7.1.1 条件概率（导学案）数学人教A版选择性必修第三册

7.1.1 条件概率 导学案 1. 结合古典概型,了解条件概率的概念； 2. 掌握求条件概率的两种方法； 3. 能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 4. 通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法 1． 创设情境，引入新知 班级篮球赛的 “胜负谜题” 德育班参加了年级篮球赛，课前老师统计了10 场篮球热身赛的结果，如右边表格所示. 思考：观察表格，能从这 10 场比赛中算出德育班热身赛的整体胜率吗？ 追问1：如果已知某一场比赛是在晴天进行的，咱们班这场比赛获胜的概率是多少？ 追问2：如果已知某一场比赛是在雨天进行的，咱们班这场比赛获胜的概率又是多少？ 2． 探究新知 教师：在必修二《概率》一章的学习中，我们已经知道，对于同一试验中的两个事件A与B， 当事件A与B相互独立时，事件A与B同时发生的概率有 事件A发生与否 影响事件B发生的概率 思考：那么，当事件A与B不相互独立时，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？ 教师：要解决这个问题，我们可以以下从具体问题入手 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示． 单位：人 表7.1-1 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表． （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 总结：在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 ------------------------------ 这个结论对于一般的古典概型仍然成立．事实上，如图7.1-1所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间．此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即 ． 因为 ， 所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过_____________来计算． 定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称 (conditional probability)． 思考1：如何判断条件概率? 思考2：P(B|A)与P(A|B)的区别是什么? 牛刀小试： 练1：下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 练2；已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（     ） A． B． C． D． 练3：根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（     ） A． B． C． D． 练4：一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（   ） A． B． C． D． 探究：在问题1和问题2中，都有．一般地，与不一定相等．如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件? 探究：对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？ 预设：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则 ． 我们称上式为概率的 (multiplication formula)． 小试牛刀： 练5：已知事件，若，，则（     ） A． B． C． D． 练6：已知两个随机事件，，若，，，则 ． 3． 应用新知 例 1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 总结：求条件概率有两种方法： 法一： ：一种是基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求； 法二： ：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求就是以A为样本空间计算AB的概率． 4． 探究新知 条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 （1） ； （2）如果B和C是两个互斥事件，则 ； （3）设和B互为对立事件，则 ． 小试牛刀： 练7：已知随机事件、，，，，则（    ） A． B． C． D． 5． 应用新知 例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 结论：事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关． 例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． 小试牛刀： 练8：在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题.若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 6． 题型强化练习 类型一：求条件概率 例1 （1）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 根据条件概率定义求概率：_________ 总结： （2）甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 根据条件概率定义求概率： 总结： 题型二：概率乘法公式求积事件的概率 例题2 10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 总结：利用乘法公式解题的一般步骤 (1) 首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0； (2) 根据已知条件表示出各事件的概率； (3)代入乘法公式 求出概率． 题型三：条件概率公式和性质求相关概率 例题3 （1）对于随机事件，若，，，则 . （2）在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 总结：利用条件概率性质解题的策略 (1) 分析条件，选择公式： 首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式： ． (2) 分解计算，代入求值： 求较复杂事件的概率时，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 7． 小结及课后作业 作业1：完成教材：第48页 练习1，2，3； 作业2：配套辅导资料对应的《条件概率》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.1 条件概率 导学案 1. 结合古典概型,了解条件概率的概念； 2. 掌握求条件概率的两种方法； 3. 能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 4. 通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法 1． 创设情境，引入新知 班级篮球赛的 “胜负谜题” 德育班参加了年级篮球赛，课前老师统计了10 场篮球热身赛的结果，如右边表格所示. 思考：观察表格，能从这 10 场比赛中算出德育班热身赛的整体胜率吗？ 预设： 追问1：如果已知某一场比赛是在晴天进行的，咱们班这场比赛获胜的概率是多少？ 预设： 追问2：如果已知某一场比赛是在雨天进行的，咱们班这场比赛获胜的概率又是多少？ 预设： 2． 探究新知 教师：在必修二《概率》一章的学习中，我们已经知道，对于同一试验中的两个事件A与B， 当事件A与B相互独立时，事件A与B同时发生的概率有P(AB)=P(A)P(B) 事件A发生与否不会影响事件B发生的概率 思考：那么，当事件A与B不相互独立时，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？ 教师：要解决这个问题，我们可以以下从具体问题入手 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示． 单位：人 表7.1-1 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表． （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 预设：随机选择一人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点．用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表7.1-1中的数据可以得出，，，． （1）根据古典概型知识可知，选到男生的概率 ． （2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数．根据古典概型知识可知， ． 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 预设：观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间，且所有样本点是等可能的．用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则 ，． （1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率 ． （2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB．根据古典概型知识可知， ． 总结：在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 ． ------------------------------- 这个结论对于一般的古典概型仍然成立．事实上，如图7.1-1所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间．此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即 ． 因为 ， 所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过来计算． 定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率(conditional probability)． 思考1：如何判断条件概率? 预设：题目中出现“在已知……前提下(或条件下、情况下)”、“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率. 思考2：P(B|A)与P(A|B)的区别是什么? 预设：P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率. P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率. 牛刀小试： 练1：下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 C．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 预设：由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率．选项A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；选项B：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；选项C：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；选项D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．故选：C 练2；已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（     ） A． B． C． D． 预设：由条件概率公式可得：, 故选：A. 练3：根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（     ） A． B． C． D． 预设：设事件A表示四月份吹东风，事件B表示四月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率． 故选：A 练4：一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（   ） A． B． C． D． 预设：依题意，，所以. 故选：B 探究：在问题1和问题2中，都有．一般地，与不一定相等．如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件? 预设：若事件A与B相互独立，即，且，则 ； 反之，若，且，则 ， 即事件A与B相互独立． 因此，当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有． 探究：对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？ 预设：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则 ． 我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula)． 小试牛刀： 练5：已知事件，若，，则（     ） A． B． C． D． 预设：由题可知，， 故选：A． 练6：已知两个随机事件，，若，，，则 ． 预设：因为，，所以. 故答案为： 3． 应用新知 例 1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 预设：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB． 方法1：（1）从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即．因为，所以 ． （2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，显然．利用条件概率公式，得 ． 方法2：在缩小的样本空间A上求．已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道．因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 ． 又，利用乘法公式可得． 总结：求条件概率有两种方法： 法一：定义法:一种是基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求； 法二：压缩样本空间法：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求就是以A为样本空间计算AB的概率． 小试牛刀： 练7：已知随机事件、，，，，则（    ） A． B． C． D． 预设：因为，，，所以， 由条件概率公式可得，因此. 故选：C. 4． 探究新知 条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 5． 应用新知 例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 预设：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，． ；； ． 因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关． 结论：事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关． 例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． 预设：（1）设“第次按对密码”， 则事件“不超过2次就按对密码”可表示为． 事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 ． 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为． （2）设“最后1位密码为偶数”，则 ． 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为． 小试牛刀： 练8：在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题.若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 预设：设“该考生6道题全答对”为事件 A，“该考生恰好答对了5道题”为事件 B，“该考生恰好答对了4道题”为事件 C ，“该考生在这次考试中通过”为事件 D ，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件 E，则 D=A∪B∪C ， E=A∪B ，且A ， B ， C 两两互斥，由古典概型的概率公式知， P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) 又 ， ， 所以 ． 故所求概率为 . 6． 题型强化练习 类型一：求条件概率 例1 （1）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 预设：事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有，故概率为，故选：B根据条件概率定义求概率： 总结： （2）甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 预设：由题意可得：，，所以． 故选：B.根据条件概率定义求概率： 总结： 题型二：概率乘法公式求积事件的概率 例题2 10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 预设：（1）记事件A表示甲抽到难签，抽签的试验有10个不同结果，它们等可能， 事件A含有4个不同结果，所以. （2）记事件B表示乙抽到难签，由于甲先抽、乙后抽，则， 由（1）知，，所以甲、乙都抽到难签的概率. （3）由（1）知甲没有抽到难签的概率，， 所以甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率. 总结：利用乘法公式解题的一般步骤 (1) 首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0； (2) 根据已知条件表示出各事件的概率； (3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出概率． 题型三：条件概率公式和性质求相关概率 例题3 （1）对于随机事件，若，，，则 . 预设：，又，所以， 因为，所以. 故答案为： （2）在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 预设：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B， “摸出第二个球为黑球”为事件C， 则， , 所以． 总结：利用条件概率性质解题的策略 (1) 分析条件，选择公式： 首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式：P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (2) 分解计算，代入求值： 求较复杂事件的概率时，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 7． 小结及课后作业 作业1：完成教材：第48页 练习1，2，3； 作业2：配套辅导资料对应的《条件概率》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $