6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 【学习目标】 1. 进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系. 1. 能正确应用两个计数原理解决一些实际问题（如组数、分配、涂色、程序路径等）. 1. 能根据“完成一件事”的特征，正确选择“分类”或“分步”进行计数，并能综合运用两个原理. 【学习重点】 1. 两个计数原理的区别与综合运用. 2. 解决组数、分配、涂色等常见计数问题. 【学习难点】 1. 对复杂问题合理分类与分步，做到“不重不漏”和“步骤完整”. 2. 在实际问题中识别“分类”与“分步”的层次关系. 学习任务一 两个计数原理的辨析与综合运用 【合作探究】 1. 回顾原理： (1) 分类加法计数原理：完成一件事有 类方案，每类方案中分别有 种方法，则总方法数为 . (2) 分步乘法计数原理：完成一件事需要 个步骤，每一步分别有 种方法，则总方法数为 . 1. 区别与联系： (1) 分类加法原理中，每一类中的每一种方法都能______完成这件事（填“独立”或“不能独立”）；分步乘法原理中，只有______才能完成这件事（填“完成所有步骤”或“完成其中一步”）. (2) 分类加法原理的关键词是“______”，分步乘法原理的关键词是“______”. 1. 例题分析： · 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ (1) 方法一（分步）：先选左边挂的画，有____种选法；再选右边挂的画，有____种选法，总数为______. (2) 方法二（分类）：以左边挂的画为标准分类，左边挂甲时右边有____种；左边挂乙时右边有____种；左边挂丙时右边有____种，总数为______. · 你能用树状图（文字描述）解释为什么结果相同吗？ · 1. 综合运用： · 给程序模块命名，需要用 3 个字符，首字符要求用字母 AG 或 UZ（共 7+6=13 种），后两个字符用数字 1~9（可重复），问最多可以给多少个程序命名？ (1) 思路：先分类求首字符的选法（13 种），再分步求后两个字符的选法（各 9 种），最后用______原理得总数为______. (2) 你还能用先分步再分类的方法求解吗？ 【自主梳理】 1. 两个原理的选用原则： (1) 如果完成一件事有 n 类 不同方案，各类方案相互独立，用 分类加法 原理. (2) 如果完成一件事需要 n 个步骤，各个步骤相互依存，用 分步乘法 原理. (3) 许多问题需要 先分类后分步 或 先分步后分类，要仔细分析. 1. 使用注意： (1) 分类要做到“不重不漏”. (2) 分步要做到“步骤完整”. 学习任务二 利用两个原理解决实际问题 【合作探究】 1. 组数问题： (1) 用数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个各位数字可以重复的三位数？ · （提示：分三步，百位、十位、个位各有____种选法，总数为______.） (2) 由 1,2,3 组成的不多于三位的自然数（可以重复）有多少个？ · （提示：分类：一位数、两位数、三位数，再分别计算.） 1. 分配问题： (1) 从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？ (2) 甲、乙、丙、丁 4 个人各写 1 张贺卡，放在一起，再分配给每人 1 张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同的分配方法？（提示：枚举或先分步再排除） 1. 涂色问题： 用 3 种不同的颜色给正三角形的 3 个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ · （提示：先涂一个顶点有 3 种，再涂第二个顶点有 2 种，最后涂第三个顶点只有____种？注意验证.） 1. 程序模块路径问题（见课件例 7）： 一个程序模块由子模块 1、2、3 组成第 1 步（路径数分别为 18,45,28），子模块 4、5 组成第 2 步（路径数分别为 38,43）. · (1) 整个模块的执行路径有多少条？ · (2) 程序员如何通过先单独测试各子模块再测试模块间交流来减少总测试次数？请计算两种方案的总测试次数，并说明哪种更优. 【自主梳理】 常见计数模型： · 组数问题：注意首位是否为 0、数字是否可重复、是否特殊位置（如偶数、奇数）. · 分配问题：一般分步完成，若有限制条件则先考虑特殊对象. · 涂色问题：按区域顺序分步，或按颜色种类分类. · 路径问题：将整体路径分解为几个阶段，各阶段内部用分类，阶段间用分步. 学习任务三 综合应用（汽车号牌问题） 【合作探究】 某地级市发牌机关采用 5 位序号编码，序号由 10 个阿拉伯数字和除 O、I 之外的 24 个英文字母组成，最多只能有 2 个英文字母.问这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 1. 分析：按字母个数分类： 12. 没有字母（全数字）：每位有 10 种，共 张. 12. 有 1 个字母：字母位置有 5 种选择，每种位置中字母有 24 种，其余 4 位数字各有 10 种，所以每类有 ，共 张. 12. 有 2 个字母：两个字母的位置有 种选择，每种选择中两个字母各有 24 种，其余 3 位数字各有 10 种，所以每类有 ，共 张. 2. 总数 =______. 3. 思考：为什么要分三类？为什么不能直接用分步（先选字母位置再选字母数字）？这体现了什么计数思想？ 【自主梳理】 复杂计数问题的处理策略： 1. 先对问题整体分类（如按字母个数、按特殊元素位置等），使每一类内部能用分步乘法简单计算. 2. 分类标准要统一，且各类之间互斥. 3. 当分类较多时，可利用组合数求位置选择数. 【自查自纠】（正误判断） 1. 分类加法计数原理中，各类方案中的方法可以相互重叠. （ ） 1. 分步乘法计数原理中，每一步的方法数必须相同. （ ） 1. 用数字 1,2,3 组成三位数（允许重复），共有 个. （ ） 1. 从 3 幅画中选 2 幅挂左右墙，先选左边再选右边，是分步乘法. （ ） 1. 汽车号牌问题中，有 2 个字母的序号，字母位置选法有 种（有序），但实际组合数为 ，因为两个字母是无序的. （ ） 【典例分析】 例1：由数字 0,1,2,3,4 可组成多少个无重复数字且是奇数的四位数？ 解： 例2：用 4 种不同的颜色涂下图中的 4 个区域（区域之间相邻关系：文字描述，例如 A 与 B、C 相邻，B 与 A、D 相邻，C 与 A、D 相邻，D 与 B、C 相邻），要求相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法有多少种？ 解：（提示：先涂 A 有 4 种，再涂 B 有 3 种，然后分类讨论 C 与 A 是否同色等.） 【习题巩固】 1. 某电话局管辖范围内的电话号码由 8 位数字组成，其中前 4 位数字固定，后 4 位数字都是 0~9 中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？（ ） · A.   B.   C.   D. 1. 从 1,2,…,19,20 中任选一个数作被减数，再从 1,2,…,10 中任选一个数作减数，写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？（ ） · A. 200  B. 30  C. 2000  D. 20 1. 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？（ ） · A. 125  B. 60  C. 120  D. 25 1. 在 1,2,…,500 中，被 5 除余 2 的数共有多少个？（ ） · A. 100  B. 99  C. 101  D. 50 1. （选做）高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ） · A. 360 种  B. 420 种  C. 369 种  D. 396 种 导学案参考答案 学习任务一 回顾原理 (1) 分类加法计数原理： (2) 分步乘法计数原理： 区别与联系 (1) 分类加法原理中，每一类中的每一种方法都能 独立 完成这件事；分步乘法原理中，只有 完成所有步骤 才能完成这件事. (2) 分类加法原理的关键词是“分类”，分步乘法原理的关键词是“分步”. 例题分析（选画挂画） (1) 方法一（分步）：先选左边挂的画，有 3 种选法；再选右边挂的画，有 2 种选法，总数为 (2) 方法二（分类）：左边挂甲时右边有 2 种；左边挂乙时右边有 2 种；左边挂丙时右边有 2 种，总数为 综合运用（程序模块命名） 思路：先分类求首字符的选法（13种），再分步求后两个字符的选法（各9种），最后用 分步乘法 原理得总数为 学习任务二 组数问题 (1) 用数字1,2,3,4,5组成各位数字可以重复的三位数： 分三步，百位、十位、个位各有 5 种选法，总数为 (2) 由1,2,3组成的不多于三位的自然数（可以重复）： 一位数：3个；两位数：个；三位数：个；总数 分配问题 (1) 从5名同学中选出正、副组长各1名：种 (2) 4人各写1张贺卡，再分配给每人1张不是自己所写的贺卡（错位排列）： 枚举法：共有 种 涂色问题 用3种颜色涂正三角形3个顶点，每条边两端不同色： 先涂一个顶点有3种，再涂第二个顶点有2种，最后涂第三个顶点只有 1 种（必须与前两个都不同色），总数为 程序模块路径问题 (1) 第1步：子模块1、2、3的路径数分别为18、45、28，用分类加法得第1步总路径数 第2步：子模块4、5的路径数分别为38、43，用分类加法得第2步总路径数 整个模块：分步乘法 条 (2) 两种测试方案比较略（依原题数据计算） 学习任务三（汽车号牌问题） 按字母个数分类： a. 没有字母（全数字）：每位10种，共 张 b. 有1个字母：字母位置有5种，字母有24种，其余4位数字各有10种，共 张 c. 有2个字母：字母位置有 种，两个字母各有24种，其余3位数字各有10种，共 张 总数 = 张 思考：分三类是因为字母个数不同会导致计算方法不同，不能统一用分步（分步无法处理“最多2个字母”的限制）.这体现了 先分类再分步 的计数思想. 二、自查自纠（正误判断） 1. 错误.分类加法计数原理中，各类方案中的方法不能相互重叠，必须互斥. 2. 错误.分步乘法计数原理中，每一步的方法数可以不同，不需要相同. 3. 正确.用数字1,2,3组成三位数（允许重复），每位有3种选择，共 个. 4. 正确.从3幅画中选2幅挂左右墙，先选左边再选右边，是分步乘法. 5. 错误.汽车号牌问题中，有2个字母时，两个字母是有序的（位置不同算不同号牌），所以字母位置选法应为 种，而不是 种.原题实际按组合数处理了字母位置的无序性，但号牌中字母顺序固定位置，应有序排列. 三、典例分析答案 例1 由数字0,1,2,3,4组成无重复数字且是奇数的四位数. 解：奇数要求个位为1或3，分两类： 1. 个位为1：千位不能为0，从剩余3个数字（2,3,4）中选1个作千位，有3种；百位和十位从剩余3个数字中选2个排列，有 种.共 个. 2. 个位为3：同理，千位从（1,2,4）中选1个，有3种；百位十位从剩余3个数字中选2个排列，有6种.共 个. 总数 答案：36个 例2 用4种不同颜色涂4个区域（A与B、C相邻，B与A、D相邻，C与A、D相邻，D与B、C相邻），相邻区域不同色 . 解：按区域顺序分步，先涂A有4种，再涂B有3种，然后分类讨论C： 1. 若C与A同色，则C只有1种涂法（与A同），此时D与A、C都相邻（A、C同色），所以D不能与A、C同色，也不能与B同色，D有 种（除去A/C的颜色和B的颜色）. · 此类情况：种 2. 若C与A不同色，则C有2种（除去A、B的颜色），此时D不能与B、C同色，可能与A同色（允许），所以D有 种（除去B和C的颜色）. · 此类情况：种 总数 种 答案：72种 四、习题巩固答案 1. 电话号码问题 前4位固定，后4位每位0~9共10种选择. 总数 答案：A（） 2. 减法算式问题 被减数从1~20中选，有20种；减数从1~10中选，有10种. 总数 答案：A. 200 3. 三位数问题 数字1,2,3,4,5组成三位数（数字可重复），每位有5种选择. 总数 答案：A. 125 4. 被5除余2的数 在1~500中，被5除余2的数形如 ，，共100个（因为 ， 超过500）. 答案：A. 100 5. 选做题（工厂分配） 高三年级的四个班去五个工厂，每个班去一个工厂，甲工厂必须有班级去. 总分配方案（无限制）：种 去掉甲工厂没有班级去的方案：每个班从剩余4个工厂选，种 符合要求的方案：种 答案：C. 369种 学科网（北京）股份有限公司 $