7.1.1 条件概率 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案（学生版） 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 【学习目标】 1. 结合古典概型，了解条件概率的概念，理解条件概率与事件独立性的关系. 1. 掌握条件概率的计算方法（公式法和缩小样本空间法）. 1. 能运用条件概率公式和乘法公式解决简单的实际问题. 【学习重点】 1. 条件概率的定义及其计算方法. 2. 概率的乘法公式：. 【学习难点】 1. 理解条件概率中样本空间的变化（从 缩小为条件事件）. 2. 区分 与 的联系与区别. 学习任务一 条件概率的概念与直观理解 【合作探究】 1. 问题1（班级团员男生）： · 某班级有45名学生，其中男生25人，团员30人，团员中男生16人.随机选择一人做代表. (1) 选到男生的概率是多少？ (2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？ · 分析：(2) 中已知选到团员，样本空间由原来的45人缩小为30名团员，其中男生16人，所以概率为 . · 这种“在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率”就是条件概率. 1. 问题2（两个小孩家庭）： · 假定生男生女等可能，考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭. (1) 该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多少？ (2) 如果已知这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多少？ · 样本空间 ，设 =“有女孩”， =“两个都是女孩”. · ；（因为 发生时，样本空间缩小为 ，其中只有 满足 ）. · 请思考：为什么 ？ 1. 共同特点： · 在问题1和问题2中，条件概率都可以表示为 · 由此引出条件概率的定义. 【自主梳理】 1. 条件概率的定义： · 设 为两个随机事件，且 ，称 · 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率. 1. 理解要点： (1) 样本空间由 缩小为 . (2) （因 ）. (3) 条件概率也是概率，满足概率的基本性质（非负性、规范性、可加性）. 1. 条件概率与事件独立性： · 当 时，事件 与 相互独立的充要条件是 . · 即 的发生不影响 的概率. 学习任务二 条件概率的计算方法 【合作探究】 1. 方法一：公式法 · 先计算 和 ，再代入 . · 例：从5道试题（3道代数，2道几何）中不放回依次抽取2道.设 =“第1次抽到代数题”， =“第2次抽到几何题”. 求 ，再求 . · 解：，， · . 1. 方法二：缩小样本空间法 · 在 发生的条件下，新的样本空间就是 ，直接计算 在 中的比例. · 如上例，已知第1次抽到代数题后，剩余4题（2代数，2几何），第2次抽到几何题的概率为 . 1. 乘法公式： · 由条件概率定义可得 （），称为概率的乘法公式. · 可以推广到多个事件的积. 【自主梳理】 1. 求条件概率的两种方法： (1) 公式法：，前提是容易求出 和 . (2) 缩小样本空间法：以 为新的样本空间，直接计算 的概率（常用古典概型）. 1. 乘法公式：. · 注意： 的顺序很重要，先发生的事件放在前面. 学习任务三 条件概率的性质与应用 【合作探究】 1. 条件概率的性质（设 ）： (1) . (2) . (3) 若 互斥，则 . (4) . 1. 应用举例： · 银行储蓄卡密码最后一位忘记，随机按数字，求不超过2次按对的概率. · 设 =“第 次按对”，则“不超过2次按对” = . · 利用互斥事件概率加法及乘法公式： · . · 若已知最后一位是偶数，则条件概率需重新计算. 1. 抽奖问题的不变性： · 3张奖券只有1张有奖，甲、乙、丙依次不放回抽取. · 计算甲中奖概率 ，乙中奖概率 ，丙同理. · 结论：中奖概率与次序无关. 【自主梳理】 1. 条件概率满足概率的所有性质，只是样本空间缩小. 1. 复杂事件可以分解为互斥事件的并，再利用条件概率的性质计算. 1. 乘法公式常用于求积事件概率，尤其当事件有先后顺序时. 【自查自纠】（正误判断） 1. 与 的意义相同. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 若事件 与 相互独立，则 . （ ） 1. 条件概率的样本空间仍为原样本空间 . （ ） 1. 在抽奖问题中，不放回抽取时，中奖概率与抽奖顺序有关. （ ） 【典例分析】 例1：在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求： (1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 解： 例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3人依次不放回各抽1张.求乙中奖的概率，并判断中奖概率是否与次序有关. 解： 例3：银行储蓄卡密码最后一位数字忘记，若随机按数字，求不超过2次按对的概率；如果记得最后一位是偶数，求此时不超过2次按对的概率. 解： 【习题巩固】 1. 某班有50名学生，其中男生30人，团员20人，男生中团员12人.现随机选一人，求： · (1) 选到男生的概率； · (2) 在选到团员的条件下，选到男生的概率. · 1. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次抽1张，不放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率. 1. 袋子中有10个球，7白3黑，不放回依次摸出2球.求： · (1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； · (2) 两次都摸到白球的概率. 1. 某人一周值2次夜班，已知他周日晚上一定值班，求他在周五或周六晚上值班的概率. 1. （选做）已知1号箱中有2白4红，2号箱中有5白3红.先从1号箱取一球放入2号箱，再从2号箱取一球，求两次都取到红球的概率. 导学案参考答案 学习任务一 问题1（班级团员男生） (1) 选到男生的概率： (2) 已知选到团员，选到男生的概率： 问题2（两个小孩家庭） 样本空间：{男男，男女，女男，女女} (1) 两个都是女孩的概率： (2) 已知有女孩，两个都是女孩的概率： 思考：因为已知有女孩时，样本空间缩小为{男女，女男，女女}，共3种等可能情况，只有1种满足两个都是女孩. 共同特点：条件概率 学习任务二 例（抽题问题） ， 公式法： 缩小样本空间法：已知第1次抽到代数题，剩余4题中有2道几何题， 学习任务三 银行储蓄卡密码问题 不超过2次按对的概率： 不超过次按对 若已知最后一位是偶数，则只剩5个数字可选： 抽奖问题的不变性 甲中奖概率： 乙中奖概率：乙中甲中且乙中甲不中且乙中 丙同理.结论：中奖概率与次序无关. 二、自查自纠（正误判断） 1. 错误. 是在 B 发生的条件下 A 发生的概率， 是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，两者意义不同. 2. 正确.当 时，，所以 . 3. 正确.若 A 与 B 相互独立，则 . 4. 错误.条件概率的样本空间缩小为条件事件 B，不是原样本空间 Ω. 5. 错误.不放回抽取时，中奖概率与次序无关，每人中奖概率相等. 三、典例分析答案 例1 (1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率： (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率： 方法一（公式法）： 方法二（缩小样本空间法）：已知第1次抽到代数题，剩余4题中有2道几何题，概率为 答案：(1) ；(2) 例2 乙中奖的概率： 乙中奖 = 甲不中且乙中 乙中甲不中乙中甲不中 甲中奖概率为 ，丙中奖概率也为 ，中奖概率与次序无关. 答案：，中奖概率与次序无关. 例3 不超过2次按对的概率： 若记得最后一位是偶数，则样本空间为5个数字： 答案：； 四、习题巩固答案 1. 班级学生问题 (1) 选到男生的概率： (2) 在选到团员的条件下选到男生的概率： 团员共20人，其中男生12人，概率为 答案：(1) ；(2) 2. 扑克牌问题 一副牌52张，A牌共4张. 已知第1次抽到A牌，剩余51张中有3张A牌. 第2次抽到A牌的概率为 答案： 3. 摸球问题 (1) 第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率： 第1次摸到白球后，剩余9球，其中6白3黑，概率为 (2) 两次都摸到白球的概率： 答案：(1) ；(2) 4. 值班问题 一周7天，周日固定值班，还需选1天值班，从剩余6天中任选1天. 周五或周六被选中的概率为 答案： 5. 选做题（两次取红球） 1号箱：2白4红，2号箱：5白3红. 先从1号箱取一球放入2号箱，再从2号箱取一球，求两次都取到红球的概率. 分两种情况： · 从1号箱取到红球（概率 ），放入后2号箱变为5白4红，再从2号箱取到红球概率 · 从1号箱取到白球（概率 ），放入后2号箱变为6白3红，再从2号箱取到红球概率 两次都取到红球的概率： 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $