α}是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解 【详解】因为a,+a1=A（公和)， 所以a1+a+2=A, 两式相减可得，4。=a+2, 可知数列{a}是以2为周期的周期数列， 因为a=1,所以a=a=1, 又公和为5，所以42=5-4=4， 所以42026=42=4，ha2o26=ln4=2ln2. 7.D 【难度】0.38 【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法、判断正方体的截面形状 【分析】A选项，根据锥体体积公式进行求解；B选项，设AM=B,N=n,0≤n≤2，需满 足8M与BN的夹角等于号，建立空间直角坐标系，由夹角公式得i+87-16-0,令 f(n)=n+8n-l6,结合零点存在性定理可得B正确：C选项，画出截面图形，得到C正 确：D选项，举出例子，得到不止一条直线N与AD垂直. 答案第2页，共16页 【详解】A选项，点N在线段B,C上，故点N到直线BC的距离h=2, 放5e号8ch=2, 又点M在线段AD上，故点M到平面BCCB,的距离h=2, 故四面体BC的体积为P-兮e:4-手故A正确： 4 B选项，假设存在点M,N,使△MBN为等边三角形，故BM=BN, 由勾股定理可得BM=√AB2+AM2,BN=BB2+BN2, 所以M=AW,故只需w与BN的夹角等于写即可。 以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 设4WAN-n,0Ens2,则M2方08R20we-u22) 故BM 222 BN=(-h0,2, BM.BN 则cos∠MBN= BM·BN V3+44 2 2 .Vm2+0+4 整理可得 n2+2n_n2+4 √2 2 两边平方得2n4+8m23+8n2=n+8m2+16, 即n+8n-16=0,令f(n)=n4+83-16, 显然f(n)=n+8m-16在n∈[0,2]上单调递增， 其中f(1)=-7<0,f(2)=64>0, 故由零点存在性定理可得x。∈(1,2)，使得f(x)=0, 所以假设成立，故存在点M,N,使△MBN为等边三角形，B正确： 答案第3页，共16页 ZA R A M D C选项，在平面ADDA中，过点M作PR//BN, 分别交AD,AD于点R,P,连接R,BP, 由于平面ABCD/I平面ABCD,故NR/IBP,故四边形NRPB为平行四边形， 当M,N分别在线段AD,和B,C运动时，均满足四边形NRPB为平行四边形， 故过点B,M,N三点的正方体截面一定是平行四边形，C正确： D选项，当M,N分别与D,C重合时，MN L AD, 又△AB,D为等边三角形，所以当M为AD的中点，N与B,重合时，MN⊥AD, 故不止一条直线MN与AD垂直，D错误， 8.A 【难度】0.43 【知识点】利用导数研究方程的根 【分折]利用导数判断函数)=的单调性，即可作出共因家，由此可得到1-/问的 图象，将方程2了)=3aw-云有且仅有4个不同的实根，转化为=a和1=号对应的方 程t=f(x)的根的总数为4个，数形结合，即可求解 【详解】由号可得完义减为x*,且r四c0-化-=. (1-x)2 1-xy, 当x<2且x≠1时，f()>0,函数f)=C单调递增： 1-x 当>2时，四<0，函数f心。单调递减 所以：x=2是极大值点，f(2)=-e2: 当x<1时，f(x)>0;当x>1时，f(x)<0: 由此可作出函数f)=,c的图象： 1-x 答案第4页，共16页 2 f)1- 令t=f(x),则原方程2f(x)=3alf(x)川-d可化为：2t2-3at+a2=0, 得=或1-号 原方程2()=3如训-云有且仅有4个不同的实根，等价下：=a和-号对应的方程 t=f(x)的根的总数为4个： 结合f(x)的图象可得y=f(x的图象： t=f(x川 y22 白疫如/a以及=受故a>0,且a号 结合t=V(x)图象，要使得=a和()=有且仅有4个不同的实根。 西满足a>e且0<<e,即得e<a<2e,此时川-号有1个解，了(y=a有3个解， 即a∈(e2,2e2). 9.AD 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实 际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】求各组频率，即可判断A;对于B:根据中位数的定义分析判断；对于C:结合加 答案第5页，共16页 权平均数公式运算求解；对于D:结合频率分布直方图分析判断即可. 【详解】由频率分布直方图可知每组的频率依次为：0.22,0.3,0.24,0.14,0.1. 对于选项A:样本中延迟在[10,20)s内的模型个数为200×0.3=60，故A正确： 对于选项B:因为0.22<0.5,0.22+0.3=0.52>0.5， 所以估计样本的中位数落在区间[10,20)内，故B错误： 对于选项C:估计样本的平均数约为5×0.22+15×0.3+25×0.24+35×0.14+45×0.1=21(ms), 故C错误： 对于选项D:该分布峰值在左侧低延迟区间，频率随延迟增大逐渐降低， 所以呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，故D正确。 10.BCD 【难度】0.65 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、 求函数零点或方程根的个数 【分析】A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B:根据∫(x)关于点(O,O)中心对称以 及关于直线x=2对称，可作出判断；C:利用周期性可得f(2025)=f(1),f(2026)=f(2), 由此可计算出结果；D:在同一坐标系中作出y=f(x),y=log2（x+2的图象，根据图象可 判断出结果 【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x), 又因为f(2-x)=f(2+x),所以函数f(x)关于直线x=2对称： 所以f(x+4)=f(2+x+2)=f(2-x-2)=f(-x)=-f(x), 所以f(x+8)=f(x+4+4)=-f(x+4)=-「-f(x)]=f(x), 所以函数∫(x)是周期为8的周期函数，所以A选项错误； 由于函数f(x)是奇函数，关于点(0,0)中心对称，且函数f(x)关于直线x=2对称， 因此点(4,0)是函数f(x)的一个对称中心，所以B选项正确： 由于函数f(x)是周期为8的周期函数，且x∈[0,2]时，f(x)=x-3x, 那么f(2025)=f(1)=-2,f(2026)=f(2)=2,因此f(2025)+f(2026)=0,所以C选项正 确； 作出函数y=∫(x)与函数y=1og2(x+2)的图象如图所示， 答案第6页，共16页 根据图象可知，两个图象有3个交点，因此函数y=∫(x)-1og2(x+2)有3个零点，所以D 选项正确， 故选：BCD, y=log2(x+2) =x） 578 11.ACD 【难度】0.3 【知识点】二倍角的正切公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用双曲线 定义求方程 【分析】由三角形内切圆的性质可判断A;由三角形的面积公式，结合余弦定理可判断B: 由直线的斜率公式及二倍角公式可判断C:联立直线DH,BH的方程，表示出点H的坐标， 结合双曲线的定义，可判断D. 【详解】如图1，设ABC的内切圆G与AC,BC分别相切于点P,Q 图1 对于A,根据内切圆的性质，得AP=AE,CP=CQ,BE=BQ, 则CA-CB=AP-BQ=AE-BE, 而AB=4,EB=AB,所以BE=1,AE=3,则CA-CB=2,故A正确 4 对于B,在ABC中，由余弦定理得16=CA+CB2-2CA×CB cosC①， 又CA-CB=2,即(CA-CB)2=CA+CB2-2CA×CB=4,得CA2+CB2=4+2CA×CB, 代入①中，得16=4+2CA×CB(1-c0sC),所以CA×CB= 6 。3 1-cosc=sin:C, 2 所以S=C4 xCBsin C-3simC cos- 202 3 2 2sin tan 2 2sin2C 2 板Sm气3。板B铝茨 对于C,以AB的中点为原点，AB为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，则 A(-2,0),B(2,0),D(-1,0),E(1,0), 由CA-CB=2<AB,结合双曲线的定义知，点C在以A,B为焦点，以D,E为顶点的双曲线 右支上， 答案第7页，共16页 其方程为x--1>1). 3 设C(川，则m2_ =1,即n2=3m2-3. 3 B 图2 当∠A5c子号时，m∠Bc=ko-n片am∠iBc=-=”习 2 m-21 而 tan2∠BDC= 2tan∠BDC 2n(m+1) 2n(m+1) 2n(m+1) 1-tan2∠BDCm2+2m+1-n2m2+2m+1-(32-3-2(+1)(-2)-2' 故tan∠ABC=tan2∠BDC 又∠ABC∈(0，，BDC02 所以∠ABC=2∠BDC 当∠ABC=子时，C(2.),所以BC=3=BD,故∠BDC=牙，依然满是ABC=2∠BDC 综上所述，∠ABC=2∠BDC,故C正确 对于D,若△BCD的内心为H,则A-B=2等价于点在双曲线x_父-1的右支上 3 如图2，不妨设∠BDH=日，则∠BDC=20,又∠ABC=2∠BDC,故∠ABC=48,∠DBH=28 由DH:y=(x+1)tanB，,BH:y=(2-x)tan28, 联立解得交点H 3+tan20 6tan0 3-tam20'3-tan20 3+tan20 6tane2 3-tan20 3-tan20 ,即点H满足x-上=1，故D正确 =1 3 3 12.60 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】由二项展开式的通项公式即可求出结果 【详解】(2x+1)°展开式的通项为：T,1=C6·2-·x 令6-r=2,则r=4即可得到x2的系数为C,24=60 【点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题型. 答案第8页，共16页 13.-1 【难度】0.65 【知识点】数与式中的归纳推理、虚数单位i及其性质、比较对数式的大小 【分析】借助对数函数图象的规律，先比较血3，lg3,1og3的大小，再写出逆序数，最后 利用复数的运算即可求解 【详解】 A y=Inx v=logsx y=lgx 如图，借助对数函数的图象，可知ln3>log3>lg3, 由逆序数的定义可得，t(n3,lg3,1og3)=2, 所以血3，e3,g3)=i2=-1. 故答案为：-1. 4房 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】由题意可知1,2,3,4,5的全排列有A种，进而判断出5的位置，然后对第二 位进行分类讨论，同时注意数字4的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数，再 求概率即可. 【详解】由题意可知1,2,3,4,5的全排列有A;=120种， 因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位， 当5排在第一位时，若4排在第二位，此时排列可以是(5,4,1,2,3)， (5,4,2,1,3),(5,4,3,1,2),(5,4,3,2,1),共4种情况： 当5排在第一位时，若3排在第二位，此时若4排在中间位置（如4或4）， 其邻居（来自剩下的数)必然都小于4，不满足题设条件，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5,3,1,2,4)，(5,3,2,1,4)，共2种情况： 当5排在第一位时，若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是(5,2,1,3,4)，共1种情况： 当5排在第一位时，若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是(5,1,2,3,4)，共1种情况： 由上可知，当5排在第一位时，共有8种情况： 同理可得，当5排在第五位时，也有8种情况满足条件： 综上所述，共有8+8=16种排列满足条件， 所以该排列满足此条件的概率为162 12015 答案第9页，共16页 15.1)0 10 (2)2√5+√10 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)根据余弦定理求解BC=√5，即可利用正弦定理求解， (2)根据三角形的面积公式即可求解sn∠BCD=1,即可求解 【详解】(1)由余弦定理知：BC:=4B+4C-2ABAC.cos3L1+2-25 解得BC=√5， sinc sind,则sinc=AB.si4ky② 由正弦定理可知AB=BC 2-V10 BC V510 (2)因为，s=,BC-cD-sin/BCD=5 D.sin∠BCD= CD 2 则sin∠BCD=1, 故∠BCD受则☑BDC为锐角，又点D在®5C外接圆上，所以BDC-子 4 故∠CBD=T,，则CD=BC=√5，BD=V10, 4 则△BCD的周长为2W5+√10. 16.a房 (2)(i)少=1.62t+41.93;(i)该款大模型更有可能是语言模型. 【难度】0.69 【知识点】求回归直线方程、计算古典概型问题的概率、用回归直线方程对总体进行估计、 残差的计算 【分析】(1)依据图示可以得到多模态模型的个数与总数作比值；(2))根据线性回归模型的 计算公式代入数据：()分别计算两款模型的9值，比较即可； 【详解】(1)由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用 频率估计概率，多模态模型的频率为 4所以该区域2026发布的大模型是多模态模型 63 的概率为 (2)0因为v=53,∑=352,2-)(y-习=116， 1=1表示2025年1月份，t2=6表示2025年6月份，所以t3=7,t4=8,t,=9,t6=11 答案第10页，共16页 所以7=1+6+7+8+9+11=7， 6 Q-0--a=352-6x7°=58 所以6a-0- 162,根据a=可-6=53-14=39， 20-0 58 所以y关于t的线性回归方程为： )=2t+39 ()已知2026年4月，则t=16,计算多模态模型的预测值和残差，)=2×16+39=71，残 差为：68-71=-3， 所以9= -3 71 ≈0.042.再计算语言模型的预测值和残差，y=6.5lnl6+50.3≈68.5，残差为： 68-68.5=-0.5,02= -0.5 68.5 ≈0.0072，所以2>Q2,所以根据2值越小的大模型发生的可 能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型 7.(1)证明见解析 a 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】(1)取AC中点为O,取PE中点为M,连接AC,连接MF,连接AF交ED于点2， 利用中位线性质，得到Q为AF的中点，再结合中位线性质，利用线面平行的判定定理证明 即可： (2)以AC的中点O为原点，以OC为x轴，OD为y轴，过O且垂直底面ABCD的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而利用向量法，直接求解面面角的余弦值即 可. 【详解】(1)取AC中点为O,取PE中点为M,连接AC,连接MF,连接AF交ED于点Q, 连接0Q, 因为点F为PD中点，点M为PE中点，所以MF∥ED, 因为E为AM的中点，所以Q为AF的中点， 又因为O为AC的中点， B D 所以OQ∥CF,又OQC平面BDE,CF4平面BDE,故CF∥平面BDE. 答案第11页，共16页 (2)以AC的中点O为原点，以OC为x轴，OD为y轴， 过O且垂直底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系 设AB=1,则PA=3,菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以AC=1,BD=V3, 则05cGn5。 汉副 所以面-a5o题-（告兽，c-(1uc-(引 设平面BDE的法向量为=(x,,), 4BD=0 〔3y=0 证=0'即{1 则 当* 2 2y+3=01 取x=2,得2=(2,0,1)， 设平面CEF的法向量为h=(x2y2,2), z,·CE=0 -x2+22=0 则 3 h·CF=0 +4+=0 取x2=1得=(1，-V5,1, 设平面BDE与平面CEF的夹角为O, 历2 3 3 则cos0 z V5x55, 故平面5D与平面CaF夹角的余弦值为 答案第12页，共16页 B 18.@当a≤0时，f)在区间Q,+o)上单调造增：当a>0时，fd)在区间0 ]上单调 上单调递减 (2)证明见解析 (3)1 【难度】0.28 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零 点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】(1)求导后，讨论a的取值范围进行求解； (2)转化为lnr-x<xex,即x+xex-hx>0.设h(x)=x+xex-hx,求导，研究函数的 单调性进行求解； (3)方程nx-a=e可化为hK-e=m,所以a=nx-C记 ()=血x-e-山xe,x>0,对函数求导，由单调性和最值求解， 【详解】(1)解：f(x)的定义域为(0，+o),f(x)=上-a, 当a≤0时，'(x)>0恒成立，f(x)在区间(0，+o)上单调递增： 1 当a>0时，令f'(x)=0,得x=二 a f(x)在区间 71 0,- 上单调递增，在区间 ，+0 上单调递减。 a 综上，当a≤0时，f(x)在区间(0+o)上单调递增； 当a>0时，f付在区间02》上单调递增，布区间云+上单润递减 a (2)证明：当a=1时，f(x)=hx-x,要证∫(x)<g(x), 即证nr-x<xe-x,即x+xe-x-lnx>0. 设h(x)=x+xe-x-nx, 答案第13页，共16页 (x)=1+e--xe-1-1-(xe-1). 令t(x)=xex-1(x>0),则t'(x)=(1-x)e, 故当0<x<1时，t'(x)>0,t(x)在区间(0,1)上单调递增， 当x>1时，t'(x)<0,t(x)在区间(1，+o)上单调递减. 故t(x)≤t()=0, 所以当0<x<1时，h(x)<0,当x>1时，h(x)>0, 所以h(x)在x=1处取最小值h(1)=2>0, 故h(x)>0恒成立，原不等式得证. （3)解：方程nx-=e可化为血x-=m,所以a=血r-心 i记(-血-e上_xc,>0,则p)-l-hx+re xx x2 记n(x)=1-nx+x2ex, 则m6)=(2-x)e-2-e」 记m(x)=(2x2-x3)ex-1, 则m'(x)=(4x-3x2-2x2+x3）e-x=xe*(x-1)(x-4), 故函数(x)在区间(0,1)，(4，+o)上单调递增，在区间(1,4)上单调递减， 又(1)=0，m(4)=(32-64)e3-1<0,当x>4时，n(x)<0, 故当x>0时，m(x)≤0，即n(x)≤0，n(x)在区间(0，+o)上单调递减， n(e)=e>0,n(e2)=1-Inc'+e'c=-1+e<0, 根据零点存在性定理可知存在，∈(ce),使得p(化，)=0，即e-血 x 且当0<x<x时，p(x)单调递增，当x>x时，p(x)单调递减， 故(y)≤p(k,)=血。-cs=血血，-1(。-1h+1 0x2 2 答案第14页，共16页 且p(x)>0,当x→0时，p(x)→-o, 设Fx)--1)血x+1（e<x<c2),则Fg=2-)血x+x-3 x3 设G四=(2-血x+x-3(c<r<c2),则G(x)=-mx+2<0, 所以G(x)<G(e)=2-e+e-3=-1<0, 所以F'(x)<0,F(x)在区间(e,e2)上单调递减， 且F(@)-eo.Fe)eo所以9e. 所以若f(x)=g(x)没有实数根，则整数a的最小值为1. 19.)+上=1 43 (2)数列{k}是等比数列，公比为9 ⑧a线胎恒过定点停。 【难度】0.33 【知识点】由递推关系证明等比数列、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点 问题 【分析】(1)根据a,b,c的关系即可求出： (2)设P(5,),2(x2,y2),直线P的方程为x=少+m,联立得到y+y2= -6tm 32+4%y= 3m2-12 3t2+4 再求直线AP,A0的斜率之积，设直线A0的斜率为5，求出 k出=9即可证明： (3)直线P2,的方程为x=y+m,根据(2)的结论求出= 13 7 即可证明， 【详解】(1)由题意得a=2,c=1,b2=3, 故B的方程为+上=1 43 (2)设P(:,乃)，2(x2,y),直线P口的方程为x=y+m, x=ty+m 由二+上-1消去x,整理得(Br+4+6w+3m-12-0, (43 -6t 32-12 △>0，y+%3+44= 3t2+4 直线AP,AQ的斜率之积为 ViV2 yy2 x+2x2+2(g+m+2)(y,+m+2)tyy,+t(m+2)(y+y,)+(m+2 答案第15页，共16页 3m2-12 3(-2) t(3m2-12)-6t2m(m+2)+(32+4)(m+224(0m+2)' 设直线A2的斜率为5n,依题意可知k,Sn均存在且不为零， 由PQ经过g的右焦点R40,知k5,=0-2O, 4(1+2)4 由P0经过g的左焦点10，知太以，十月-包， =9,故数列化，}是等比数列，公比为9， ②÷①得k 《线险约方行为=0，白8句纸调到碧，-中：%。 ,3(-2)1 故4m+2) 36,解得m= 52_13 2871 故白线织柯过定号0小 P 答案第16页，共16页