精品解析：江苏盐城市康居初中教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试初二年级数学试卷

盐城市康居路初中教育集团2025−2026学年度第二学期期中考试 初二年级数学试卷 （卷面总分：100分 考试时间：100分钟） 岁月默默见证着一路的耕耘，期中检验如约而至．请以认真的态度细读每一题，用扎实的知识从容作答，让笔下的每一个步骤，都成为你汗水与成长的证明．愿你静心思考、沉稳发挥，交出一份无愧于心、不负时光的满意答卷！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 4. 化简的结果是（ ） A. B. 6 C. D. 5. 如图的扇形统计图描述了某水果商店一周内四种水果的销售占比情况，根据扇形统计图中的信息，该水果商店的负责人应该多购进（ ） A. 苹果 B. 香蕉 C. 西瓜 D. 樱桃 6. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A. B. C. D. 7. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上） 9. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 10. ______1（用“”、“”或““连接）． 11. 分式和的最简公分母是______． 12. 分母有理化：________． 13. 如图，兰兰的作业纸被撕下来一部分，则被撕下部分的式子是________． 14. 若关于的分式方程有增根，则________． 15. 若为实数，且，则_____． 16. 已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分，请将解答过程写在答题纸相应的位置上） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程 （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了解我校初二学生对盐城非遗文化（：淮剧；：东台发绣；：大丰瓷刻；：建湖杂技）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为__________人： （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）图②中所对应的圆心角为________°； （4）我校初二年级有人，估算有多少人知晓建湖杂技此项非遗文化． 21. 2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（不需要写画法）． （1）在图1中，画一个正方形，使它的面积是； （2）在图2中，已知点，画一个，使它的三边长分别为：、、，并计算边上的高为________．（直接写出结果） 23. 某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 频率 合计 请根据图表，解答下面的问题： （1） ________， ________， ________， ________． （2）补全频数分布直方图． （3）如果阅读书籍数量在本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 24. 观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题： ； ； ； （1）推算出________________；________________． （2）用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； （3）求出的值． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： （1）已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． （2）已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． （3）已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 26. 【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取，，代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取，，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“级和谐系数”的有________（填序号）；①②③ （2）若实数对是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足（P为整数）求整数n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市康居路初中教育集团2025−2026学年度第二学期期中考试 初二年级数学试卷 （卷面总分：100分 考试时间：100分钟） 岁月默默见证着一路的耕耘，期中检验如约而至．请以认真的态度细读每一题，用扎实的知识从容作答，让笔下的每一个步骤，都成为你汗水与成长的证明．愿你静心思考、沉稳发挥，交出一份无愧于心、不负时光的满意答卷！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 的值可以是， 故选：D． 2. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式要求分母含有字母，据此逐一分析各选项即可得到结果． 【详解】解：A：分母为常数，属于整式，不是分式； B：中分母含有字母，符合分式的定义，是分式； C：中是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式； D：分母为常数，属于整式，不是分式． 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况． 全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况． 【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意； 选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意； 选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意； 选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 化简的结果是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． 5. 如图的扇形统计图描述了某水果商店一周内四种水果的销售占比情况，根据扇形统计图中的信息，该水果商店的负责人应该多购进（ ） A. 苹果 B. 香蕉 C. 西瓜 D. 樱桃 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形统计图中各种水果销量所占的百分比求出西瓜销量所占的百分比，通过比较可知销量最大的是西瓜，所以水果商店的负责人应该多购进西瓜． 【详解】解：由扇形统计图可知，西瓜的销售量为， ， 西瓜的销量最大， 该水果商店的负责人应该多购进西瓜． 6. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 7. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，是整数，与不是同类二次根式； D、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 8. 甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由甲的单件制作时间表示出乙的单件制作时间，再根据甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相等，进而列出方程． 【详解】解：若甲制作一件手工艺品需要小时，则乙制作一件手工艺品需要小时，则． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上） 9. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 10. ______1（用“”、“”或““连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先估算出无理数的取值范围，进而得出的取值范围即可判断求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴． 11. 分式和的最简公分母是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即可得到结果． 【详解】解：由题意可得：分式的分母为，的分母为， ∴系数和的最小公倍数为，字母因式的最高次幂为，的最高次幂为， ∴最简公分母为． 12. 分母有理化：________． 【答案】 【解析】 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 【详解】解： ． 13. 如图，兰兰的作业纸被撕下来一部分，则被撕下部分的式子是________． 【答案】 【解析】 【分析】将题中要求的式子转化为，根据分式乘除运算法则计算即可． 【详解】解：， 所以被撕下部分的式子是． 14. 若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 15. 若为实数，且，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 16. 已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 【详解】解：设，， 与等高，与等高， ，， ， ， ，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共68分，请将解答过程写在答题纸相应的位置上） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行加法运算即可； （）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先由分式混合运算化简分式，再将代入化简后的分式计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 为了解我校初二学生对盐城非遗文化（：淮剧；：东台发绣；：大丰瓷刻；：建湖杂技）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的人数为__________人： （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）图②中所对应的圆心角为________°； （4）我校初二年级有人，估算有多少人知晓建湖杂技此项非遗文化． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） （4）有人知晓建湖杂技此项非遗文化 【解析】 【分析】（1）运用项目的人数除以占比，求出本次调查的人数，即可作答； （2）运用总人数分别减去、、的人数，即可得出项目的人数，再补全条形统计图，即可作答； （3）运用项目的人数除以总人数，再与相乘，即可作答； （4）根据样本估计总体的公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：本次调查的人数为（人）； 【小问2详解】 项目的人数有（人） 【小问3详解】 所对应的圆心角为； 【小问4详解】 （人）， 答：有人知晓建湖杂技此项非遗文化． 21. 2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【答案】“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元 【解析】 【分析】根据每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，设出未知数，由购买两种物品数量相等建立方程求解即可． 【详解】解：设“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（不需要写画法）． （1）在图1中，画一个正方形，使它的面积是； （2）在图2中，已知点，画一个，使它的三边长分别为：、、，并计算边上的高为________．（直接写出结果） 【答案】（1） 如图1，即为所求； （2）边上的高为 如图2，即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据，画一个正方形，使它的面积是； （2）根据，，作图即可得到，证明是直角三角形，根据等面积法求边上的高． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：它的三边长分别为、、， ， 是直角三角形， 设边上的高为，       ，  即， 解得． 即边上的高为． 23. 某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图． 分组 频数 频率 合计 请根据图表，解答下面的问题： （1） ________， ________， ________， ________． （2）补全频数分布直方图． （3）如果阅读书籍数量在本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 【答案】（1），，， （2） 补全频数分布直方图如下： （3） 该校不能获得此荣誉，理由如下： 阅读书籍数量在本或以上的百分比为， ， 该校不能获得此荣誉． 【解析】 【分析】（1）调查的总人数等于组的频数除以其频率，用组的频数除以调查的总人数可得，根据直方图中的数据可以得到，用的频数除以调查的总人数得； （2）根据（1）中的答案和表格中的数据可以将直方图补充完整； （3）计算组、组和组中的频率和，再与比较即可解答本题． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）， ， 根据频数分布直方图可得， ， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 24. 观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题： ； ； ； （1）推算出________________；________________． （2）用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； （3）求出的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据已知等式找出规律即可求解； （）根据已知等式找出规律即可求解； （）利用（）的规律代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的应用，勾股定理的应用，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由（）可得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： （1）已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． （2）已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． （3）已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 【答案】（1）与互为“和定分式”， “和定值” （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）求出，看和是否为定值，即可判断； （2）求出，由与互为“和定分式”且分式为真分式，得到是的倍，可得，，即可求解； （3）求出，根据题意可得分子 是分母的倍，即，推出，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 与互为“和定分式”，“和定值”； 【小问2详解】 解：，， ， 与互为“和定分式”， 且分式为真分式， 是的倍数， 又中，的系数为，中的系数为， ，， ； 【小问3详解】 解：，， ， 与互为“和定分式”，分子 中，的系数为，中的系数为， 分子 是分母的倍，即， 即， ， 解得，． 26. 【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取，，代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取，，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“级和谐系数”的有________（填序号）；①②③ （2）若实数对是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足（P为整数）求整数n的值． 【答案】（1）② （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别求出两个分式方程的解，根据“k级和谐系数”定义得出这两个解乘积为，整理得，代入后逐一验证即可； （2）“6级和谐系数” 代入，得到关于的方程并求解即可； （3）先由“k级和谐系数”定义得到，代入，再转化为平方差形式，最后通过整数因数分解求解整数． 【小问1详解】 解：解方程得，解方程得， ∵是该组方程的一对“k级和谐系数”， 则两个分式方程的解互为倒数， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ①∵， ∴不是“级和谐系数”； ②∵， ∴是“级和谐系数”； ③∵， ∴不是“级和谐系数”； 【小问2详解】 解：∵是 “级和谐系数”， ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的整数因数对为，，，， ∴分为以下四种情况讨论： ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得， 综上，整数的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $