排列组合、二项式定理 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年度第2学期高二级同步练习 考查内容：排列组合、二项式定理 一.选择题 1．3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 2．的展开式中的系数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 3．若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 4．有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（   ） A．40 B．90 C．150 D．240 5．的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 6.(多选)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有( ) A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 7．(多选)五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（   ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 二、填空题 8．在的展开式中，常数项的值等于______． 9．甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 三、解答题： 10．已知. (1)求展开式中的带有的项； (2)求展开式中各项的系数和； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 11．随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果） (1)3名女生相邻； (2)3名男生互不相邻； (3)若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端. 13．设，求 (1)；（不必计算最终结果） (2)；（不必计算最终结果） (3). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第2学期高二级同步练习 考查内容：排列组合、二项式定理 一.选择题 1．3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 2．的展开式中的系数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【详解】由于的展开式的第3项为， 故展开式中的系数为. 3．若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 4．有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（   ） A．40 B．90 C．150 D．240 【分析】根据题意分法为和两类情况，根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由题意得有两类分法，第一类分法为，第二类分法为， 第一类：按分法有：种不同的分法， 第二类：按分法有：种不同的分法， 根据分类加法计数原理共有：种不同的分法. 5．的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 6.(多选)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有( ) A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【解析】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确．故选：ABD. 7．(多选)五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（   ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 【解析】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择， 所以所有可能的方法有种，故A错误； 对于选项B：若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑， 所以不同的安排方法有种，故B错误； 对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有种； 若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种，故C正确； 对于选项D：若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有： 若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有种； 若这个景点有3人去，不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有种，故D正确； 故选：CD. 二、填空题 8．在的展开式中，常数项的值等于______． 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得，所以所求常数项为. 9．甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 【分析】先求出甲、乙各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数，再求出各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数，相减可得结论. 【详解】甲、乙两名游客各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数为， 甲、乙两名游客各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数为， 所以甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为． 三、解答题： 10．已知. (1)求展开式中的带有的项； (2)求展开式中各项的系数和； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【分析】（1）根据二项式定理求得展开式的通项公式，再结合得，最后代入计算即可； （2）结合题意，令求解即可； （3）结合得第4项的二项式系数最大，再求对应项即可. 【详解】（1）解：由题意知，展开式的通项公式为，， 令，解得 所以，展开式中的带有的项为； （2）解：根据题意，令，此时展开式的值即为各项系数和：. （3）因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大， 所以. 11．随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 【详解】（1）从参赛的8支球队随机选4支进入A组，其余4支进入B组，共有种分组情况， 甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为. 设事件E为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则， 即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为. （2）解法一：记事件M为“甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则，， 所以， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 解法二：记事件M为“甲、乙、丙中有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果） (1)3名女生相邻； (2)3名男生互不相邻； (3)若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端. 【分析】（1）根据题意，把3名女生看作一个元素，进行排列，即可求解； （2）把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生，即可求解； （3）先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，即可求解； （4）根据题意，分为当老师站在两端中的一个位置和老师既不站中间也不站两端，结合排列数公式，即可求解. 【详解】（1）因为3名女生相邻，可把3名女生看作一个元素， 先进行5个元素的全排列，再对3名女生全排列，共有种站法； （2）先把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生， 共有种站法. （3）先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，共有种站法. （4）由题意知，老师不站中间，女生不站两端，可分为两类： ①当老师站在两端中的一个位置，且女生不站两端时，有站法； ②当老师不站在两端，且不站在中间时，有种站法， 由分类计数原理得，共有种不同的站法. 13．设，求 (1)；（不必计算最终结果） (2)；（不必计算最终结果） (3). 【分析】（1）因为所求为偶数项系数和，所以可利用赋值法，分别令和代入已知等式，得到两个关于系数和的等式，再将两式相加后变形即可求解； （2）可令​代入已知等式，再减去​即可得到所求结果； （3）对已知等式两边关于x求导，再令代入求导后的等式即可求解. 【详解】（1）由于， 令，得， 即； 令，得， 即， 两式相加再除以2可得； （2）令，可得， 令，可得， 得， 所以； （3）将等式 两边同时求导可得，， 再令，可得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $